基于群集理论的可动结构广义坐标的违约修正方法

摘要

本发明公开了一种基于群集理论的可动结构广义坐标的违约修正方法，涉及可展开结构的设计、空间结构施工分析等领域。所公开方法将可动结构的广义坐标违约修正问题转变成多个相互独立的子问题，并利用并行计算对各子问题进行求解，有效地降低了可动结构广义坐标违约修正过程所消耗的时间。方法的主要步骤为：建立可动结构的广义位移协调方程，并确定可动结构所属的对称群。随后，分别计算对称型广义位移协调矩阵的各分块子矩阵，求解相应的广义逆。最后，沿对角线组建整体结构的对称型位移协调矩阵的广义逆，对可动结构各节点的广义坐标进行修正。可动结构的对称性越高，广义坐标违约修正过程的求解效率提高愈显著。

主权项

一种基于群集理论的可动结构广义坐标的违约修正方法，其特征在于步骤1建立可动结构的广义位移协调方程：J·d＝e式中J为b×q阶结构的广义位移协调矩阵，其中b为可动结构中杆件的总数，q为节点的运动自由度，且上式中d为q维的结构广义坐标向量，e为b维的结构广义变形向量，并向可动结构输入微小位移u，步骤2确定可动结构所属的对称群，所属对称群包括以下特征：h个独立的对称操作，μ类独立的不可约表示，步骤3分别计算与所属对称群的各类不可约表示相关联的转换矩阵，具体可通过下式计算：$V_d^{(k,t)}=F(\frac{l_k}{h}\underset{s=1}{\overset{h}{\Sigma }}{\Gamma }_s^k(t,t)·R_s),$$V_e^{(k,t)}=F(\frac{l_k}{h}\underset{s=1}{\overset{h}{\Sigma }}{\Gamma }_s^k(t,t)·T_s),$式中：变量k＝1,...,μ，变量t＝1,...,l_k，且l_k为所属对称群的第k类不可约表示的维数，变量s＝1,...,h，为体系所属对称群的第s个对称操作下，第k类不可约表示中的第t行、t列的元素，矩阵R_s和T_s分别为可动结构广义坐标向量d和广义变形向量e的转换矩阵，表示与所属对称群的不可约表示相关联的第t个关于广义坐标向量d的转换矩阵，表示与所属对称群的不可约表示相关联的第t个关于广义变形向量e的转换矩阵，函数F(x)用于求取变量矩阵x的列空间，x为或步骤4分别计算对角化矩阵${\tilde{J}}^{(k,t)}={\left(V_e^{(k,t)}\right)}^T{\mathrm{JV}}_d^{(k,t)},$其中变量k＝1,...,μ，t＝1,...,l_k，且矩阵J为b×q阶广义位移协调矩阵，符号()^T表示矩阵的转置，步骤5采用列主元QR分解法，分别求解对角化矩阵的广义逆，引入置换矩阵P，对对角化矩阵进行分解：${\tilde{J}}^{(k,t)}={\mathrm{QRP}}^T$其中矩阵Q、R、P均为临时变量矩阵，对角化矩阵的广义逆为：${\left[{\tilde{J}}^{(k,t)}\right]}^{+}=P\bar{R}{\left({\overline{\mathrm{RR}}}^T\right)}^{-1}{\left({\bar{Q}}^T\bar{Q}\right)}^{-1}{\bar{Q}}^T$式中为经列主元QR分解法得到的矩阵Q的正交列向量的前r列，其中r为矩阵的秩，为经列主元QR分解法得到的矩阵R的正交行向量的前r行，符号()^‑1表示矩阵的逆，步骤6将每个对角化矩阵的广义逆根据变量k的大小，当k相同时，再根据变量t的大小，依次沿对角线方向增序排列，组建对称型广义位移协调矩阵的广义逆并基于下式求得可动结构各节点的修正位移Δ：$\Delta =-V_d{\tilde{J}}^{+}{\left(V_e\right)}^T\delta$式中，δ为b维向量，表示可动结构中各杆件因微小位移u所产生的不协调变形，V_d、V_e分别为将结构的广义坐标向量d、广义变形向量e转换到对称坐标系下的整体转换矩阵，且：$V_d=\underset{k=1}{\overset{\mu }{\Sigma }}\underset{t=1}{\overset{l_k}{\Sigma }}\oplus V_d^{(k,t)},V_e=\underset{k=1}{\overset{\mu }{\Sigma }}\underset{t=1}{\overset{l_k}{\Sigma }}\oplus V_e^{(k,t)},$最后，将修正位移Δ施加给可动结构的各节点，完成对可动结构各节点广义坐标的违约修正。