一种基于曲面拟合的确定结合面接触面积及刚度的方法

摘要

一种基于曲面拟合的确定结合面接触面积及刚度的方法，先采用共聚焦显微镜及三坐标测量来测量机械结合面微凸体形貌及表面波纹度和形状误差，得到的点云数据用二元高次函数进行拟合,从而得到接触表面最终解析式，然后单对微凸体接触点位置判断及接触方向判断，在进行单个接触点弹Hertz接触计算，计算在力的作用下接触变形与接触面积，最后进行接触面整体接触面积与接触刚度计算，得出总接触面积与各方向接触刚度，与传统解析法相比，本方法有更接近真实形貌的优点；与有限元法相比，本方法可扩大可计算的接触面积。

主权项

一种基于曲面拟合的确定结合面接触面积及刚度的方法，其特征在于，包括以下步骤：1)真实形貌的测量及函数表示1.1)结合面形貌层次划分：将机械结合面按波长由小到大区分为粗糙度、波纹度、形状误差三个层次，将峰与峰之间的间距小于1mm的起伏视作粗糙度，相应单个凸起视作微凸体,并假设微凸体形状相同；将波峰与波峰间的距离在1mm到10mm范围内的表面起伏视作波纹度；将波峰与波峰间的距离超过10mm范围的表面起伏当作表面形状误差处理；1.2)微凸体函数拟合：采用共聚焦显微镜观测微凸体形貌，获得的点云数据用来拟合微凸体，用二元高次函数来进行拟合，按刀具加工轨迹方向，将加工轨迹方向定为u向，垂直于加工轨迹的方向定为v向，每个微凸体拟合为:$f_{\mathrm{ai}}=f_{\mathrm{ai}}(u,v)=a_i+\underset{t=0}{\overset{1}{\Sigma }}{b}_i{u}^t{v}^{1-t}+\underset{t=0}{\overset{2}{\Sigma }}{c}_i{u}^t{v}^{2-t}+......,((u,v)\in {\Omega }_i,i=\mathrm{1,2,3}......)$其中i表示粗糙表面上的第i个微凸体，Ω_i表示第个微凸体所占的表面区域；1.3)波纹度及形状误差拟合：采用三坐标测量仪来测量接触面的波纹度及形状误差，获得的点云数据用二元高次函数来进行拟合，表面形状误差及波纹度拟合为：$f_e=f_e(u,v)=a_e+\underset{i=0}{\overset{1}{\Sigma }}{b}_e{u}^i{v}^{1-i}+\underset{i=0}{\overset{2}{\Sigma }}{c}_e{u}^i{v}^{2-i}+......$1.4)最终曲面的函数表达：将微凸体函数分布到表面形状误差函数上相加，得到最终真实表面形貌的函数表达式，$f=f(u,v)=\left\{\begin{array}{cc}{f}_{a1}(u,v)+f_e(u,v)& ((u,v)\in {\Omega }_1)\\ f_{a2}(u,v)+f_e(u,v)& ((u,v)\in {\Omega }_2)\\ f_{a3}(u,v)+f_e(u,v)& ((u,v)\in {\Omega }_3)\\ ........& \end{array}\right.$2)两接触表面接触点位置判断及单对微凸体接触的预处理2.1)两表面间间距函数表达式：将两个接触表面函数相减，得到接触间距公式：δ＝f₁(u，v)‑f₂(u，v)其中，f₁(u，v)表示上表面拟合函数，f₂(u，v)表示下表面拟合函数，2.2)接触点位置获取：接触点(u_c，v_c)满足的条件是δ(u_c，v_c)为函数极小值点，并且δ(u_c，v_c)＜0，根据极小值求法即可求得所有可能的接触点，再根据δ(u_c，v_c)＜0判断，即可得出所有接触点；2.3)接触点方向求解及接触点坐标变换：设接触点的空间坐标为(x(u_c，v_c)，y(u_c，v_c)，z(u_c，v_c）)，接触方向按微分几何的方法进行求解：$\overrightarrow{r_u^{\prime }}=\left(\begin{array}{ccc}{x}_{u_c}^{\prime }& y_{u_c}^{\prime }& z_{u_c}^{\prime }\end{array}\right),\overrightarrow{r_v^{\prime }}=\left(\begin{array}{ccc}{x}_{v_c}^{\prime }& y_{v_c}^{\prime }& z_{v_c}^{\prime }\end{array}\right),\overrightarrow{n}(u_c,v_c)=\overrightarrow{r_u^{\prime }}\times \overrightarrow{r_v^{\prime }}=\overrightarrow{n}{(x_n,y_n,z_n)}^T$其中分接触点的两个切向量，为接触点处的法向量，之后将接触点处附近的曲面进行坐标变换，使得切平面方向为新坐标轴的xoy平面，接触点为新坐标的原点，将接触点处的两表面用泰勒级数展开，忽略高阶无穷小，保留函数的二次方项，从而得到两表面在新坐标系下的近似表达式：$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=A_1{\bar{x}}^2+B_1{\bar{y}}^2+C_1\overline{\mathrm{xy}}\\ z_2=A_2{\bar{x}}^2+B_2{\bar{y}}^2+C_2\overline{\mathrm{xy}}\end{array}\right.