密集模态含阻尼结构模型修正方法

摘要

本发明公开了一种密集模态含阻尼结构模型修正方法，其主要特点是：设定有限元各矩阵的误差是各单元相应子矩阵的误差累积而成，并假设初始的各单元子矩阵与准确矩阵只相差修正因子；在修正算法中首先将动力学方程转换为状态方程，并求特征解；对不同阶的初始状态方程与假设的准确的状态方程的特征方程分别前乘计算与试验得到的不同阶复振型，再相减并整理，得到关于修正因子的线性方程组；用最小二乘法计算修正因子，进而得到修正后的有限元矩阵。该方法实施规范，便于计算机编程实施，由于不要求获知试验与计算模态的一一对应情况，因此适用于密集模态含阻尼结构的模型修正。修正后的模型不仅可用于模态计算，还可用于动力学响应计算分析。

主权项

一种密集模态含阻尼结构模型修正方法，其特征在于：对于初始建立的有限元模型，假设其刚度、质量、阻尼矩阵分别为K、M、C，各矩阵规模为m×m，而各矩阵分别为Ne个元素的单元矩阵叠加构成；通过对含阻尼结构进行复模态测试，来得到结构的若干个特征解，具体可假设包括2N个复特征值(r＝1,2,…2N)及2N个复特征向量(r＝1,2,…2N)；利用K、M、C构建A，B矩阵，建立状态方程，实现微分方程的降阶，基于复模态理论与矩阵计算，构建出以各元素刚度、质量、阻尼的比例修正系数为未知量的线性方程组，再通过最小二乘法来获得这些修正系数的近似解；粘性阻尼系统的自由振动方程为$M\stackrel{··}{u}\left(t\right)+C\stackrel{·}{u}\left(t\right)+\mathrm{Ku}\left(t\right)=0---\left(1\right)$其特征值方程(λ²Μ+λC+Κ)Φ＝0   (2)引入由位移和速度所组成的2N维状态向量$v\left(t\right)\stackrel{\mathrm{def}}{=}{\left[u\left(t\right)\stackrel{·}{u}\left(t\right)\right]}^T---\left(3\right)$改写为状态方程形式，此时，方程(1)可写作由状态向量描述的一阶线性微分方程组$\left\{\begin{array}{c}A\stackrel{·}{v}\left(t\right)+\mathrm{Bv}\left(t\right)=0\\ v\left(0\right)=v_0\end{array}\right.---\left(4\right)$其中$A\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}C& M\\ M& 0\end{array}\right],B\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}-K& 0\\ 0& M\end{array}\right].v_0\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{c}{u}_0\\ {\stackrel{·}{u}}_0\end{array}\right]---\left(5\right)$设系统在状态空间中的运动为v(t)＝Ψe^λt   (6)相应的特征值问题为$(B-\mathrm{\lambda A})\Psi =(\left[\begin{array}{cc}-K& 0\\ 0& M\end{array}\right]-\lambda \left[\begin{array}{cc}C& M\\ M& 0\end{array}\right])\left[\begin{array}{c}\tilde{\Psi }\\ \hat{\Psi }\end{array}\right]=0---\left(7\right)$或BΨ＝λAΨ   (8)将(8)展开与(2)比较，不难看出它们具有相同的特征值λ_r(r＝1,2,…2N)并且特征向量满足以下关系${\Psi }_r\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{c}{\tilde{\Psi }}_r\\ {\hat{\Psi }}_r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\Phi }_r\\ {\lambda }_r{\Phi }_r\end{array}\right](r=\mathrm{1,2},···2N)---\left(9\right)$对于含有粘性阻尼结构的有限元模型(或“分析模型”)，设Ψ_i，λ_i分别为分析模型的第i阶复振型和第i阶复频率，根据(3.34)式有BΨ_i＝λ_iAΨ_i   (10)同样地假设对应结构的真实的质量，刚度和阻尼矩阵分别为K^*,M^*,C^*，并设分别为“真实模型”的第j阶复振型和第j阶复频率；它们自然也满足$B^{*}{\Psi }_j^{*}={\lambda }_j^{*}{A}^{*}{\Psi }_j^{*}---\left(11\right)$其中$A^{*}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}{C}^{*}& M^{*}\\ M^{*}& 0\end{array}\right]---\left(12\right)$$B^{*}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}{-K}^{*}& 0\\ 0& M^{*}\end{array}\right]---\left(13\right)$假定真实模型与分析模型具有以下修正关系$K^{*}=K+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}{\alpha }_n{K}_n,---\left(14\right)$$M^{*}=M+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{Ne}}{\Sigma }}{\beta }_n{M}_n---\left(15\right)$$C^{*}=C+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{Ne}}{\Sigma }}{\gamma }_n{C}_n---\left(16\right)$其中，Κ_n，Μ_n，C_n是全局坐标下第n个单元的刚度矩阵，质量矩阵和阻尼矩阵，α_n,β_n,γ_n是相应的修正系数，N_e是分析模型中有限单元的个数；方程(10)两边左乘方程(11)两边左乘(Ψ_i)^T得到${\left({\Psi }_j^{*}\right)}^T{\mathrm{B\Psi }}_i={\lambda }_i{\left({\Psi }_j^{*}\right)}^T{\mathrm{A\Psi }}_i---\left(17\right)$和${\left({\Psi }_i\right)}^T{B}^{*}{\Psi }_j^{*}={\lambda }_j^{*}{\left({\Psi }_i\right)}^T{A}^{*}{\Psi }_j^{*}.