一种基于矩阵运算的复杂网络构建方法

摘要

本发明公开了一种基于矩阵运算的复杂网络构建方法，基于多个生成网络邻接矩阵的Kronecker和运算及Kronecker积运算进行复杂网络构建，其主要步骤包括确定生成网络集合、计算生成网络邻接矩阵集合、计算生成网络度分布多项式集合、计算复杂网络的邻接矩阵、计算复杂网络的度分布多项式等。采用本发明得到的复杂网络不同于经典的随机网络、小世界网络、无标度网络及自相似网络等其他网络。而且，采用度分布多项式表述方法，对Kronecker和运算采用通常多项式乘法的次数相乘及系数相加的运算，并对Kronecker积运算采用类似多项式乘法的次数相乘及系数相乘的运算可以从理论上严格计算出此类复杂网络的度分布。特别的，基于多个生成网络邻接矩阵的Kronecker和运算可以得到随机网络。

主权项

一种基于矩阵运算的复杂网络构建方法，通过确定生成网络集合、计算生成网络邻接矩阵集合、计算生成网络度分布多项式集合、计算复杂网络的邻接矩阵、计算复杂网络的度分布多项式构建复杂网络，包括如下步骤：(1)确定生成网络集合U_G＝{G₁，G₂，G₃，…，G_i，…}；(2)计算生成网络集合U_G中所有网络G_i的邻接矩阵A(G_i)，得到生成网络集合U_G的邻接矩阵集合U_A(G)＝{A(G₁)，A(G₂)，A(G₃)，…，A(G_i)，…}：在生成网络集合U_G中，对于任一具有n个节点的生成网络G，其邻接矩阵A(G)是n×n的方阵，其中对于方阵中的每一个数据，若节点i与节点j相邻，则有A(G)(i,j)＝1，否则，A(G)(i,j)＝0；若生成网络G的链路数为m，则邻接矩阵A(G)中1的个数也为m，且生成网络的网络密度(3)计算生成网络集合U_G中所有网络G_i的度分布，得到生成网络集合U_G的度分布多项式集合U_Poly(G)＝{Poly(G₁)，Poly(G₂)，Poly(G₃)，…，Poly(G_i)，…}：在生成网络集合U_G中，对于任一具有n个节点的生成网络G，其度分布多项式表达形式Poly(G)可表述如下：$\mathrm{Poly}\left(G\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{x}^{D_i}=\underset{j=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}{N}_j{x}^j---\left(1\right)$其中，n为节点数目，D_i表示第i个节点的度，N_j表示度为j的节点的数目；(4)从生成网络集合中顺次选取k个生成网络G₍₁₎、G₍₂₎、G₍₃₎、…、G_(k－1)、G_(k)，允许重复选取，对基于前i个生成网络得到复杂网络的邻接矩阵A⁽ⁱ⁾(G⁽ⁱ⁾)及第i+1个生成网络对应的邻接矩阵A(G_(i+1))采用Kronecker和运算或Kronecker积运算构建基于前i+1个生成网络得到的复杂网络的邻接矩阵，记为A⁽ⁱ⁺¹⁾(G⁽ⁱ⁺¹⁾)，其中，i表示构建复杂网络所使用的生成网络数目，A⁽ⁱ⁾(G⁽ⁱ⁾)表示i个生成网络对应的邻接矩阵顺次进行Kronecker和运算和/或Kronecker积运算后得到的一个新的复杂网络的邻接矩阵：若矩阵A^(j)(G^(j))与A(G_(j+1))采用Kronecker和运算进行运算，则有：$A^{(j+1)}\left(G^{(j+1)}\right)=A^{\left(j\right)}\left(G^{\left(j\right)}\right)\oplus A\left(G_{(j+1)}\right)---\left(2\right)$若矩阵A^(j)(G^(j))与A(G_(j+1))采用Kronecker积运算进行运算，则有：$A^{(j+1)}\left(G^{(j+1)}\right)=A^{\left(j\right)}\left(G^{\left(j\right)}\right)\otimes A\left(G_{(j+1)}\right)---\left(3\right)$其中，矩阵A(a_ij)_m×m及矩阵B(b_ij)_n×n的Kronecker和定义如下：$A_{m\times m}\oplus B_{n\times n}=A_{m\times m}\otimes I_{n\times n}+I_{m\times m}\otimes B_{n\times n}---\left(4\right)$其中，I_n×n表示n×n单位矩阵，表示Kronecker和运算，表示Kronecker积运算，可以看出Kronecker和运算需要用到Kronecker积运算；对任意矩阵P_p×p与矩阵Q_q×q而言，其Kronecker乘积定义如下：为方便书写，采用此方法顺次选取k个生成网络G₍₁₎、G₍₂₎、G₍₃₎、…、G_(k－1)、G_(k)而得到的复杂网络G^(k)可以记为如下形式：G(k)＝G₍₁₎⊙G₍₂₎⊙G₍₃₎…G_(k‑1)⊙G_(k)    (6)其中，⊙表示或特别的，在特殊情况下，若只采用一种运算，则有：基于k个生成网络G的Kronecker积运算而得到的复杂网络可以记为：$G\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{k}{\otimes }}{G}_{\left(i\right)}(i=\mathrm{1,2,3},...,k)---\left(7\right)$基于k个生成网络G的Kronecker和运算而得到的复杂网络可以记为：$G\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{k}{\oplus }}{G}_{\left(i\right)}(i=\mathrm{1,2,3},...,k)---\left(8\right)$(5)按照如下方法计算所构建的新的复杂网络的度分布PolyDD(G^(l))，其中，l代表运算的次数，PolyDD(G^(l))代表l个生成网络对应的邻接矩阵顺次进行运算后得到的新的复杂网络度分布多项式：若矩阵A^(j)(G^(j))与A(G_(j+1))采用Kronecker和运算进行运算，则有：$\begin{array}{c}\mathrm{PolyDD}\left(G^{(k+1)}\right)=\mathrm{KronSum}\left(\mathrm{Poly}{G}^{\left(k\right)}\right)\mathrm{Poly}\left(G_{(k+1)}\right))\\ =\mathrm{KronSum}(\underset{i=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}{N}_i^{\left(k\right)}{x}^i,\underset{j=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}{N}_{(k+1)j}{x}^j)\\ =\underset{i=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}{N}_i^{\left(k\right)}{N}_{(k+1)j}{x}^{i+j}(i,j=\mathrm{1,2,3},...)\end{array}---\left(9\right)$若矩阵A^(j)(G^(j))与A(G_(j+1))采用Kronecker积运算进行运算，则有：$\begin{array}{c}\mathrm{PolyDD}\left(G^{(k+1)}\right)=\mathrm{KronPro}\left(\mathrm{Poly}{G}^{\left(k\right)}\right)\mathrm{Poly}\left(G_{(k+1)}\right))\\ =\mathrm{KronPro}(\underset{i=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}{N}_i^{\left(k\right)}{x}^i,\underset{j=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}{N}_{(k+1)j}{x}^j)\\ =\underset{i=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}{N}_i^{\left(k\right)}{N}_{(k+1)j}{x}^{ij}(i,j=\mathrm{1,2,3},...)\end{array};---\left(10\right)$(6)重复步骤(4)及步骤(5)，得到指定节点数目、指定链路数目或指定生成网络数目的复杂网络时，终止操作。