一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法

摘要

一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法，首先在状态分析框架下建立待研究电力系统的高维非线性电磁暂态仿真模型；设定降维子空间维数m等仿真参数，初始化并启动仿真程序；在每一个仿真步长内生成增广状态矩阵和状态向量，使用Arnoldi算法生成其降维Krylov子空间的正交基底；利用矩阵指数的Krylov子空间近似公式，以低维矩阵指数近似原系统高维矩阵指数，并求解非线性方程得到当前时刻的状态变量，仿真推进一个步长；依此迭代进行，直到仿真结束。本发明保留了矩阵指数积分方法良好的数值精度和刚性处理能力，对电力系统的非线性特性具有一般性的建模仿真能力，通过隐式降阶方法，扩展了矩阵指数积分方法的在大规模电力系统电磁暂态仿真领域的适用范围。

主权项

一种基于矩阵指数的电磁暂态隐式降阶仿真方法，其特征在于，包括如下步骤：1)在状态分析框架下，建立待研究电力系统的电磁暂态仿真模型，模型形式为$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{x}=\mathrm{Ax}+f(x,t)+b\left(t\right)\\ y=g(x,t)\end{array}\right.$其中，x是包含当前时刻电力系统所有电容、电感储能元件与控制器记忆元件状态的状态向量，t为时间，Ax和f(x,t)分别是电力系统动态特性中的线性和非线性部分，b(t)是系统外部激励，输出函数g(x,t)根据仿真结果显示的需要，由使用者任意指定；2)设定仿真时间T，仿真步长Δt，Krylov子空间基底维数m，非线性迭代收敛精度ε，设定当前时刻t_n为仿真起始时刻t₀，依照仿真需要，设置仿真初值x₀，并赋值给当前时刻状态向量x_n，计算仿真起始时刻输出向量y₀＝g(x₀,t₀)，并写入输出文件；3)计算当前时刻t_n时，电磁暂态仿真模型中的非线性项f(x_n,t_n)和激励项b(t_n)及激励项的前向数值导数采用二阶梯形公式对非线性项f(x,t)和激励项b(t)进行近似，形成增广状态矩阵A′和增广状态向量x′$A^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}A& \frac{b\left(t_{n+1}\right)-b\left(t_n\right)}{\mathrm{\Delta t}}& b\left(t_n\right)\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$x_n^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{x}_n+\frac{\mathrm{\Delta t}}{2}f(x_n,t_n)\\ 0\\ 1\end{array}\right];$4)采用标准Arnoldi算法求取m维Krylov子空间K_m(A′，x′_n)＝span{x′_n，A′x′_n，…，(A′)^m‑1x′_n}的正交基底，得到增广状态矩阵A′在子空间上的近似矩阵H_m和基向量矩阵V_m，其中，span{v₁，v₂，…，v_n}指由一组向量{v_i}张成的向量空间；5)利用Krylov子空间K_m(A′，x′_n)，将矩阵向量乘法e^ΔtA′x′_n作为一个整体进行近似计算，其中e^ΔtA′指任意矩阵ΔtA′的矩阵指数函数，从而通过一个低维矩阵的矩阵指数计算，得到近似原高维矩阵运算e^ΔtA′x′_n的效果，隐式地实现模型降维；6)记下一个时刻时间值t_n+1＝t_n+Δt，，并求解非线性方程$x_{n+1}=\frac{\mathrm{\Delta t}}{2}f(x_{n+1},t_{n+1})+\left[\begin{array}{cc}I& 0_{n\times 2}\end{array}\right]e^{\mathrm{\Delta t}{A}^{\prime }}{x}_n^{\prime }$至设定的非线性迭代收敛精度ε，得到t_n+1时刻的状态向量x_n+1，其中，I是单位矩阵；7)由y_n+1＝g(x_n+1,t_n+1)得到t_n+1时刻输出向量的值并写入输出文件，更新当前时刻为下一时刻t_n＝t_n+1，仿真向前推进一个步长；8)比较当前时刻t_n与仿真时间T，判断是否已经抵达仿真结束时刻，若已经达到，则仿真结束；若未达到，则回到步骤3)继续进行计算，依此循环迭代，直到仿真结束。