蛋白质浓度的控制方法

摘要

蛋白质浓度的控制方法，包括：1)利用系统内相关化学反应对控制对象进行系统辨识，得到被控对象的传递函数模型；2)适当选取控制器的时延系数τ₁、τ₂和τ₃的值；3)求出闭环系统的特征函数；4)先固定k₁的值；5)选取适当的权函数W(s)，计算出闭环系统的补偿灵敏度函数T(s,k₁,k₂,k₃)，取合适的H_∞性能指标γ，使得||w(s)T(s,k₁,k₂,k₃)||_∞<γ，并求出该表达式对应的特征函数，并求出在平面(k₂,k₃)上的H_∞性能指标的边界线，并判断满足H_∞性能指标的参数域位于该边界哪一侧，再将已判断出的满足H_∞性能指标的区域与稳定域取交集，则在交集区域即为满足H_∞性能指标的控制参数域。

主权项

蛋白质浓度的控制方法，是一种具有时滞的蛋白质合成系统的H_∞分布式时滞控制方法，具体步骤如下：(1)在系统进入分布式时滞控制器的设计之前，先列出蛋白质合成系统的相关化学反应方程式，再利用Matlab中的生物系统模拟工具包将蛋白质合成系统内相关化学反应方程式转化成常微分方程，进而计算出具有如下传递函数的被控对象模型：$G\left(s\right)=\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)}{e}^{-\mathrm{\theta s}}---\left(1\right)$其中，N(s)和D(s)是关于s的多项式，θ表示时滞,且D(s)的最高阶次大于N(s)的最高阶次；(2)建立包括分布式时滞控制器的单位反馈系统。适当设置控制器的时滞系数τ₁、τ₂和τ₃的值，则分布时滞控制器C(s)的形式为：$C\left(s\right)=\frac{1}{s}(k_1{e}^{-{\tau }_{2}s}+k_2{e}^{-{\tau }_{2}s}+k_3{e}^{{-\tau }_{3}s})---\left(2\right)$其中，k₁、k₂和k₃为分布式时滞控制器中各时滞模块的增益系数；(3)求出闭环系统的特征函数$\delta \left(s\right)=1+\frac{1}{s}G\left(s\right)(k_1{e}^{{-\tau }_{2}s}+k_2{e}^{-{\tau }_{2}s}+k_3{e}^{-{\tau }_{3}s})---\left(3\right)$(4)对于给定的τ₁、τ₂和τ₃，通过固定一个参数k₁，计算二维平面上由另外两个控制参数k₂和k₃组成的稳定域边界线，并求出由边界线所围成对应的稳定区域；控制参数空间的边界线由奇异边界线和非奇异边界线两部分组成：(a)非奇异边界线：当s＝jω(ω∈(0,+∞))时，代入闭环特征函数中，采用D‑分割法算出非奇异边界线，边界线表达式为：$\left\{\begin{array}{c}{k}_2=-\frac{1}{\sin \left[({\tau }_2-{\tau }_3)\omega \right]}\left\{\mathrm{Re}\right[-\frac{\mathrm{j\omega }}{G\left(\mathrm{j\omega }\right)}-k_1{e}^{-j{\tau }_1\omega }]\sin \left({\tau }_3\omega \right)+\mathrm{Im}[-\frac{\mathrm{j\omega }}{G\left(\mathrm{j\omega }\right)}-k_1{e}^{-j{\tau }_1\omega }\left]\cos \left({\tau }_3\omega \right)\right\}\\ k_3=\frac{1}{\sin \left[({\tau }_2-{\tau }_3)\omega \right]}\left\{\mathrm{Re}\right[-\frac{\mathrm{j\omega }}{G\left(\mathrm{j\omega }\right)}-k_1{e}^{-j{\tau }_1\omega }]\sin \left({\tau }_2\omega \right)+\mathrm{Im}[-\frac{\mathrm{j\omega }}{G\left(\mathrm{j\omega }\right)}-k_1{e}^{-j{\tau }_1\omega }\left]\cos \left({\tau }_2\omega \right)\right\}\end{array}\right.