一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂滑模控制设计方法

摘要

本发明是一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂滑模控制设计方法，它有四大步骤：步骤1：柔性机械臂的动力学建模；步骤2：PDE模型分解；步骤3：控制律设计；步骤4：设计结束。本发明首先利用哈密尔顿原理，求出整个系统的PDE模型；再利用奇异摄动理论将原PDE模型分解为表征整体刚性运动的集中慢子系统和描述系统振动的快子系统；然后分别针对快、慢子系统设计滑模控制律，并利用李雅普诺夫函数，对所设计的控制律进行收敛性分析，以验证其合理性及稳定性。最后，根据奇异摄动原理得出复合控制律。

主权项

一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂滑模控制设计方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：步骤1：柔性机械臂动力学建模利用哈密尔顿原理，通过对柔性机械臂的系统分析，求出其PDE模型；建模时用到的状态变量θ(t)、y(x,t)分别表示在t时刻机械臂的关节角度和x点处的弹性变形，为了表示方便，以下分析中θ(t)、y(x,t)分别简写为θ、y(x)；柔性机械臂的自然边界条件为y(0)＝y_x(0)＝0 (1)其中，y_x(*)表示y(*)对x的一阶偏导数；定义z(x)＝xθ+y(x) (2)其中，z(x)为z(x,t)的简写，z_x(*)表示z(*)对x的一阶偏导数；由式(1)和式(2)得z(0)＝y(0)，从而z(0)＝0，z_x(0)＝θ，$\frac{{\partial }^{n}z}{{\partial x}^n}=\frac{{\partial }^{n}y}{{\partial x}^n}(n\ge 2)---\left(3\right)$由得z_xx(0)＝y_xx(0)，z_xx(L)＝y_xx(L)，z_xxx(L)＝y_xxx(L)；系统的动能、势能以及非保守力做功的表达式如下：$E_k=\frac{1}{2}{I}_h{\stackrel{·}{\theta }}^2+\frac{1}{2}{\int }_0^L{\rho \stackrel{·}{z}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}+\frac{1}{2}{m\stackrel{·}{z}}^2\left(L\right)$$E_p=\frac{1}{2}{\int }_0^L{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}$$W_{\mathrm{nc}}=(\tau +d_1)\theta +(F+d_2)z\left(L\right)+{\int }_0^{L}f\left(x\right)z\left(x\right)\mathrm{dx}$其中，EI为均匀梁的弯曲刚度，L为机械臂的长度，m为机械臂末端负载的质量，I_h为中心转动惯量，ρ为机械臂单位长度上的质量，τ为首端控制力矩输入，F为末端控制力矩输入，d₁为首端控制输入慢时变干扰，d₂为末端控制输入慢时变干扰；由哈密尔顿原理得柔性机械臂的PDE模型如下$\rho (x\stackrel{··}{\theta }+\stackrel{··}{y}\left(x\right))=-{\mathrm{EIy}}_{\mathrm{xxxx}}\left(x\right)---\left(4a\right)$$I_h\stackrel{··}{\theta }-{\mathrm{EIy}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)=\tau +d_1---\left(4b\right)$$m\stackrel{··}{y}\left(L\right)+\mathrm{mL}\stackrel{··}{\theta }-{\mathrm{EIy}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)=F+d_2---\left(4c\right)$y(0)＝y_x(0)＝y_xx(L)＝0 (4d)步骤2：PDE模型的分解首先引入摄动参数并定义变量y＝ε²w，将变量代入系统模型式(4)得：$I_h\stackrel{··}{\theta }-{\mathrm{EIϵ}}^2{w}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)=\tau +d_1---\left(5\right)$$x\stackrel{··}{\theta }+{ϵ}^2\stackrel{··}{w}\left(x\right)=-{\mathrm{aw}}_{\mathrm{xxxx}}\left(x\right)---\left(6\right)$${\mathrm{mϵ}}^2\stackrel{··}{w}\left(L\right)+\mathrm{mL}\stackrel{··}{\theta }-{\mathrm{\rho aw}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)=F+d_2---\left(7\right)$w(0)＝w_x(0)＝w_xx(L)＝0 (8)令摄动参数ε＝0，得慢系统方程为：$I_h{\stackrel{··}{\theta }}_s={\tau }_s+d_1---\left(9\right)$$x{\stackrel{··}{\theta }}_s=-{\mathrm{aw}}_{\mathrm{sxxxx}}\left(x\right)---\left(10\right)$$\mathrm{mL}{\stackrel{··}{\theta }}_s-{\mathrm{\rho aw}}_{\mathrm{sxxx}}\left(L\right)=F_s+d_2---\left(11\right)$w(0)＝w_x(0)＝w_xx(L)＝0 (12)引入伸长时标w＝w_s+w_f,τ＝τ_s+τ_f,F＝F_s+F_f，并且在时标u下，θ′(u)和θ″(u)为0，得快系统方程为：τ_f＝0 (13)w″_f(x,u)＝‑aw_fxxxx(x,u) (14)mw″_f(L,u)+aρw_fxxx(L,u)＝F_f (15)w_f(0,u)＝w_fx(0,u)＝w_fxx(L,u)＝0 (16)将代入到式(14)和(15)式得：${\stackrel{··}{y}}_f\left(x\right)=-\frac{\mathrm{EI}}{\rho }{y}_{\mathrm{fxxxx}}\left(x\right)---\left(17\right)$$m{\stackrel{··}{y}}_f\left(L\right)-{\mathrm{EIy}}_{\mathrm{fxxx}}\left(L\right)=F_f---\left(18\right)$其中下标s和f表示系统的慢变量和快变量，步骤3：控制律的设计由式(10)和式(11)得$(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\rho L}}^2){\stackrel{··}{\theta }}_s=F_s+d_2---\left(19\right)$针对慢系统式(9)和式(19)，采用滑模控制，取误差信息为e＝θ(t)‑θ_d(t)，则滑模函数$s_s=\mathrm{ce}+\stackrel{·}{e},$c>0；取Lyapunov函数为V_s＝V_s1+V_s2，其中采用指数趋近律，设计控制律为：${\tau }_s=-I_h(c\stackrel{·}{e}-{\stackrel{··}{\theta }}_d)-{\eta }_1\mathrm{sgn}{s}_s-k_1{s}_s---\left(20\right)$$F_s=-(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\rho L}}^2)(c\stackrel{·}{e}-{\stackrel{··}{\theta }}_d)-{\eta }_2\mathrm{sgn}{s}_s-k_2{s}_s---\left(21\right)$其中k₁>0，η₁>|d₁|_max，k₂>0，η₂>|d₂|_max；则$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{V}}_s={\stackrel{·}{V}}_{s1}+{\stackrel{·}{V}}_{s2}=I_h{s}_s{\stackrel{·}{s}}_s+(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\rho L}}^2)s_s{\stackrel{·}{s}}_s\\ =I_h{s}_s(c\stackrel{·}{e}+\stackrel{··}{e})+(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\rho L}}^2)s_s(c\stackrel{·}{e}+\stackrel{··}{e})\\ =I_h{s}_s(c\stackrel{·}{e}+\stackrel{··}{\theta }-{\stackrel{··}{\theta }}_d)+(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\rho L}}^2)s_s(c\stackrel{·}{e}+\stackrel{··}{\theta }-{\stackrel{··}{\theta }}_d)\\ =s_s(I_h(c\stackrel{·}{e}-{\stackrel{··}{\theta }}_d)+{\tau }_s+d_1)+s_s((\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\rho L}}^2)(c\stackrel{·}{e}-{\stackrel{··}{\theta }}_d)+F_s+d_2)\\ =-{\eta }_1\left|s_s\right|-k_1{s}^2+d_1{s}_s-{\eta }_2\left|s_s\right|-k_2{s}^2+d_2{s}_s\\ =-{\eta }_1\left|s_s\right|+d_1{s}_s-{\eta }_2\left|s_s\right|-(k_1+k_2){s_s}^2+d_2{s}_s\\ \le -\frac{2(k_1+k_2)}{I_h+\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\rho