$两式相减，并通过坐标系旋转变换，消除交叉项，得接触间隔的表达式为：$z_1-z_2=A{\bar{x}}^2+B{\bar{y}}^2$其中，A，B都是常数，经过这样的转化就可使得单对微凸体的接触解析公式满足Hertz接触计算的要求；3)单对接触点处的Hertz接触力学计算3.1)接触间距系数求解：根据Hertz任意形状曲面接触理论，对于椭圆任意点，A，B可由两微凸体接触点处的主曲率及主曲率方向来求得，用R,R′分别代表其中一个微凸体在接触点处的两个主曲率，w代表两和微凸体接触点间主曲率方向夹角，系数A，B满足下式所表示的方程，己知各微凸体主曲率大小及其主曲率方向间的夹角，即可求得A，B的具体数值：$\left\{\begin{array}{c}A+B=\frac{1}{2}(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_1^{\prime }}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_2^{\prime }})\\ B-A=\frac{1}{2}{\left(\begin{array}{c}{(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_1^{\prime }})}^2+{(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_2^{\prime }})}^2+\\ 2(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_1^{\prime }})(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_2^{\prime }})\cos 2w\end{array}\right)}^{\frac{1}{2}}\end{array}\right.$3.2)接触区域长短半轴求解：复杂曲面点接触的接触区域近似为椭圆，长短半轴分别为：$\left\{\begin{array}{c}a=m\sqrt[3]{\frac{3\pi }{4}\frac{P(k_1+k_2)}{(A+B)}}\\ b=n\sqrt[3]{\frac{3\pi }{4}\frac{P(k_1+k_2)}{(A+B)}}\end{array}\right.$其中m，n是与比率(B‑A)/(A+B)相关的系，数值采用接触理论的文献Jamari J,Schipper D J.An elastic–plastic contact model of ellipsoid bodies[J].Tribology letters,2006,21(3):262‑271，a，b分别为接触区域的长短半轴，k₁+k₂为接触点处的综合弹性模量，k由以下公式表示：其中，E，v分别代表材料的弹性模量和泊松比，3.3)接触点处接触法向量方向上的位移求解：垂直于接触方向的位移定为两个方向接触位移的均值：3.4)最大接触应力与接触面积求解：最大接触应力与接触面积可由以下方程得出：$\left\{\begin{array}{c}{q}_0=\frac{3}{2}\frac{P}{\mathrm{\pi ab}}\\ s=\mathrm{\pi ab}\end{array}\right.$其中P代表单对接触点所受的力，q₀为接触点处的最大接触应力，s为单对接触点处的接触面积，4)结合面总真实接触面积与法向切向接触刚度计算4.1)总接触面积计算：总的接触面积等于各个接触点接触面积的总和，4.2)各方向接触刚度计算：将各点处的所受的力累加可得最终的合力并按各个坐标轴方向进行分解，得到垂直于整个接触面的法向分力P_sumz及平行于接触面的两个分力P_sumx及P_sumy，各点处的位移按矢量分解并求均值可得各方向上的平均位移某方向上的刚度数值，按以下公式即可求出：法向接触刚度的表达式为:两个切向方向上的刚度为:$k_z=\frac{\partial P_{\mathrm{sumx}}}{\partial {\bar{d}}_x},k_z=\frac{\partial P_{\mathrm{sumy}}}{\partial {\bar{d}}_y}.$