大跨度索桥结构非线性系统半主动振动控制方法

摘要

本发明是一种大跨度索桥结构非线性系统半主动振动控制方法，包括如下步骤：（1）建立作用在大跨度索桥结构上的抖振力荷载模型；（2）建立大跨度索桥结构振动控制系统模型；（3）选取如式3所描述的复合型性能指标；   式3；（4）对式2和式3实施极大值原理：   式2；（5）求最优振动控制律。本发明考虑了大跨度索桥结构中的非线性动力特征，建立了更加接近现实的控制系统；使用了较为合理的控制器的求解方案，最优振动控制律对于大跨度索桥结构非线性系统具有较好的减振作用，更加适应于大幅值振动的大跨度索桥的控制。

主权项

一种大跨度索桥结构非线性系统半主动振动控制方法，其特征在于，包括如下步骤：（1）建立作用在大跨度索桥结构上的抖振力荷载模型：由多个三角函数组成的谐波相互叠加模拟作用在大跨度索桥结构上的抖振力荷载，第j个组成波的作用在大跨度索桥结构上的抖振力可由下列式子给出：j=1,2,…,r其中，A_j，ω_j分别表示第j个组成波的振幅、频率和初相角，令$\bar{p}\left(t\right)=[\overline{p_1},\overline{p_2},···,\overline{p_r}{]}^T,$得$\stackrel{··}{p_j}=-{\omega }^2\overline{p_j},j=\mathrm{1,2},···,r,$$\begin{array}{c}\stackrel{\stackrel{··}{~}}{p}\left(t\right)=-\mathrm{diag}\{{{\omega }_1}^2,{{\omega }_2}^2,···,{{\omega }_r}^2\}\tilde{p}\left(t\right)\\ =-{\bar{\Omega }}^2\tilde{p}\left(t\right)\end{array}$其中，$\bar{\Omega }=\mathrm{diag}\{{\omega }_{1,}{\omega }_2,···,{\omega }_r\}.$令$w\left(t\right)={\left[\begin{array}{cc}\bar{p}\left(t\right)& \stackrel{\stackrel{·}{‾}}{p}\left(t\right)\end{array}\right]}^T$可得$\stackrel{·}{w}\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}0& I_r\\ -{\bar{\Omega }}^2& 0\end{array}\right]w\left(t\right)=\bar{G}w\left(t\right),$$\tilde{p}\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}{I}_r& 0\end{array}\right]w\left(t\right),$其中，I_r是单位矩阵，0∈R^r×r是零矩阵；作用在大跨度索桥结构上的抖振力荷载模型为式1所描述的外系统：$\begin{array}{c}\stackrel{·}{w}\left(t\right)=\bar{G}w\left(t\right),\\ p\left(t\right)=\bar{F}w\left(t\right)\end{array}$   式1，其中：p(t)为作用在大跨度索桥结构上的抖振力；（2）建立大跨度索桥结构振动控制系统模型：抖振力荷载作用下索‑桥耦合振动动力系统为：$\stackrel{··}{W}\left(t\right)+({\omega }_1^2+a_{3}Y\left(t\right))W+a_1{W}^3\left(t\right)+a_2{W}^2\left(t\right)+a_{4}Y\left(t\right)=0,$$\stackrel{··}{Y}\left(t\right)+2{\omega }_2\xi \stackrel{·}{Y}\left(t\right)+{\omega }_2^{2}Y\left(t\right)+a_{5}W\left(t\right)+a_6{W}^2\left(t\right)=u\left(t\right)+p\left(t\right)$其中，W(t)为偏离平衡位置的位移；Y(t)为索端的位移，即桥面沿索方向的位移；ω₁和ω₂为索和桥面的固有频率；ξ为为桥面的阻尼比；a_i(i=1,2,…,6)为系统参数，u(t)是半主动控制力，p(t)是抖振力荷载，由式1产生；选取状态变量：$x_1\left(t\right)=W\left(t\right),x_2\left(t\right)=\stackrel{·}{W}\left(t\right),x_3\left(t\right)=Y\left(t\right),x_4\left(t\right)=\stackrel{·}{Y}\left(t\right),$则大跨度索桥结构振动控制系统模型为:$\begin{array}{c}\stackrel{·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)+f\left(x\right)+\mathrm{Dp}\left(t\right),\\ x\left(0\right)=x_0,\end{array}$   式2；其中，$A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -{\omega }_1^2& 0& {-a}_4& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -a_5& 0& -{\omega }_2^2& -2{\omega }_2\xi \end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right],$$f\left(x\right)=[\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}0& -a_1{x}_1^2\left(t\right)-a_3{x}_3\left(t\right)x_1\left(t\right)& 0& -a_6{x}_1^2\left(t\right).