基于螺旋空间交集运算的并联机构自由度分折方法

摘要

本发明公开了一种基于螺旋空间交集运算的并联机构自由度分析方法。该方法的步骤如下：计算支链螺旋空间的维数；计算双支链单环机构动平台自由度；计算两条支链螺旋空间的交集空间；计算多环并联机构动平台的自由度；布置并联机构的驱动器；识别支链中可能存在的局部自由度；计算并联机构的整体自由度。本发明能够无例外地正确计算所有类型并联机构的动平台自由度和机构整体自由度；对于单环机构，无需求取双支链螺旋空间的交集空间，而能直接获得动平台自由度；对于两条支链螺旋空间并集的维数等于一条支链螺旋矩阵的秩，或者等于两条支链螺旋矩阵的秩之和的情况，能够直接获得交集空间而无需任何运算。

主权项

1.一种基于螺旋空间交集运算的并联机构自由度分析方法，其特征在于该方法的步骤如下：（1）计算支链螺旋空间的维数：设$ⁱj为第i条支链中第j个运动副的螺旋向量，则支链i各运动副组成的运动螺旋的集合为M_i={$ⁱ1,$ⁱ2,…,$ⁱn_i}，集合构成的矩阵的秩为Rank(M_i)≤6，因此支链i的运动螺旋构成Rank(M_i)维螺旋空间，记为A_i，螺旋空间A_i的维数Dim(A_i)=Rank(M_i)；（2）计算双支链单环机构动平台自由度：一条支链螺旋空间A₁的维数Dim(A₁)=Rank(M₁)，另一条支链螺旋空间A₂的维数Dim(A₂)=Rank(M₂)，M₁∪M₂={$¹1,$¹2,…,$¹n₁,$²1,$²2,…,$²n₂}，则螺旋空间A₁和A₂的并集空间的维数Dim(A₁∪A₂)=Rank(M₁∪M₂)，因此单环并联机构动平台自由度计算为DOF(MovingPlatform)=Rank(M₁)+Rank(M₂)-Rank(M₁∪M₂)    (1)；（3）计算两条支链螺旋空间的交集空间：根据两条支链的运动螺旋集合M₁和M₂及其并集M₁∪M₂，计算这些集合构成的螺旋矩阵的秩N₁=Rank(M₁)，N₂=Rank(M₂)，N₃=Rank(M₁∪M₂)，假定N₁≥N₂，显然N₃>=N₁，如果N₃=N₁，则A₁∩A₂=A₂，即A₂就是螺旋空间A1∩A2的交集空间，如果N₃=N₁+N₂，说明M₂中全体螺旋向量对M₁∪M₂中螺旋向量的数目都有贡献，即螺旋空间A₁与螺旋空间A₂互不包含，此时A1∩A2=，即机构不能运动，如果N₁<N₃<N₁+N₂，说明M₂中部分螺旋向量对M₁∪M₂中螺旋向量的数目有贡献，A₁∩A₂螺旋空间中的基螺旋数目为N₁+N₂-N₃，此时需要按如下步骤计算A₁∩A₂的基螺旋的：（3.1）在6维空间中分别计算螺旋空间A₁和A₂的补集空间，记为T₁和T₂，显然T₁∪A₁=T₂∪A₂=R⁶，若螺旋向量用$=(l,m,n,p,q,r)^T表示，则螺旋集合所构成的螺旋矩阵为$S=\left[\begin{array}{cccc}{l}_1& l_2& ...& l_{n1}\\ m_1& m_2& ...& m_{n1}\\ n_1& n_2& ...& n_{n1}\\ p_1& p_2& ...& p_{n1}\\ q_1& q_2& ...& q_{n1}\\ r_1& r_2& ...& r_{n1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\$}_1& {\$}_2& ...& {\$}_{n1}\end{array}\right]$计算补集空间的方法就是求解以下齐次线性方程组S^Tx=0                        (2)方程组的非0解表示了补集空间的基螺旋，如此分别求出螺旋集合M₁和M₂中螺旋系的互补螺旋，将这两组互补螺旋的集合分别记为Q₁和Q₂，它们即分别为补集空间T₁和T₂的基螺旋；（3.2）按照步骤（3.1）计算T₁和T₂的并集空间T₁∪T₂，即并集Q₁∪Q₂中的基螺旋；（3.3）在6维空间中计算并集空间T₁∪T₂的补集空间，即为A₁∩A₂，显然(T₁∪T₂)∪(A₁∩A₂)=R⁶，计算方法是根据(式2)求解集合Q₁∪Q₂中各螺旋的互补螺旋，将其集合记为M₁₂，则集合M₁₂中有6-Rank(Q₁∪Q₂)条螺旋，它们即为A₁∩A₂的基螺旋，这些基螺旋张成的螺旋空间就是所要求的交集空间，交集空间的维数Dim(A₁∩A₂)=Rank(M₁₂)；（4）计算多环并联机构动平台的自由度：计算公式为DOF(MovingPlatform)=Rank(M₁₂)+Rank(M₃)-Rank(M₁₂∪M₃)    (3)；（5）布置并联机构的驱动器：对于并联机构的任意两条支链，不含冗余驱动的并联机构驱动布置方案必须满足以下条件，一是去除掉配置驱动器的运动副后，支链运动螺旋集合M₁’构成的螺旋矩阵的秩Rank(M₁’)<Rank(M₁)，同样Rank(M₂’)<Rank(M₂)，二是去除掉配置驱动器的运动副后，两条支链运动螺旋集合的并集M₁’∪M₂’构成的螺旋矩阵的秩Rank(M₁’∪M₂’)=Rank(M₁∪M₂)，三是去除掉配置驱动器的运动副后，两条支链运动螺旋集合的并集构成的螺旋矩阵的秩Rank(M₁’∪M₂’)=Rank(M₁’)+Rank(M₂’)；（6）识别支链中可能存在的局部自由度：对于按照步骤（5）进行驱动器布置的机构，排除各支链含有驱动器的运动副，然后计算各支链新的螺旋矩阵的秩，记为Rank(M²_i)，然后去除一个驱动器，则支链增加一个原驱动器所在运动副的运动螺旋，计算新增一个运动螺旋之后支链螺旋矩阵的秩，记为Rank(M³_i)，若Rank(M³_i)=Rank(M²_i)，说明原驱动器所在运动副为局部自由度，这个驱动器确实应该去除掉，若Rank(M³_i)>Rank(M²_i)，说明原驱动器所在运动副不是局部自由度，这个驱动器不能去除，重复上述过程直到全部驱动器都完成检验，对于不再含有驱动器布置在局部自由度的机构，排除各支链含驱动器的运动副，然后计算各支链新的螺旋矩阵的秩Rank(M⁴_i)，并计算此时支链所剩运动副的自由度之和W_i，则各条支链的局部自由度数目ξ_i=W_i-Rank(M⁴_i)；（7）计算并联机构的整体自由度：考虑了支链冗余运动螺旋和局部自由度的机构整体自由度公式为$\mathrm{DOF}\left(\mathrm{Mechanism}\right)=\mathrm{DOF}\left(\mathrm{MovingPlatform}\right)+\underset{i=1}{\overset{I}{\Sigma }}{F}_{\mathrm{ri}}-\underset{i=1}{\overset{I}{\Sigma }}{\xi }_i---\left(4\right)$其中，支链冗余运动螺旋的自由度为$f_{\mathrm{ri}}=\underset{j=1}{\overset{g_i}{\Sigma }}{F}_{\mathrm{ij}}-\mathrm{Rank}\left(M_i\right)$表示支链中全体运动副自由度总和。