多孔压电材料电弹场分析方法

摘要

本发明公开了一种多孔压电材料电弹场分析方法，先给定待分析压电材料中多个孔的形状和位置，进而建立对应于该多个孔的保角映射函数；在考虑多个孔相互影响的前提下，给出了压电材料电弹场的复势函数的摄动表达式以及多个孔内介质的电势函数的摄动表达式；将压电材料的复势函数和多个孔内的电势函数分别在多个孔边展开成Fourier级数，得出所有势函数的半解析解；通过已求解出的势函数，计算出压电材料孔边的应力场、电场以及孔内介质的电场。本方法适用于任意给定的孔的形状和位置。相比于有限元方法，本发明无需繁琐的几何建模和网格划分，在计算速度和精度上也有很大的优势；所建立的复变函数摄动方法，可应用于求解多孔各向同性和各向异性材料。

主权项

一种多孔压电材料电弹场分析方法，其特征在于，包括下列步骤：步骤一：根据给定的多个孔的形状和位置，建立该多个孔的保角映射函数z＝x₁+Ix₂＝ω_i(ξ_i),i＝1,2,…,n，其中I为虚部单位，n为孔的数目；步骤二：根据给定的压电材料的电弹常数和孔内介质的介电常数，得到用于表达压电材料电弹场以及孔内介质电位移的相关复常数；步骤三：根据保角映射的具体形式，建立压电材料复势函数以及孔内介质电势函数的摄动级数表达式，即，压电材料复势函数的摄动级数表达式为孔内介质电势函数F_i(z)(i＝1,2,..,n)的摄动级数表达式为$F_i\left(z\right)=\underset{j=1}{\overset{M_i}{\Sigma }}{d}_{i,j}({\sigma }_i^j+\underset{l=1}{\overset{+\infty }{\Sigma }}{\beta }_{i,j,l}{\sigma }_i^{-l}),z\in L_i(i=\mathrm{1,2}),M_i=\max (N_{i,0},...,N_{i,p_i}),$其中，a_i,k,_p,h和d_i,j为待定复系数，N_i,p为设定的项数；步骤四：利用步骤三得到的压电材料复势函数和孔内介质电势函数来表达每个孔边的力学和电学边界条件，其中，力学边界条件指压电材料在孔边处的法向正应力和切向剪应力为0，电学边界条件指在孔边处压电材料的电势和法向电位移分别等于孔内介质的电势和法向电位移；步骤五：将力学和电学边界中压电材料的复势函数在孔边处展开成Fourier级数(步骤三中孔内介质的电势函数F_i(z)已经是Fourier级数，故在本步骤中无需处理),包括下列子步骤：步骤5.1：根据ω_i(ξ_i)＝ω_j(ξ_j)表述不同映射平面内不同的点对应于压电材料物理平面内的同一个点；步骤5.2：对于第i个孔边，适用方程ω_i(ξ_i)＝ω_j(ξ_j)变为ω_i(σ_i)＝ω_j(ξ_j)，其中σ_i指第i个映射平面内单位圆上的点；步骤5.3：方程ω_i(σ_i)＝ω_j(ξ_j)是关于未知数ξ_j的高次方程，由于高次方程没有解析解，我们将给定多个不同σ_i，通过Maple数值计算得出相应的ξ_j；步骤5.4：利用步骤5.3中得到的ξ_j的值，给出压电材料复势函数和空内介质电势函数在孔边处的Fourier级数，即其中g(a_i,k,p,h,d_i,j)为关于待定复系数的已知函数；步骤六：对于第i个孔边的力学和电学边界条件，分别令其等式两边关于的系数相等，从而获得一系列关于摄动级数表达式中待定复系数以及它们共轭的线性方程组PX＝q，其中X为待定复系数列向量，矩阵P和列向量q可通过Maple计算得到；步骤七：通过迭代算法，求解该线性方程组得出待定复系数，从而确定压电材料复势函数和孔内介质电势函数F_i(z)(i＝1,2)；步骤八：根据Sosa复变函数理论，根据已知的压电材料复势函数和孔内介质电势函数，得到孔边应力场、电场以及孔内介质的电场。