\end{array}\end{array}{]}^T$（3）选取如式3所描述的复合型性能指标；$J=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_0^T[x^T\left(t\right)\mathrm{Qx}\left(t\right)+{\mathrm{Ru}}^2\left(t\right)]\mathrm{dt},$   式3；（4）对式2和式3实施极大值原理：首先构造哈密顿函数如式4：H(·)=x^TQx₁+Ru²+λ^T(Ax+Bu+f(x)+Dp_ω)   式4；进而根据极值条件，把式1在性能指标式3的约束下求控制器u(t)的问题转化为求解下述非线性两点边值的问题，如式5：$\begin{array}{c}-\stackrel{·}{\lambda }\left(t\right)=\mathrm{Qx}\left(t\right)+A^T\lambda \left(t\right)+f_x^T\left(x\right)\lambda \left(t\right),\\ \stackrel{·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)-\mathrm{S\lambda }\left(t\right)+f\left(x\right)+\mathrm{Dp}\left(t\right),\\ x\left(0\right)=x_0,\\ \lambda (\infty )=0\end{array}$   式5；（5）求最优振动控制律：使用逐次逼近方法求解式5描述的非线性两点边值问题的迭代解，令λ(t)=P₁x(t)+P₂p(t)+P₃p_ω(t)+g(t)其中，g(t)是一个共态向量，对λ(t)=P₁x(t)+P₂p(t)+P₃pω(t)+g(t)求导，然后把式2的第一式$\stackrel{·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)+f\left(x\right)+\mathrm{Dp}\left(t\right):$代入其中，得$\begin{array}{c}\stackrel{·}{\lambda }\left(t\right)=P_1\stackrel{·}{x}\left(t\right)+P_2\stackrel{·}{p}\left(t\right)+P_3\stackrel{··}{p}\left(t\right)+\stackrel{·}{g}\left(t\right)\\ =(P_{1}A-P_1{\mathrm{SP}}_1)x\left(t\right)+(P_{1}D-P_1{\mathrm{SP}}_2)p\left(t\right)\\ +(P_2-P_1{\mathrm{SP}}_3)\stackrel{·}{p}\left(t\right)+P_3\stackrel{··}{p}\left(t\right)-P_1\mathrm{Sg}\left(t\right)+P_{1}f\left(x\right)+\stackrel{·}{g}\left(t\right).\end{array}$由式2和式5，得$\stackrel{·}{\lambda }\left(t\right)=-(Q+A^T{P}_1)x\left(t\right)-A^T{P}_{2}p\left(t\right)-A^T{P}_3{p}_{\omega }\left(t\right)-A^{T}g\left(t\right)-f_x^T\left(x\right)\lambda \left(t\right)$考虑到$\stackrel{·}{p}\left(t\right)=\bar{F}\stackrel{·}{w}\left(t\right)=\bar{F}\bar{G}w\left(t\right)\stackrel{A}{=}{p}_{\omega }\left(t\right)$通过比较的系数，得到矩阵方程组式7以及序列式8和式9，从而可求得式6所描述的最优振动控制律$\begin{array}{c}{A}^T{P}_1+P_{1}A-P_{1}S{P}_1+Q=0,\\ {(A^T-P_{1}S)}^2{P}_2\bar{F}+P_2\bar{F}{\Omega }^2=-(A^T-P_{1}S)P_{1}D\bar{F}\\ {(A^T-P_{1}S)}^2{P}_3\bar{F}+P_3\bar{F}{\Omega }^2=P_{1}D\bar{F}\end{array},,$   式7；$\begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(t\right)=\Phi \left(t\right)x_0+{\int }_0^t\Phi (r-t)[(D-{\mathrm{SP}}_2)p\left(r\right)-{\mathrm{SP}}_3{p}_{\omega }\left(r\right)-{\mathrm{Sg}}^{\left(0\right)}\left(r\right)]\mathrm{dr},\\ x^{\left(k\right)}\left(t\right)=\Phi \left(t\right)x_0+{\int }_0^t\Phi (r-t)[(D-S{P}_2)p\left(r\right)-{\mathrm{SP}}_3{p}_{\omega }\left(r\right)-{\mathrm{Sg}}^{\left(k\right)}\left(r\right)\\ +f\left(x^{(k-1)}\left(r\right)\right)]\mathrm{dr},k=\mathrm{1,2},···,\end{array}$   式8；$\begin{array}{c}{g}^{\left(0\right)}\left(t\right)={\int }_t^{\infty }{\Phi }^T(r-t)f_x^T\left(0\right)[P_{2}p\left(r\right)+P_3{p}_{\omega }\left(r\right)]\mathrm{dr},\\ g^{\left(k\right)}\left(t\right)={\int }_t^{\infty }{\Phi }^T(r-t)\{P_{1}f\left(x^{(k-1)}\left(r\right)\right)+f_x^T\left(x^{k-1)}\left(r\right)\right)[P_1{x}^{(k-1)}\left(r\right)\\ +P_{2}p\left(r\right)+P_3{p}_{\omega }\left(r\right)+g^{(k-1)}\left(r\right)\left]\right\}\mathrm{dr},k=\mathrm{1,2}···,\end{array}$   式9；由上式7、8、9得出近似最优振动控制律为：u^(k)(t)=‑R^‑1B^Tλ^(k)(t)=‑R^‑1B^T[P₁x^(k)(t)+P₂p(t)+P₃p_ω(t)+g^(k)(t)]   式6；其中，而P₁，P₂和P₃由式7求得：x^(k)及g^(k)(t)由式8和式9求得。