---\left(18\right)$已知A,B是对称矩阵，将(17)式两边转置得${\left({\Psi }_i\right)}^T{\mathrm{B\Psi }}_j^{*}={\lambda }_i{\left({\Psi }_i\right)}^T{\mathrm{A\Psi }}_j^{*}---\left(19\right)$(18)式减(19)式，并用(14)(15)(16)整理得$\begin{array}{c}\left[{\Phi }_i^T{\lambda }_i{\Phi }_i^T\right]\left[\begin{array}{cc}-\underset{n=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}{\alpha }_n{K}_n& 0\\ 0& \underset{n=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}{\beta }_n{M}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\Phi }_j^{*}\\ {\lambda }_j^{*}{\Phi }_j^{*}\end{array}\right]=\\ \left[{\Phi }_i^T{\lambda }_i{\Phi }_i^T\right]\left[\begin{array}{cc}({\lambda }_j^{*}-{\lambda }_i)C+{\lambda }_j^{*}\underset{n=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}{\gamma }_n{C}_n& ({\lambda }_j^{*}-{\lambda }_i)M+{\lambda }_j^{*}\underset{n=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}{\beta }_n{M}_n\\ ({\lambda }_j^{*}-{\lambda }_i)M+{\lambda }_j^{*}\underset{n=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}{\beta }_n{M}_n& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\Phi }_j^{*}\\ {\lambda }_j^{*}{\Phi }_j^{*}\end{array}\right]\end{array}---\left(20\right)\begin{array}{}\end{array}$展开上式并令：$\left\{\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{ij},n}={\left({\Phi }_i\right)}^T{K}_n{\Phi }_j^{*}\\ V_{\mathrm{ij},n}={\left({\lambda }_j^{*}\right)}^2{\left({\Phi }_i\right)}^T{M}_n{\Phi }_j^{*}\\ W_{\mathrm{ij},n}={\lambda }_j^{*}{\left({\Phi }_i\right)}^T{C}_n{\Phi }_j^{*}\\ f_{\mathrm{ij}}={\left({\lambda }_i\right)}^2{\left({\Phi }_i\right)}^{T}M{\Phi }_j^{*}-{\left({\lambda }_j^{*}\right)}^2{\left({\Phi }_i\right)}^{T}M{\Phi }_j^{*}+\\ {\lambda }_i{\left({\Phi }_i\right)}^{T}C{\Phi }_j^{*}-{\lambda }_j^{*}{\left({\Phi }_i\right)}^{T}C{\Phi }_j^{*}\end{array}\right.---\left(21\right)$得到$\underset{n=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}{\alpha }_n{U}_{\mathrm{ij},n}+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}{\beta }_n{V}_{\mathrm{ij},n}+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}{\gamma }_n{W}_{\mathrm{ij},n}=f_{\mathrm{ij}}---\left(22\right)$写成矩阵形式就得到Uα+Vβ+Wγ＝f   (23)其中U,V和W是N_m×N_e矩阵；α,β和γ是N_e维列向量，f是N_m维列向量；进一步地，(23)式可以写成Gτ＝f   (24)式中G＝[U V W]   (25)且$\tau =\left\{\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array}\right\}.---\left(26\right)$(24)式为超定方程组，用最小二乘求解就得到修正参数的估计值，然后通过式(14)‑(16)可以获得修正后准确的的刚度、质量、阻尼矩阵Κ^*，Μ^*，C^*。