基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法

摘要

基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法涉及智能机械与机器人控制技术领域，该方法通过双参数奇异摄动原理，将液压刚柔机械臂系统降阶为表征液压伺服驱动的快变子系统、表征弹性振动的次快变子系统及表征大范围刚性运动的慢变子系统；其中，快变子系统控制模块采用自适应滑模控制器，次快变子系统控制模块采用最优控制器抑制弹性振动，慢变子系统控制模块采用二阶滑模控制器实现关节轨迹跟踪控制。本发明的控制方法基于双参数奇异摄动将复杂的液压刚柔机械臂系统模型进行降阶，设计多时标子系统控制器，使得控制方法大大简化，且更具实用性。

主权项

基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：第一步、模型分解：三自由度液压刚柔机械臂动力学方程如式(13)所示：$\left\{\begin{array}{c}M(\theta ,q)\left[\begin{array}{c}\stackrel{··}{\theta }\\ \stackrel{··}{q}\end{array}\right]+K\left[\begin{array}{c}\theta \\ q\end{array}\right]+G(\theta ,\stackrel{·}{\theta },q,\stackrel{·}{q})=\left[\begin{array}{c}\tau \\ 0\end{array}\right]\\ \stackrel{·}{\tau }+\mathrm{A\tau }+B\stackrel{·}{\theta }=\mathrm{CI}\end{array}\right.---\left(13\right)$其中，M(θ,q)∈R^5×5为对称、正定的惯性矩阵；θ＝[θ₁ θ₂ θ₃]^T为关节角；q＝[q₁ q₂]^T为模态坐标；$G(\theta ,\stackrel{·}{\theta },q,\stackrel{·}{q})={\left[\begin{array}{ccccc}{g}_1& g_2& g_3& g_4& g_5\end{array}\right]}^T$为包含哥氏力、离心力、重力的非线性项；柔性臂的刚度矩阵为K＝diag(0,0,0,k₁,k₂)；作用在关节上的广义力矩为τ＝[τ₁ τ₂ τ₃]^T；I＝[i₁ i₂ i₃]^T为伺服阀控制电流；A＝diag(a₁,a₂,a₃)，a₁＝4β_e(C_tm1+K_c1)/V_t1，i＝2,3；B＝diag(b₁,b₂,b₃)，b₁＝4β_eD²/V_t1，i＝2,3；C＝diag(c₁,c₂,c₃)，c₁＝4β_eDK_q1K_i1/V_t1,c_i＝4β_eA_piDK_qiK_iJ_i/V_ti,i＝2,3；β_e为液体有效体积弹性模量；C_tmi为第i(i＝2,3)个液压缸的泄漏系数；K_ci为第i(i＝2,3)个液压缸的流量/压力系数；J_i为刚柔机械臂与液压驱动系统间的Jacobin矩阵；D为液压马达的体积排量；K_qi为第i(i＝2,3)个液压缸的流量增益；K_i是伺服阀阀芯位移与控制输入的比例常系数；V_ti为第i(i＝2,3)个液压缸的等效容积；C_tm1为第1个液压缸的泄漏系数；K_c1为第1个液压缸的流量/压力系数；V_t1为第1个液压缸的等效容积；K_q1为第1个液压缸的流量增益；K_i1是第1个伺服阀阀芯位移与控制输入的比例常系数；采用双参数奇异摄动技术将式(13)分解，取第一个小参数并且满足0＜ε₁＜＜1，并在边界层上引入第一级快变时标得到液压刚柔机械臂的第一级快变子系统动力学方程如式(20)$\frac{{\mathrm{d\tau }}_{f1}}{{\mathrm{d\sigma }}_1}=-\tilde{A}{\tau }_{f1}+\tilde{C}{I}_{f1}---\left(20\right)$其中，I_f1为第一级快变时标σ₁下的控制电流，下标f1表示系统处在第一级快变时标下；t为第二级慢变时标；下面取第二个小参数其中k＝min(k₁,k₂)，且两个小参数满足0＜ε₁＜＜ε₂＜＜1，得到系统的第二级慢变流形表达式为$M_{1,s2}(\theta ,0)\stackrel{··}{\theta }+G_{1,s2}(\theta ,\stackrel{·}{\theta },\mathrm{0,0})=-{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{·}{\theta }+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{C}{I}_{s2}---\left(28\right)$其中，I_s2为第二级慢变时标t下的控制电流，下标s2表示系统处在第二级慢变时标下；M_1,s2是第二级慢变流形下的惯性矩阵，G_1,s2是第二级慢变流形下包含哥氏力、离心力、重力的非线性项；在边界层上引入第二级快变时标得液压刚柔机械臂系统第二级快变子系统的动力学方程为$\frac{d^2{y}_{f2}}{{\mathrm{d\sigma }}_2^2}=-D_{4,s2}(\theta ,{ϵ}_{2}y){\tilde{K}y}_{f2}+D_{3,s2}(\theta ,{ϵ}_{2}y){\tilde{A}}^{-1}{\tilde{C}I}_{f2}---\left(31\right)$其中，I_f2为第二级快变时标σ₂下的控制电流，下标f2表示系统处在第二级快变时标下；y_f2为第二级快变系统状态变量；D_4,s2表示第2级慢变子系统下惯性矩阵逆阵的第4个元素；D_3,s2表示第2级慢变子系统下惯性矩阵逆阵的第3个元素；K_x＝diag(k₁,k₂)，k₁,k₂为柔性臂刚度矩阵K的第4、5维元素，即柔性臂弹性模态系数；第二步、根据第一步得到的第二级慢变子系统、第二级快变子系统以及第一级快变子系统动力学方程，设计相应的子系统控制模块：针对第二级慢变子系统，取一阶滑动模态面(e为位置误差)，及二阶滑动模态面设计二阶滑模控制律如式(37)$I_{s2}={\tilde{C}}^{-1}\tilde{A}[M_{1,s}({\stackrel{··}{\theta }}_d+\mathrm{\alpha e}+\beta \stackrel{·}{e}+u)+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{·}{\theta }+G_{1,s}]---\left(37\right)$其中，u为控制器中间变量；M_1,s是第1级慢变系统惯性矩阵，G_1,s是第一级慢变系统下包含哥氏力、离心力、重力的非线性项；为关节角期望轨迹的二阶导数；α,β是轨迹位置跟踪误差e及其误差导数的系数矩阵，其均为3阶待定对角矩阵，对角元素为正；针对第二级快变子系统，取二次型性能指标函数及Ricatti方程$A_k^{T}P+{\mathrm{PA}}_k-{\mathrm{PB}}_k{R}^{-1}{B}_k^{T}P+Q=0,$设计最优控制律如式(41)$I_{f2}=-K_f{X}_k=-R^{-1}{B}_k^T{\mathrm{PX}}_k---\left(41\right)$其中，X_k为次快变子系统状态变量；Q和R均为具有相应阶次的正定矩阵；P为Riccati方程(40)的解；B_k为次快变子系统输入矩阵；针对第一级快变子系统，取滑模面s_f＝e_f及自适应更新律设计自适应滑模控制律如式(50)$I_{f1}={\tilde{C}}^{-1}[{\stackrel{·}{\tau }}_{f1d}+{\tilde{A}}_0{\tau }_{f1}+\hat{F}+D_{0}E+\mathrm{\xi sgn}\left(s_f\right)]---\left(50\right)$其中，e_f为快变子系统力矩误差；Λ为已知常值向量，且其元素均为正数；是F的估计值；已知正常数D₀是能量有界随机干扰d(t)的上界；E为向量E＝[1,1,1]^T；ξ为三阶待定对角矩阵，且对角元素均为正数；是快变子系统中的参数摄动和未建模动态的标称值；是期望振动的导数值；第三步、根据多重时间尺度理论，将第二步得到的各子系统控制器组合得到液压刚柔机械臂组合控制器如式(52)I＝I_f1+I_s1＝I_f1+I_f2+I_s2  (52)进而完成基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂的控制方法。