基于迭代切相分数傅立叶变换的图像加密方法

摘要

一种基于迭代切相分数傅立叶变换的图像加密方法。一幅待加密的原始图像在迭代切相傅立叶变换的基础上被加密成两块相位块，加密过程具有非线性，利用数值方法完成；解密可采用光学手段实现，解密的光学实现装置比较简单，解密过程中不需要运用全息技术记录相位信息；本发明提出的迭代加密方法收敛速度快，同时加密过程中的分数阶数成为解密所需的密钥，增加了系统的安全性，并且加密的结果不存在信息泄露的问题。

主权项

一种基于迭代切相分数傅立叶变换的图像加密方法，其特征是按如下步骤进行：(1)加密：(i)f(x，y)代表待加密的原始图像，R₁(x，y)和R′₁(u，v)是初次迭代运算中作为加密密钥使用的两块随机相位板，分别可以具体表示成exp[2πr₁(x，y)]和exp[2πr₂(u，v)]，其中(x，y)和(u，v)分别表示空间域和分数傅立叶频域的坐标，r₁(x，y)和r₂(u，v)代表两个在区间[0，1]上具有均匀概率分布并且统计无关的随机矩阵，当运用迭代切相分数傅立叶变换进行加密时，第k次(k＝1，2，3…)迭代运算过程能够生成第k+1次迭代运算所需要的两个加密密钥R_k+1(x，y)和R′_k+1(u，v)，当进行第k次迭代运算时，首先对f(x，y)和加密密钥R_k(x，y)的乘积作分数傅立叶变换，接着对变换后得到的复振幅进行取振幅和取相位操作，分别得到振幅分布g_k(u，v)和相位分布P_k(u，v)，即g_k(u，v)＝PT{F^α[f(x，y)R_k(x，y)]}         (1)P_k(u，v)＝PR{F^α[f(x，y)R_k(x，y)]}          (2)其中PT{}代表取振幅运算，即除去复振幅的相位信息，PR{}代表取相位运算，即除去复振幅的振幅信息，F^α[]代表阶数为α的分数傅立叶变换(Fractional Fourier Transform，FRFT)，式(1)和式(2)中两函数的乘积f(x，y)R_k(x，y)的α阶分数傅立叶变换定义为$F^{\alpha }\left[f(x,y)R_k(x,y)\right](u,v)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{K}_{\alpha }(x,y;u,v)f(x,y)R_k(x,y)\mathrm{dxdy}---\left(3\right)$其中K_α(x，y；u，v)是二维分数傅立叶变换的核，即$K_{\alpha }(x,u;y,v)=\mathrm{A\; exp}(\mathrm{i\pi }\frac{x^2+y^2+u^2+v^2}{\lambda f\tan \phi }-2\mathrm{i\pi }\frac{\mathrm{xyuv}}{{\lambda }^2{f}^2\sin \phi })---\left(4\right)$其中且φ＝απ/2，α是分数形式的阶数；(ii)对g_k(u，v)和R′_k(u，v)的乘积作α阶分数傅立叶变换后进行取相位操作，得到相位分布P′_k(x，y)，即P′_k(x，y)＝PR{F^α[g_k(u，v)R′_k(u，v)]}           (5)(iii)对P′_k(x，y)作(‑α)阶分数傅立叶变换后得到一复振幅分布，对该分布进行取振幅和取相位操作后分别得到振幅分布g′_k(u，v)和相位分布R′_k+1(u，v)即g′_k(u，v)＝PT{F^‑α[P′_k(x，y)]}         (6)R′_k+1(u，v)＝PR{F^‑α[P′_k(x，y)]}         (7)接着对g′_k(u，v)和P_k(u，v)的乘积作(‑α)阶分数傅立叶变换，对变换后得到的复振幅进行取相位和取振幅操作，分别得到相位分布R_k+1(x，y)和振幅分布f′_k(x，y)，计算公式分别为R_k+1(x，y)＝PR{F^‑α[g′_k(u，v)P_k(u，v)]}       (8)f′_k(x，y)＝PT{F^‑α[g′_k(u，v)P_k(u，v)]}         (9)由此，在第k次迭代运算过程中，通过运用P′_k(x，y)和P_k(u，v)两块相位板计算得到第k+1次迭代运算过程所需要用到的两个加密密钥R′_k+1(u，v)和R_k+1(x，y)，另外还得到了振幅图像f′_k(x，y)，随后进入下轮迭代运算过程(即第k+1次迭代运算)；(iv)当迭代次数总共完成n次时，迭代运算终止，根据式(2)、式(5)分别得到两块相位板P′_n(u，v)和P_n(x，y)，即P_n(u，v)＝PR{F^α[f(x，y)R_n(x，y)]}         (10)P′_n(x，y)＝PR{F^α[g_n(u，v)R′_n(u，v)]}            (11)其中g_n(u，v)在第n次迭代运算过程中生成，其值为g_n(u，v)＝PT{F^α[f(x，y)R_n(x，y)]}，由式(7)和式(8)可知，R_n(x，y)和R′_n(u，v)均在第n‑1次迭代运算过程中生成，在第n次迭代运算之后最终得到的加密结果是两块相位板，分别用函数P(u，v)和P′(x，y)表示，其表达式为$P(u,v)=R_{n+1}^{\prime *}(u,v)P_n(u,v)---\left(12\right)$P′(x，y)＝P′_n(x，y)            (13)其中“*”表示共轭，R′_n+1(u，v)在第n次迭代运算过程中生成，其值为R′_n+1(u，v)＝PR{F^‑α[P′_n(x，y)]}；(2)解密：(i)对加密得到的相位板P′(x，y)作(‑α)阶分数傅立叶变换，变换后得到的结果F^‑α[P′(x，y)]与加密得到的另一相位板P(u，v)相乘后作(‑α)阶分数傅立叶变换，变换后得到的结果表示为F^‑α[F^‑α[P′(x，y)]P(u，v)]；(ii)对上一步骤中得到的结果进行取振幅运算，最终得到解密图像，用f′(x，y)表示，则有f′(x，y)＝PT{F^‑α[F^‑α[P′(x，y)]P(u，v)]}，由式(6)、式(7)、式(9)、式(12)、式(13)可以证明：因此，解密得到的图像就是加密过程第n次迭代运算得到的振幅图像f′_n(x，y)。