---\left(4\right)$其中，和分别表示的实部和虚部，在ω∈(0,+∞)内取值绘制该边界线；通过判断边界线哪一侧具有更少的不稳定极点，从而确定被这些边界线所分割的哪个区域是控制参数的稳定域；为判定控制参数的稳定域在非奇异边界线哪一侧，这里本发明采用以下方法：令s＝σ+jω代入闭环特征函数中，取其实部R和虚部I，$\left\{\begin{array}{c}R=k_2{e}^{-{\tau }_2\sigma }\cos \left({\tau }_2\omega \right)+k_3{e}^{-{\tau }_3\sigma }\cos \left({\tau }_3\omega \right)+F_r=0\\ I=-k_2{e}^{-{\tau }_2\sigma }\sin \left({\tau }_2\omega \right)-k_3{e}^{-{\tau }_3\sigma }\sin \left({\tau }_3\omega \right)+F_i=0\end{array}\right.$其中$F_r=\mathrm{Re}[\frac{s}{G\left(s\right)}+k_1{e}^{-{\tau }_{1}s}],F_i=\mathrm{Im}[\frac{s}{G\left(s\right)}+k_1{e}^{-{\tau }_{1}s}]$$J_1=\left[\begin{array}{cc}\frac{{\partial k}_2}{\partial \omega }& \frac{{\partial k}_2}{\partial \sigma }\\ \frac{{\partial k}_3}{\partial \omega }& \frac{{\partial k}_3}{\partial \sigma }\end{array}\right]={-\left[\begin{array}{cc}{e}^{-{\tau }_2\sigma }\cos \left({\tau }_2\omega \right)& e^{-{\tau }_3\sigma }\cos \left({\tau }_3\omega \right)\\ -e^{{-\tau }_2\sigma }\sin \left({\tau }_2\omega \right)& -e^{-{\tau }_3\sigma }\sin \left({\tau }_3\omega \right)\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial R}{\partial \omega }& \frac{\partial R}{\partial \sigma }\\ \frac{\partial I}{\partial \omega }& \frac{\partial I}{\partial \sigma }\end{array}\right]$由于$\frac{\partial R}{\partial \omega }=-\frac{\partial I}{\partial \sigma },\frac{\partial R}{\partial \sigma }=\frac{\partial I}{\partial \omega },$所以由上式可得$Q=\mathrm{Sgn}(\frac{{\partial k}_2}{\partial \omega }\frac{{\partial k}_3}{\partial \sigma }-\frac{{\partial k}_2}{\partial \omega }\frac{{\partial k}_3}{\partial \sigma })=\mathrm{Sgn}\left\{\sin \right[({\tau }_3-{\tau }_2)\omega \left]\right\}$当k₁固定时，若Q>0二维平面(k₂,k₃)中，取曲线沿ω∈(0,∞)变化的方向为正方向，由所决定的非奇异边界线的正方向右侧比其左侧有更少的不稳定闭环极点；反之，非奇异边界线的左侧比右侧有更少的不稳定闭环极点；(b)奇异边界线：当s＝0时，代入闭环特征函数中，求出其奇异边界线，边界线表达式为：k₃＝‑k₂‑k₁   (5)为确定控制参数的稳定域位于奇异边界线的哪一侧，本发明采用下述方法进行判定：当s无限趋近于0时，和在s＝0处进行泰勒展开有：并分别代入闭环特征函数计算得：s+G(0)[k₁+k₂+k₃‑s(k₁τ₁+k₂τ₂+k₃τ₃)]＝0，其中G(0)＝G(s)|_s＝0；进而有系统稳定的必要条件是系统的极点都在左半平面即s<0，当s<0时，从上式可得：$\left\{\begin{array}{c}{k}_1+k_2+k_3>0\\ k_1{\tau }_1+k_2{\tau }_2+k_3{\tau }_3<\frac{1}{G\left(0\right)}\end{array}\right.