机械臂伺服系统的有限时间协同控制方法

摘要

机械臂伺服系统的有限时间协同控制方法，包括：建立机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及相关控制参数；根据微分中值定理，将系统中的非线性输入死区线性近似为一个简单的时变系统，推导出带有未知死区的机械臂伺服系统模型；计算控制系统的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；基于带有未知死区的机械臂伺服系统模型，选择神经网络逼近未知函数，并根据系统跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间协同控制器，更新神经网络权值矩阵；该方法不仅能够避免非线性死区的附加逆补偿，减小滑模高频抖振问题，而且可以实现机械臂伺服系统的有限时间快速跟踪。

主权项

机械臂伺服系统的有限时间协同控制方法，包含以下步骤：步骤1，建立如式(1)所示机械臂伺服系统的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及相关控制参数；$M\left(x\right)\stackrel{..}{x}+V_m(x,\stackrel{.}{x})\stackrel{.}{x}+G\left(x\right)+F\left(\stackrel{.}{x}\right)=\tau -{\tau }_d---\left(1\right)$其中分别为位置，速度和加速度；M(x)∈R^n×n为对称正定矩阵；为科式力；G(x)∈Rⁿ为重力；表示摩擦力；τ_d∈R^n×1为外部扰动；τ∈R^n×1为死区输出值，表示为：$\tau =D\left(u\left(t\right)\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{g}_r\left(u\right)& \mathrm{if}& u\left(t\right)\ge b_r\\ 0& \mathrm{if}& b_l<u\left(t\right)<b_r\\ g_l\left(u\right)& \mathrm{if}& u\left(t\right)\le b_l\end{array}\right.---\left(2\right)$其中u(t)∈R是实际控制信号；g_l(u),g_r(u)为未知非线性函数；b_l和b_r为死区未知宽度参数，并且满足b_l<0，b_r>0；步骤2，根据微分中值定理，将系统中的非线性输入死区线性近似为一个简单的时变系统，推导出带有未知死区的机械臂伺服系统模型；2.1根据微分中值定理，存在ξ_l∈(‑∞,b_l)和ξ_r∈(b_r,+∞)使g_l(u)＝g′_l(ξ′_l)(u‑b_l)(3)其中ξ′_l∈(‑∞,b_l]，g′_l(ξ_l)为函数g_l(u)在ξ′_l处的倒数；g_r(u)＝g′_r(ξ′_r)(u‑b_r)(4)其中ξ′_r∈[b_l,+∞)，g′_r(ξ_r)为函数g_r(u)在ξ′_r处的倒数；根据式(3)和式(4)，可将式(2)改写为其中$\rho \left(u\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-g_r^{\prime }\left({\xi }_r\right)b_r& \mathrm{if}& u\left(t\right)\ge b_r\\ -[g_l^{\prime }\left({\xi }_l\right)+g_r^{\prime }\left({\xi }_r\right)]u\left(t\right)& \mathrm{if}& b_l<u\left(t\right)<b_r\\ -g_l^{\prime }\left({\xi }_l\right)& \mathrm{if}& u\left(t\right)\le b_l\end{array}\right..---\left(6\right)$其中ξ_l∈(‑∞,b_l]，ξ_r∈[b_l,+∞)，并且2.2由式(1)和式(5)可得带有未知死区的机械臂伺服系统模型为：其中|ρ(u)|≤ρ_N，ρ_N是未知正常数，满足ρ_N＝(g_r1+g_l1)max{b_r,b_l}；步骤3，计算控制系统的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；3.1定义控制系统的跟踪误差为e(t)＝x_d‑x    (11)其中x_d为二阶可导期望轨迹；3.2在设计协同控制器的过程中，定义协同流型为：$s=\stackrel{.}{e}\left(t\right)+\mathrm{\lambda e}\left(t\right)---\left(12\right)$其中λ为影响系统收敛的正常数；根据如式(13)所示的非奇异终端滑模面，设计有限时间协同控制器，使系统误差快速趋向于式(12)所示的协同流型；$q{\stackrel{.}{s}}^{p/r}+s=0---\left(13\right)$其中q为正定常数，p>0,r>0，1<p/r<2；3.3对式(12)求导，结合式(6)和式(11)可以推导出其中非线性未知函数h为$h=M({\stackrel{..}{x}}_d+\lambda \stackrel{.}{e})+V_m({\stackrel{.}{x}}_d+\mathrm{\lambda e})+G+F-\rho \left(u\right).---\left(15\right)$步骤4，基于带有未知死区的机械臂伺服系统模型，选择神经网络逼近未知函数，并根据系统跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间协同控制器，更新神经网络权值矩阵；4.1根据式(13)和式(14)，控制器的表达式为$u={\hat{W}}_a^T\phi \left(x\right)+k{s}^{r/p}+\mathrm{\delta sgn}\left(s\right)---\left(16\right)$其中为理想权重的估计值，为神经网络基函数，x为神经网络输入向量，k＝q^‑1是控制参数，δ是一个正的常数，满足ε_N为一个正常数，表示神经网络逼近误差的上限，τ_N为外部扰动的上限常数，为神经网络权值估计误差；4.2设计神经网络的权值更新律为：${\stackrel{\stackrel{.}{^}}{W}}_a=K_C\phi \left(x\right)s^T---\left(17\right)$其中K_C为正定对角矩阵，φ(x)通常取为以下高斯函数：$\phi \left(x\right)=\exp (-\frac{{|x-c|}^2}{2b^2})---\left(18\right)$其中c＝[c₁,c₂,...,c_n]^T是高斯函数的中心；b是高斯函数的宽度；由式(18)可以推出0<φ(x)≤1；步骤5，设计李雅普诺夫函数和则可以证明闭环控制系统中的所有信号均是一致有界的；同时，系统误差e可以在有限时间内收敛至平衡点e＝0。