基于Householder变换的无约束结构静力分析方法

摘要

本发明公开了基于Householder变换的无约束结构静力分析方法，其包括：步骤1、构建结构的刚体位移模式矩阵X；步骤2、根据刚体位移模式矩阵X构造6个相应的n×n阶Householder矩阵P_i；步骤3、利用步骤2中构造的Householder矩阵P_i对结构原始刚度矩阵做正交相似变换，得到去除刚体模态后的结构的刚度矩阵K_p；步骤4、采用修正共轭梯度法，求解用Householder矩阵去除结构总体刚体位移模态后的刚度方程K_PU_P=F_P。本发明通过去除结构的刚体位移模态，并控制共轭梯度法的指定最小误差阈值，精确求解结构响应；计算实施步骤简洁，不需要修改目前通用的有限元计算框架；采用修正共轭梯度法使得结构总体刚度矩阵的稀疏特性能够得到很好的利用，分步求解使得整体求解过程占用空间少、计算效率高。

主权项

基于Householder变换的无约束结构静力分析方法，其特征在于，其包括：步骤1、构建结构的刚体位移模式矩阵H：H=[h₁ h₂ h₃ h₄ h₅ h₆]    （1）其中，h₁～h₃为结构的平动刚体位移模式，h₄～h₆为结构的转动刚体位移模式，h₁～h₆均为n维列向量，n为结构整体自由度；步骤2、根据h₁～h₆构造6个相应的n×n阶Householder矩阵P_i，i=1，2……6；设结构离散化后计算得到的未指定位移边界条件的有限元整体刚度阵为K，则此刚度阵K具有6重零特征值，且具有6个对应于零特征值的正交特征向量，这6个特征向量张成的空间为刚度阵K的零空间，这个零空间与6个结构刚体位移模式张成的空间一致，即满足K*h_i=0    （2）所述步骤2包括以下步骤：步骤21、首先将平动刚体位移模式h₁单位化，且与单位向量e₁一起用来构造Householder矩阵P₁，使得：P₁*h₁=e₁    （3）所述Householder矩阵P₁为对称正交矩阵；使用Householder矩阵P₁对刚度阵K进行相似变换，将刚度阵K的第一行和第一列均化为0，即：K₁=P₁*K*P₁    （4）其中，K₁是刚度阵K的第一行和第一列均为0的相似刚度矩阵；步骤22、构造Householder矩阵P₂，使用Householder矩阵P₂对相似刚度矩阵K₁进行相似变换，可使相似刚度矩阵K₁的前两行和前两列均为0，即：K₂=P₂*K₁*P₂    （5）其中，K₂是相似刚度矩阵K₁和刚度阵K的前两行和前两列均为0的相似刚度矩阵；构造Householder矩阵P₂的方法是：根据公式（2）以及正交对称矩阵特性可知：K*h_i=0    （6）P₁*P₁=I_n    （7）其中，I_n为n×n阶单位矩阵；由公式（6）、（7）可得：K₁*P₁*h₂=0    （8）令：h₂′=P₁*h₂    （9）h₂′为新构造的平动刚体位移模式，由于相似刚度矩阵K₁的第一列元素均为零，且根据特征向量两两相互正交的特点，将h₂′的第一个元素赋值为零，即：h₂′(1)=0    （10）将新构造的平动刚体位移模式h₂′单位化与单位向量e₂一起构造Householder矩阵P₂：P₂*h₂′=e₂    （11）步骤23、根据步骤22中构造Householder矩阵P₂的方法逐个对平动刚体位移模式h₃以及转动刚体位移模式h₄～h₆进行操作，构造新的平动刚体位移模式h₃′以及新的转动刚体位移模式h₄′～h₆′，进一步构造Householder矩阵P₃～P₆；步骤3、利用步骤2中构造的Householder矩阵P_i对结构原始刚度矩阵做正交相似变换，得到去除刚体模态后的结构的刚度矩阵K_p：K_p=P₆P₅P₄P₃P₂P₁KP₁P₂P₃P₄P₅P₆    （12）简化得：K_p=P^TKP    （13）其中，P=P₁P₂P₃P₄P₅P₆；步骤4、通过有限元离散并用常规方法得到结构静力问题分析的线性方程：KU=F    （14）其中K为刚度阵，U为待求解的位移向量，F为外载右端项；通过Householder矩阵的正交相似变换去除结构总体刚体位移模态后上述方程（14）为：K_PU_P=F_P    （15）其中，K_P=P^TKP，U_P=P^TU，F_P=P^TF，P=P₁P₂P₃P₄P₅P₆。