L}}^2}{V}_s=-{2\mathrm{kV}}_s\end{array}$其中$k=\frac{k_1+k_2}{I_h+\mathrm{mL}+1/2{\mathrm{\rho L}}^2}>0,$则$V_s\left(t\right)\le e^{-2k(t-t_0)}{V}_s\left(t_0\right);$可见，V_s(t)指数收敛至零，收敛速度取决于k，慢系统的闭环系统是指数稳定的；针对快系统式(17)和式(18)，采用滑模控制，取滑模函数为则采用指数趋近律，设计控制律为：F_f＝‑η₃sgn(s_f)‑k₃s_f (22)其中k₃>0，η₃>0；为了抑制机械臂的变形和振动，选取Lyapunov函数为：$V_f\left(t\right)=\frac{\rho }{2}{\int }_0^L{\stackrel{·}{y}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{EI}}{2}{\int }_0^L{y}_{\mathrm{xx}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}+\frac{1}{2}{{\mathrm{ms}}_f}^2$则$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{V}}_f\left(t\right)=\rho {\int }_0^L\stackrel{·}{y}\left(x\right)\stackrel{··}{y}\left(x\right)\mathrm{dx}+\mathrm{EI}{\int }_0^L{y}_{\mathrm{xx}}\left(x\right){\stackrel{·}{y}}_{\mathrm{xx}}\left(x\right)\mathrm{dx}+{\mathrm{ms}}_f{\stackrel{·}{s}}_f\\ =\rho {\int }_0^L\stackrel{·}{y}\left(x\right)\stackrel{··}{y}\left(x\right)\mathrm{dx}+\mathrm{EI}{\int }_0^L{y}_{\mathrm{xx}}\left(x\right){\stackrel{·}{y}}_{\mathrm{xx}}\left(x\right)\mathrm{dx}+s_{f}m\stackrel{··}{y}\left(L\right)\\ =-\mathrm{EI}{\int }_0^L\stackrel{·}{y}\left(x\right)y_{\mathrm{fxxxx}}\left(x\right)\mathrm{dx}+\mathrm{EI}{\int }_0^L{y}_{\mathrm{xx}}\left(x\right){\stackrel{·}{y}}_{\mathrm{xx}}\left(x\right)\mathrm{dx}+s_f({\mathrm{EIy}}_{\mathrm{fxxx}}\left(L\right)+F_f)\\ =-\stackrel{·}{y}\left(L\right){\mathrm{EIy}}_{\mathrm{fxxx}}\left(L\right)+s_f({\mathrm{EIy}}_{\mathrm{fxxx}}\left(L\right)+F_f)\\ =s_f{F}_f=-{\eta }_3\left|s_f\right|-k_3{s}_f^2\le -{2k}_3{V}_f\end{array}$则可见，V_f(t)指数收敛至零，收敛速度取决于k₃，可知快系统的闭环系统是指数稳定的；由快、慢子系统控制律，得到复合控制律：$\tau ={\tau }_s+{\tau }_f=-I_h(c\stackrel{·}{e}-{\stackrel{··}{\theta }}_d)-{\eta }_1\mathrm{sgn}{s}_s-k_1{s}_s---\left(23\right)$$F=F_s+F_f=-(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\rho L}}^2)(c\stackrel{·}{e}-{\stackrel{··}{\theta }}_d)-{\eta }_2\mathrm{sgn}{s}_s-k_2{s}_s-{\eta }_3\mathrm{sgn}\left(s_f\right)-k_3{s}_f---\left(24\right)$根据奇异摄动原理，按快慢系统分别设计稳定的控制律，所得到复合控制律是稳定的；在仿真过程中，控制律的参数选为c＝15，k₁＝30，η₁＝5，k₂＝5，η₂＝5,k₃＝40,η₃＝5；输入控制律为式(23)和式(24)；因为干扰是慢时变的，所以选取d₁(t)＝1+0.1sin(t)(N·m)，d₂(t)＝1+0.1sin(t)(N·m)；系统其他物理参数如表1所示；表1柔性机械臂物理参数的数值步骤4：设计结束整个设计过程重点考虑三个方面，分别是柔性机械臂的动力学建模，PDE模型的分解及控制律的设计；围绕这三个方面，首先在上述步骤1中利用哈密尔顿原理求出了整个系统的PDE模型；步骤2运用奇异摄动原理对原PDE模型进行了分解；步骤3考虑系统外界干扰的不确定性，给出了滑模控制律的设计方法并得到复合控制律；经过上述各步骤后，设计结束。