---\left(6\right)$(c)绘制非奇异边界线与奇异边界线，非奇异边界线不含不稳定闭环极点的一侧与奇异边界线不含不稳定闭环极点的一侧所形成的交集区域即为控制参数的稳定域；(5)计算出闭环系统的补偿灵敏度函数$T(s,k_1,k_2,k_3)=\frac{N\left(s\right)(k_1{e}^{-{\tau }_{1}s}+k_2{e}^{-{\tau }_{2}s}+k_3{e}^{-{\tau }_{3}s})e^{-\mathrm{\theta s}}}{\mathrm{sD}\left(s\right)+N\left(s\right)(k_1{e}^{-{\tau }_{1}s}+k_2{e}^{-{\tau }_{2}s}+k_3{e}^{-{\tau }_{3}s})e^{-\mathrm{\theta s}}}$取权函数其中W_n(s)和W_d(s)是关于s的多项式，求出满足||W(s)T(s,k₁,k₂,k₃)||_∞<γ的H_∞性能指标的控制参数区域，其中H_∞性能指标γ为大于0的实数；$W\left(s\right)T(s,k_1,k_2,k_3)=\frac{W_n\left(s\right)}{W_d\left(s\right)}\frac{N\left(s\right)(k_1{e}^{-{\tau }_{1}s}+k_2{e}^{-{\tau }_{2}s}+k_3{e}^{{-\tau }_{3}s})e^{-\mathrm{\theta s}}}{W_d\left(s\right)\mathrm{sD}\left(s\right)+N\left(s\right)(k_1{e}^{-{\tau }_{1}s}+k_2{e}^{-{\tau }_{2}s}+k_3{e}^{-{\tau }_{3}s})e^{-\mathrm{\theta s}}}---\left(7\right)$给定的值，求解出满足H_∞性能指标的特征函数为：将s＝jω代入，求解出满足H_∞性能指标的边界线，该边界线的表达式为：与稳定性分析不同的是，这里是在ω∈(‑∞,+∞)内取值绘制曲线，而不是在(0,∞)进行取值。不管k₁,k₂,k₃取何值,闭环特征方程都不可能经过s＝0；对于判定满足H_∞性能指标的参数域位于边界线哪一侧，其分析与判定稳定域为非奇异边界线的哪一侧的分析相同；即$Q=\mathrm{Sgn}(\frac{{\partial k}_2}{\partial \omega }\frac{{\partial k}_3}{\partial \sigma }-\frac{{\partial k}_2}{\partial \omega }\frac{{\partial k}_3}{\partial \sigma })=\mathrm{Sgn}\left\{\sin \right[({\tau }_3-{\tau }_2)\omega \left]\right\}$当k₁固定时，若Q>0二维平面(k₂,k₃)中，由所决定的边界线的正方向右侧比其左侧有更少的不稳定闭环极点，反之，左侧比其右侧有更少的不稳定闭环极点；判断出该边界线不含不稳定闭环极点的一侧与控制参数的稳定域所行成的交集区域，该区域即为系统满足H_∞性能指标的控制参数域；(6)在所获得的分布式时滞控制器满足H_∞性能指标的控制参数区域中选取控制参数，运行系统：首先，通过在目标基因序列中加入无效基因序列使得目标基因转录为mRNA、mRNA翻译成蛋白质及其蛋白质合成的各过程中产生时滞，再通过加入加法器使得对跟踪误差进行累加实现积分环节，从而在生物系统中实现了分布式时滞控制器；然后，激活目标蛋白质基因，使得目标基因表达并合成目标蛋白质；合成的目标蛋白质达到预期的浓度后开始抑制目标蛋白质基因的表达，从而构成闭环回路控制系统；合成目标蛋白质浓度与初始设定浓度相比较产生跟踪误差；跟踪误差输入至分布式时滞控制器，分布式时滞控制器基于跟踪误差进行运算并输出控制量，控制被控对象；该分布式时滞控制器执行过程可用如下计算公式来表示：$u\left(t\right)=k_1{\int }_0^{t}e(t-{\tau }_1)\mathrm{dt}+k_2{\int }_0^{t}e(t-{\tau }_2)\mathrm{dt}+k_3{\int }_0^{t}e(t-{\tau }_3)\mathrm{dt}---\left(10\right)$其中e(t‑τ₁)、e(t‑τ₂)和e(t‑τ₃)分别为跟踪误差e(t)延迟经过目标基因转录为mRNA、mRNA翻译成蛋白质及蛋白质合成的时滞τ₁、τ₂和τ₃后的值，k₁、k₂和k₃为所求控制参数，通过加法器对0到t时刻的e(t‑τ₂)和e(t‑τ₃)进行累加实行积分，控制器输出u(t)作用到被控对象，使被控对象运行在稳定状态并满足H_∞性能指标。