一种多进制LDPC码辅助的迭代载波同步方法

摘要

一种多进制LDPC码辅助的迭代载波同步方法，属数字通信中信道编码及载波同步技术领域。多进制LDPC码具有接近理想香农限的性能，但是其译码器对相位噪声十分敏感，在载波出现相位偏移的情况下，其性能会极具恶化。本发明方法采用联合译码和估计，在多进制LDPC码译码过程加入对相位偏移估计的部分。在译码过程中译码器每进行一次译码迭代，便对相偏进行一次估计，估计时要用到LDPC译码中产生的软信息，然后再用估计的参数对译码器的输入进行修正，修正的输入经过LDPC码译码处理又可得到新的软信息，这些软信息又可用来得到新的估计参数，通过多次迭代，该方法可使参数的估计值收敛到实际取值，从而使LDPC码接近理论上的性能。

主权项

一种多进制LDPC码辅助的迭代载波同步方法，应用于多进制LDPC码译码器，在多进制LDPC码译码器当中预先设c为由四进制m×n维校验矩阵H＝{h_j，i}确定的长为n的四元LDPC码，其中校验矩阵H内的元素和LDPC的码元取值取自伽罗华域GF(4)，GF(4)＝{0，α，α²，1}其中α为伽罗华域的乘法本原元，且在GF(4)域中有α³＝1，m为多进制LDPC码校验位长度、n为多进制LDPC码码长、h_j，i为校验矩阵H第j行第i列的元素，其中1≤j≤m，1≤i≤n，M_j表示同第j个校验节点相连的变量节点的集合，即M_j＝{i|h_j，i≠0}，M_j/i表示从M_j中除去第i个变量节点的集合，其中M表示变量节点的集合；N_i表示同第i个变量节点相连的校验节点的集合，即N_i＝{j|h_i，j≠0}，N_i/j表示从N_i中除去第j个校验节点的集合，其中N表示变量节点的集合，表示第l次迭代第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程时c_i＝β的后验概率，c_i为多进制LDPC码中第i个码元，β∈GF(4)，校验节点消息分量表示第l次迭代时在校验矩阵H第j行第i列为β时第j个校验方程成立的概率；a表示码c中的码字经过QPSK调制后的发送信息序列，r表示a经过信道后的接收信息序列，也即LDPC译码器的输入，r中第i个分量对应码c的第i个变量节点；该方法的步骤如下：1)初始化假设QPSK将0映射到α映射到α²映射到1映射到则发送序列经过均值为0方差为σ²白高斯噪声信道后$p_i\left(\alpha \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{\frac{-{|r_i-\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)|}^2}{2{\sigma }^2}},p_i\left({\alpha }^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{\frac{-{|r_i-\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)|}^2}{2{\sigma }^2}},p_i\left(1\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{\frac{-{|r_i+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)|}^2}{2{\sigma }^2}},$r_i是r的第i个分量，p_i(0)、p_i(α)、p_i(α²)、p_i(1)分别为多进制LDPC码第i个码元为0、α、α²、1的后验概率，σ²加性高斯白噪声的噪声方差，σ为加性高斯白噪声的标准差，所以有假定c_i＝β时的第i个信道似然概率为f_i^β＝k_ip_i(β)，β∈{0，α，α²，1}k_i为归一化因子使p_i(β)第i个码元为β的后验概率，β为伽罗华域GF(4)中的某个元素，表示为β∈{0，α，α²，1}；利用第i个信道似然消息初始化第i个变量节点消息$Q_{\mathrm{ij}}^{\beta }\left(0\right)={f_i}^{\beta }$表示第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的初始化概率，f_i^β表示假定c_i＝β时的第i个信道似然概率；2)校验节点消息更新第l次迭代时在校验矩阵H第j行第i列为β时第j个校验方程成立的概率$R_{\mathrm{ji}}^{\beta }\left(l\right)=\underset{C:c_i=\beta }{\Sigma }\delta (\underset{i^{\prime }\in N_j}{\Sigma }{h}_{{\mathrm{ji}}^{\prime }}{c}_{i^{\prime }}=0|c)\underset{i^{\prime }\in N_j/i}{\Pi }{Q}_{i^{\prime }j}^{c_{i^{\prime }}}$其中C表示多进制LDPC码所有码字的集合，N_j表示同第j个变量节点相连的校验节点的集合，N_j/i表示从N_j中除去第i个校验节点的集合，δ(x)为冲击函数，除δ(0)＝1之外，x取其他值冲击函数都为0，表示第l次迭代第i′个变量节点满足第j个校验方程的后验概率，符号表示对右边元素做联乘；3)变量节点消息更新第l次迭代第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的后验概率$Q_{\mathrm{ij}}^{\beta }\left(l\right)=a_{\mathrm{ij}}{f_i}^{\beta }\underset{j^{\prime }\in M_j/i}{\Pi }{R}_{j^{\prime }i}^{\beta }\left(l\right)$其中f_i^β为假定c_i＝β时的第i个信道似然概率，M_j/i表示从M_j中除去第i个变量节点的集合，α_ij为归一化系数其目的是使表示第l次迭代时在校验矩阵H第j′行第i列为β时第j′个校验方程成立的概率；4)计算判决消息并做判决第i个变量节点满足所有校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的概率$Q_i^{\beta }=u_i{f_i}^{\beta }\underset{j\in M\left(i\right)}{\Pi }{R}_{\mathrm{ji}}^{\beta }\left(l\right)$其中u_i为归一化系数，其目的是使表示第l次迭代时在校验矩阵H第j行第i列为β时第j个校验方程成立的概率，为第i个码元的判决结果；根据译码软消息对译码结果做硬判决${\hat{c}}_i=\arg \underset{\beta \in \mathrm{GF}\left(q\right)}{\max }{Q}_i^{\beta }$表示i个变量节点满足所有校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的概率，表示从集合中寻找最大评分的参量，为译码器对第i个码元的译码结果；5)判断译码是否结束满足以下条件之一即表示译码结束：A.H是LDPC码的校验矩阵，表示的转置；B.l＝imax，imax为指定的最大迭代次数，否则转入下一步；6)对同步参数进行一次估计；用θ表示相偏，使用最大对数似然概率的方法估计θ，并用期望‑最大(EM)算法求解该最大对数似然概率估计问题，EM迭代求解中要用到多进制LDPC译码中产生的软信息；θ的最大对数似然概率估计是指找到使对数似然概率密度函数ln p(r|θ)最大的θ作为其估计值，记作即，符号表示求使括号内参数取最大值的θ，EM算法通过引进先验分布已知的隐藏变量来达到简化计算的目的；取发送信息序列a作为先验分布已知的随机变量，则标准EM算法求解最大对数似然估计的迭代计算公式表示为${\theta }^{(l+1)}=\arg \underset{\theta }{\max }\left\{\underset{a}{\Sigma }p\left(a\right|r,{\theta }^{\left(l\right)})\ln p\left(r\right|a,\theta )\right\}---\left(1\right)$其中θ^(l)表示第l次迭代中的θ估计值，θ^(l+1)表示在θ的当前估计值为θ^(l)时下一次相偏估计的估计值，p(r|a，θ)表示a和θ已知的条件下r的条件概率密度函数，p(a|r，θ^(l))表示已知r和θ^(l)的条件下a的条件概率密度函数，是求和符号，在已知发送信息序列a和相偏θ的条件下，译码器输入r的对数条件概率表示为：$\begin{array}{c}\ln p\left(r\right|a,\theta )=-\frac{1}{2{\sigma }^2}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{|a_i{e}^{\mathrm{j\theta }}-r_i|}^2\\ =-\frac{1}{2{\sigma }^2}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}({\left|a_i\right|}^2+{\left|r_i\right|}^2)+\frac{1}{{\sigma }^2}\mathrm{Re}\left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{r}_i{a}_i^{*}{e}^{-\mathrm{j\theta }}\right\}\end{array}---\left(2\right)$其中n是码字的长度，a_i和r_i分别是发送和接收信息序列中第i个分量的取值，σ²是噪声方差，Re{·}表示取复数的实部，表示a_i的复共轭；公式(2)分成两部分，前一部分与估计参数θ无关，它只影响公式(1)所能取的最大值，而不能影响使(1)式取得最大值的参数θ，所以这一部分忽略；同理，公式(2)后一部分的比例因子也去掉，所以对(1)式求解简化为$\begin{array}{c}{\theta }^{(l+1)}=\arg \underset{\theta }{\max }\left\{\underset{a}{\Sigma }p\left(a\right|r,{\theta }^{\left(l\right)})\mathrm{Re}\right\{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{r}_i{a}_i^{*}{e}^{-\mathrm{j\theta }}\left\}\right\}\\ =\arg \underset{\theta }{\max }\left\{\mathrm{Re}\right\{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{r}_i{E}_a\left[a_i^{*}\right|r,{\theta }^{\left(l\right)}\left]e^{-\mathrm{j\theta }}\right\}\}\end{array}---\left(3\right)$其中表示在给定r和θ^(l)的条件下的条件期望；式(3)的最大值为：$\hat{\theta }=\mathrm{angle}\left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{r}_i{E}_a\right[a_i^{*}|r,{\theta }^{\left(l\right)}]\}$其中angle{·}表示取复数的幅角，表示第l次EM迭代时θ的估计值，对于QPSK调制，a中各信息位取$\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j),\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j),\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)$和$-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j),$因此$\begin{array}{c}{E}_a\left[a_i^{*}\right|r,{\theta }^{\left(l\right)}]=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)p(a_i=0|r,{\theta }^{\left(l\right)})+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)p(a_i=\alpha |r,{\theta }^{\left(l\right)})\\ +\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-j)p(a_i={\alpha }^2|r,{\theta }^{\left(l\right)})+\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)p(a_i=1|r,{\theta }^{\left(l\right)})\end{array}---\left(4\right)$上式中p(a_i＝0|r，θ^(l))、p(a_i＝σ|r，θ^(l))、p(a_i＝σ²|r，θ^(l))和p(a_i＝1|r，θ^(l))分别表示已知r和θ^(l)的条件下a_i取0、σ、σ²和1的概率，所以估计Δfθ需知道a中信息a_i的联合统计p(a_i＝0|r，θ^(l))、p(a_i＝σ|r，θ^(l))、p(a_i＝σ²|r，θ^(l))和p(σ_i＝1|r，θ^(l))，当迭代次数足够大时，第l次迭代中产生的判决信息和p(a_i|r，θ^(l))的联合统计满足如下关系$Q_i^{\beta }=p(a_i=\beta |r,{\theta }^{\left(l\right)})$代入公式(4)得到$\begin{array}{c}{E}_a\left[a_i^{*}\right|r,{\theta }^{\left(N\right)}]=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)Q_i^0+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)Q_i^{\alpha }+\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-j)Q_i^{{\alpha }^2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}(-1+j)Q_i^1$上式就把LDPC迭代译码中获得的判决信息应用到了同步参数相偏的估计；7)修正接收信息序列r用当前频偏和相偏估计值对接收信息序列r进行修正；用r′表示修正后的接收信息序列，其第i个分量用r_i′表示，r_i表示r中第i个分量；修正公式为$r_i^{\prime }=r_i{e}^{-j\hat{\theta }}$8)计算变量节点初始对数似然比消息用修正后的接收信息序列r′计算各变量节点的初始似然比消息；在信道噪声方差为σ²的情况下，$p_i\left(0\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{\frac{-{|r_i^{\prime }-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)|}^2}{2{\sigma }^2}},p_i\left(\alpha \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{\frac{-{|r_i^{\prime }-\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)|}^2}{2{\sigma }^2}},p_i\left({\alpha }^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{\frac{-{|r_i^{\prime }-\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+j)|}^2}{2{\sigma }^2}},$r_i′是接收符号修正后的第i个分量，所以第i个信道似然消息为$f_i^{\beta }=k_i{p}_i\left(\beta \right),\beta \in \{0,\alpha ,{\alpha }^2,1\}$9)变量节点消息更新变量节点收集与它相邻的校验节点及信道的消息，第l次迭代第i个变量节点满足除j外所有其他校验方程给定接收值为r_i时c_i＝β的后验概率$Q_{\mathrm{ij}}^{\beta }\left(l\right)=a_{\mathrm{ij}}{f}_i^{\beta }\underset{j^{\prime }\in M_j/i}{\Pi }{R}_{j^{\prime }i}^{\beta }\left(l\right)$其中为假定c_i＝β时的第i个信道似然概率，M_j/i表示从M_j中除去第i个变量节点的集合，a_ij为归一化系数其目的是使表示第l次迭代时在校验矩阵H第j′行第i列为β时第j′个校验方程成立的概率；10)返回到步骤2)更新校验节点消息，进行下一次迭代。