大口径光学非球面元件的两段轮廓拼接测量方法

摘要

大口径光学非球面元件的两段轮廓拼接测量方法，涉及非光学球面元件。首先提出一种基于曲率半径不变原理对齐重叠区域数据点的方法。其次根据多体系统运动学理论、斜率差值和逆推法建立两段面形轮廓拼接的初步优化数学模型。最后根据初步拼接数学模型的仿真结果，对初步拼接误差进行线性最小二乘拟合，去除累积误差，提出最终的两段拼接优化算法。利用Taylor Hobson轮廓仪和辅助测量夹具对150mm的平面光学元件进行测量实验并用拼接优化算法进行数据处理，实验结果表明，拼接误差的标准偏差最大为0.868μm，能满足磨削阶段光学元件的高精度面形检测要求。

主权项

大口径光学非球面元件的两段轮廓拼接测量方法，其特征在于包括以下步骤：1)假设相邻两段面形轮廓的测量值分别为(x_i，y_i，z_i)和(x_j，y_j，z_j)，其中i＝1，2，3...m和j＝1，2，3...n；根据多体系统运动学理论，为了实现两段坐标的归一化，其运算结果如下：$\left(\begin{array}{c}{x}_j^{\prime }\\ y_j^{\prime }\\ z_j^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=R\times T\times \left(\begin{array}{c}{x}_j\\ y_j\\ z_j\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{\Delta Z}\\ 0\end{array}\right)---\left(1\right)$$R=\left(\begin{array}{cccc}\cos \theta & 0& -\sin \theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \sin \theta & 0& \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(2\right)$$T=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& P\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(3\right)$θ＝α+Δα；P＝L+ΔL                (4)式(1)即为两段面形轮廓拼接初步优化数学模型，式中(x'_j,y'_j,z'_j)为(x_j,y_j,z_j)在第一段轮廓(x_i,y_i,z_i)坐标系下的表示；R为工件绕Y轴旋转的运动矩阵；T为工件沿X平移的运动矩阵；θ为工件绕Y轴旋转的总旋转角度，包括由于轮廓仪测量限制而给定的旋转角度α和未知的旋转运动误差Δα；P为工件沿X轴运动的总平移量，包括由于轮廓仪测量限制而给定的平移量L和未知的平移运动误差ΔL；ΔZ为传感器在Z轴方向上的移动误差；2)假设在第一段测量数据(x_i,y_i,z_i)，i＝1，2，3...m中重叠部分数据为(x_a,y_a,z_a)，a＝1，2，3...t，t<m；第二段测量数据(x_j,y_j,z_j)，q＝1，2，3...n中重叠部分数据为(x_b,y_b,z_b)，b＝1，2，3...t，t<n；两段面形轮廓斜率k_ai、k_bi可以用该段数据点集中每相邻两点间的斜率来表示，而两组斜率点集k_ai、k_bi中对应数据点之差k_i即为工件绕Y轴旋转的总旋转角度θ的正切值；$k_{\mathrm{ai}}=\frac{a_{a+1}-z_a}{x_{a+1}-x_a},\mathrm{ai}=\mathrm{1,2,3}...t-1,a=\mathrm{1,2,3}...t-1---\left(5\right)$$k_{\mathrm{bi}}=\frac{z_{b+1}-z_b}{x_{b+1}-x_b},\mathrm{bi}=\mathrm{1,2,3}...t-1,b=\mathrm{1,2,3}...t-1---\left(6\right)$k_i＝k_bi‑k_ai,ai、bi、i＝1,2,3...t‑1            (7)$\theta =\arctan \frac{\underset{i=1}{\overset{t-1}{\Sigma }}{k}_i}{t-1}---\left(8\right)$3)设点集(x'_j,y'_j,z'_j)中重叠部分的数据为(x_c,y_c,z_c)，c＝1，2，3...t，t<n；在理想条件下，(x_c,y_c,z_c)与(x_a,y_a,z_a)是重叠区域面形在同一坐标系下的表示，因此是相等的；将求得的总旋转角度θ，代入式(9)‑(11)，可求得P、ΔZ；式中r_i表示X方向上的偏差量，s_i表示Z方向上的偏差量；$\left(\begin{array}{c}{r}_i\\ 0\\ s_i\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\\ 1\end{array}\right)-R\times \left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\\ 1\end{array}\right),i=\mathrm{1,2,3}...t---\left(9\right)$$p=\frac{1}{t}\underset{i=1}{\overset{t}{\Sigma }}{r}_i---\left(10\right)$$\mathrm{\Delta Z}=\frac{1}{t}\underset{i=1}{\overset{t}{\Sigma }}{s}_i---\left(11\right)$4)对齐重叠区域数据点，如方程组(12)所示，所述对齐重叠区域数据点的方法如下：首先，分别对相邻段重叠区域的两组数据进行非球面方程最小二乘拟合，得到两条不同的重叠部分拟合曲线；方程组(12)中式(1)所示为非球面方程，其中a为非球面类型选择因子，当a＝1时，可选择按照轴对称非球面方程进行拟合；当a＝0时，可选择按照非轴对称非球面方程进行拟合；c＝R^‑1，R为非球面基础曲率半径，C_s＝1/R_s，R_s＝‑R_y+Ax²+Bx⁴+Cx⁶+Dx⁸+Ex¹⁰+Fx¹²，其中，R_s为非球面副轴半径，R_x为非球面主轴基础半径，R_y为非球面副轴基础半径，A，B，C，D，E，F为非球面副轴系数，k为非球面系数；其次，依据第一段轮廓中重叠区域的测量值(x_a,y_a,z_a)求得重叠区域在点集(x_a,y_a,z_a)下对应的曲率值r_a，a＝1,2,3...t，并以其为基准，方程组(12)中式(2)所示为求解各点曲率半径的公式；然后，取第二段轮廓中重叠区域的测量值(x_b,y_b,z_b)以及前后非重叠区域的部分测量值为数据点集(x_d,y_d,z_d)，d＝1,2,3...t+s，其中s为多取的非重叠区域数据点数，并按照方程组(12)中式(2)求得数据点集(x_d,y_d,z_d)对应的曲率值r_d，d＝1,2,3...t+s；最后，将第二组曲率值r_d与第一组基准曲率值r_a进行匹配，即在r_d中顺序找出一组r_d'，d'＝1,2,3...t，使得数据点集r_d'与r_a中对应点的差值之和最小，则r_d’即为理论上的第二段重叠部分数据，F为匹配后的最小曲率差值之和，如方程组(12)中式(3)所示；$\left\{\begin{array}{cc}z=a·\frac{-c·x^2}{1+\sqrt{1-(1+k)·c^2·x^2}}+(1-a)[-R_x+\sqrt{R_x^2-x^2}+\frac{C_s{y}^2}{1+\sqrt{1-(1+k)·C_s^2·y^2}}]& \left(1\right)\\ r=\left|\frac{{(1+{\left(z^{\prime }\right)}^2)}^{3/2}}{z^{\prime \prime }}\right|& \left(2\right)\\ F=\min \underset{a,d^{\prime }=1}{\overset{t}{\Sigma }}{r}_{d^{\prime }}-r_a,a,d^{\prime }=\mathrm{1,2,3}...t& \left(3\right)\end{array}\right.---\left(12\right)$5)针对工件运动误差对拼接检测结果的影响进行相应的仿真，初步仿真结果中拼接误差图均呈一定角度偏转，并近似为一条直线，这是因为初步两段拼接数学模型运算中引入了相应的累积误差，所以针对初步拼接后的轮廓可进行累积误差的进一步优化，提高拼接测量精度，具体方法为：先利用式(15)所示的线性最小二乘拟合方程拟合拼接误差数据，得到斜率值对应的偏转角度β和Z方向的偏差b，再将β和b补偿回初步的两段拼接数学模型中，如式(16)和式(17)所示；最终得到累积误差拟合后的两段拼接数学模型，如式(18)所示，其中R₁是补偿后的旋转矩阵，是补偿后的总旋转角度，w是补偿后的Z方向误差，(x″_j,y″_j,z″_j)为最后拼接优化算法所得(x_j,y_j,z_j)在第一段坐标系下的表示；z＝tanβ*x+b                (15)$\left(\begin{array}{c}{x}_j^{\prime \prime }\\ y_j^{\prime \prime }\\ z_j^{\prime \prime }\\ 1\end{array}\right)=R_1\times T\times \left(\begin{array}{c}{x}_j\\ y_j\\ z_j\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ w\\ 0\end{array}\right)---\left(18\right).$