一种小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法

摘要

小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法，包括：建立四阶的小车倒立摆系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间一集相关控制参数；将系统中的饱和函数近似为一个简单的时变系统，推导出带有饱和函数的系统模型；将小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统，计算控制系统的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；针对小车倒立摆系统，选择神经网络逼近未知函数，并根据系统跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间解耦控制器，更新神经网络权值矩阵；本发明不仅能够避免饱和函数的影响，降低控制器的复杂程度，而且可以实现小车倒立摆系统在有限时间内的快速稳定。

主权项

小车倒立摆系统的有限时间解耦控制方法，包含以下步骤：步骤1，建立如式(1)所示四阶的小车倒立摆系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间一集相关控制参数；$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{·}{x}}_2\left(t\right)=a_1(x,t)+c_1(x,t)v_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{·}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{·}{x}}_4\left(t\right)=a_2(x,t)+c_2(x,t)v_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$其中，x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T是状态向量；a₁(x,t)，a₂(x,t)≠0和是未知非线性函数；c₁(x,t)，c₂(x,t)为以下非线性函数：$c_1(x,t)=\frac{\cos \left(x_1\right)}{L(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2\left(x_1\right))}---\left(2\right)$$c_2(x,t)=\frac{4}{3(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2\left(x_1\right))};---\left(3\right)$d₁(t)和d₂(t)表示外部干扰，并且，|d₁(t)|≤D₁(t)，|d₂(t)|≤D₂(t)；v₁(t)，v₂(t)为饱和函数输出值，表示为：$v\left(t\right)=\mathrm{sat}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\mathrm{sign}\left(u\right)v_{\max }& \mathrm{if}& \left|u\left(t\right)\right|\ge v_{\max }\\ u& \mathrm{if}& \left|u\left(t\right)\right|<v_{\max }\end{array}\right.---\left(4\right)$其中，u(t)∈R是实际控制信号；v_max为饱和函数宽度参数；步骤2，将系统中的饱和函数近似为一个简单的时变系统，推导出带有饱和函数的系统模型；2.1将饱和函数近似为一双曲正切函数，定义为：$g\left(u\right)=v_{\max }\times \tanh (u/v_{\max })=u_{\max }\times \frac{e^{u/v_{\max }}-e^{-u/v_{\max }}}{e^{u/v_{\max }}+e^{-u/v_{\max }}}---\left(5\right)$然后，sat(u)可被定义为：sat(u)＝g(u)+d(u)            (6)2.2根据微分中值定理，可得g(u)＝g(u₀)+g′(u)×(u‑u₀)           (7)其中，g′(u)为g(u)在u处的一阶导数；因此，当取u₀＝0时g(u)＝g′(u)×u           (8)将式(8)代入式(6)得：$v=g^{\prime }\left(u\right)u+d\left(u\right),\forall t\ge 0---\left(9\right)$2.3将简化后的饱和函数式(9)代入式(1)可得：$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{·}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{·}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{·}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(10\right)$其中，x₁(t)是摆杆角位移，x₂(t)是摆杆角速度；x₃(t)是小车位移，x₄(t)是小车速度；x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T为输入向量；f₁(x,t)，f₂(x,t)≠0是未知非线性函数；b₁(x,t)＝a₁(x,t)×g′(u₁)，b₂(x,t)＝a₂(x,t)×g′(u₂)；步骤3，将式(10)表示的小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统，计算控制系统的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；3.1将式(10)表示的小车倒立摆系统划分为两个二阶子系统$\mathrm{subsystem}1:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{·}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$$\mathrm{subsystem}2:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{·}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(12\right)$3.2定义如式(13)和(14)所示非线性滑模面：$S_1={\lambda }_1{|x_1-z|}^{{\gamma }_1}\mathrm{sign}(x_1-z)+x_2---\left(13\right)$$S_2={\lambda }_2{\left|x_3\right|}^{{\gamma }_2}\mathrm{sign}\left(x_3\right)+x_4---\left(14\right)$其中，λ₁和λ₂是正常数；z是一个中间变量定义为z＝sat(S₂/φ_z)z_u，0<z_u<1，φ_z是S₂的界；$0<({\gamma }_1=\frac{q_1}{p_1})<\mathrm{1,0}<({\gamma }_2=\frac{q_2}{p_2})<1,$p₁，q₁，p₂和q₂是正奇数满足p₁>q₁和p₂>q₂；因为(x₁‑z)<0和x₃<0，分数γ₁和γ₂使得和因此，不会产生奇异值问题；3.3对式(13)进行微分，可得${\stackrel{·}{S}}_1={\gamma }_1{\lambda }_1{|x_1-z|}^{{\gamma }_1-1}({\stackrel{·}{x}}_1-\stackrel{·}{z})+{\stackrel{·}{x}}_2---\left(15\right)$为使系统在有限时间内趋于稳定，需要满足以下条件${\stackrel{·}{S}}_1=k_1{S}_1+k_2{\left|S_1\right|}^{\rho }\mathrm{sign}\left(S\right)---\left(16\right)$其中，0<ρ<1,k₁>0并且k₂>0；根据有限时间稳定性定理可得，平衡点为x₁＝z并且x₃＝0；步骤4，针对式(10)表示的小车倒立摆系统，选择神经网络逼近未知函数，并根据系统跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间解耦控制器，更新神经网络权值矩阵；4.1将和式(15)代入式(16)，解得控制信号u₁(t)的表达式为$u_1\left(t\right)=\frac{-1}{b_1(x,t)}[f_1(x,t)+{\gamma }_1{\lambda }_1{|x_1-z|}^{{\gamma }_1-1}({\stackrel{·}{x}}_1-\stackrel{·}{z})+k_1{S}_1+k_2{\left|S_1\right|}^{\rho }\mathrm{sign}\left(S_1\right)]---\left(17\right)$4.2设计神经网络逼近未知函数则有$\frac{f_1(x,t)}{b_1(x,t)}=W^T\phi \left(X\right)+ϵ---\left(18\right)$其中，其中W为理想权重，φ(X)为神经网络基函数，X为神经网络输入向量，ε表示神经网络逼近误差；φ(x)通常取为以下函数：$\phi \left(X\right)=\frac{a}{b+\exp \left(\frac{-X}{c}\right)}+d---\left(19\right)$其中，a，b，c和d均为正常数；将式(18)和式(19)代入式(17)，可得$\begin{array}{c}{u}_1\left(t\right)=-{\hat{W}}^T\phi \left(X\right)+\hat{\mu }\tanh (S_1/\delta )\\ +\frac{-1}{b_1(x,t)}[{\gamma }_1{\lambda }_1{|x_1-z|}^{{\gamma }_1-1}({\stackrel{·}{x}}_1-\stackrel{·}{z})+k_1{S}_1+k_2{\left|S_1\right|}^{\rho }\mathrm{sign}\left(S_1\right)]\end{array}---\left(20\right)$其中，为理想权重W的估计值，为自适应控制参数，δ为正常数；其中，ε_N为一个正常数，表示神经网络逼近误差的上限；4.3设计u₂(t)＝u₁(t)，则式(10)可转化为$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{·}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{·}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{·}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_1\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(21\right)$此时，摆杆与小车之间已解耦；4.4设计神经网络权重和自适应控制参数的更新律为：$\stackrel{\stackrel{·}{^}}{W}=K_C\phi \left(X\right){S_1}^T---\left(22\right)$其中，K_C一个正常数；$\stackrel{\stackrel{·}{^}}{\mu }=v_{\mu }{S}_1\tanh (S_1/\delta )---\left(23\right)$其中，v_μ一个正常数；步骤5，设计李雅普诺夫函数则可以证明S₁趋向于零，即x₁趋向于z；同时，式(13)中，z是一个有界衰减函数，根据以上设计可得，当S₂＝0时，z＝0，x₃＝0；因此，可以证明闭环控制系统的稳定性。