数据缺失下时间序列相似性度量方法

摘要

本发明公开了一种能够适应缺失数据的时间序列相似性度量方法。该方法从原始的两个时间序列两两提取数据对，并根据数据缺失情况分为5种，分别计算一阶相似度区间；对一阶相似度区间，两两提取区间计算二阶相似度，并得到二阶相似度向量；最后对二阶相似度向量做平均，得到最终的两个时间序列的相似度。本发明能适应多种场景，方法简单，对数据完整性没有任何要求。

主权项

1.数据缺失下时间序列相似性度量方法，其特征在于：假设针对两个时间序列X_i＝(x_i1,x_i2...)和X_j＝(x_j1,x_j2...)，时间序列长度都是N，时间序列每个值都有上限x，下限为0，相似度计算方法如下：1）两两提取两个时间序列的数据对，设分别对两个时间序列提取第m和第n个数据，得到x_jm,x_jn和x_im,x_in，共有对；且每一个数据的约束为2）针对这对数据中的每一对{x_im,x_in}和{x_jm,x_jn}，分为如下五种情况考虑计算相似度区间，该区间称之为一阶相似度：（1）如果数据都不缺失，则按照下面的公式：$s_{\mathrm{mn}}^{\prime }\left(\right\{x_{\mathrm{im}},x_{\mathrm{in}}\},\{x_{\mathrm{jm}},x_{\mathrm{jn}}\left\}\right)=\frac{x_{\mathrm{im}}{x}_{\mathrm{jm}}+x_{\mathrm{in}}{x}_{\mathrm{jn}}}{\sqrt{{\left(x_{\mathrm{jm}}\right)}^2+{\left(x_{\mathrm{jn}}\right)}^2}\sqrt{{\left(x_{\mathrm{im}}\right)}^2+{\left(x_{\mathrm{in}}\right)}^2}}$最终的数据对相似度区间为：s_mn∈[s_mn′({x_im,x_in}，{x_jm,x_jn}),s_mn′({x_im,x_in}，{x_jm,x_jn})]（2）如果数据都缺失，也即{x_im,x_in}={NaN,NaN}以及{x_jm,x_jn}={NaN,NaN}，则：s_mn∈[1,1]（3）如果数据只有一个缺失，不失一般性，假设x_jn=NaN，则按照余弦相似度计算思想，两个二元向量的相似度等于二维平面上两个向量的夹角余弦，当x_jn空缺，由于x_jn有上下限，从而，两个向量的夹角有一个最大值和最小值，从而相似度是一个也区间：s_mn∈[min(1,cos(Θ₁),cos(Θ₂)),max(1,cos(Θ₁),cos(Θ₂))]求得$\cos \left({\Theta }_1\right)=\frac{x_{\mathrm{im}}}{\sqrt{{\left(x_{\mathrm{im}}\right)}^2+{\left(x_{\mathrm{in}}\right)}^2}},\cos \left({\Theta }_2\right)=\frac{x_{\mathrm{im}}{x}_{\mathrm{jm}}+x_{\mathrm{in}}\bar{x}}{\sqrt{{\left(x_{\mathrm{jm}}\right)}^2+{\left(\bar{x}\right)}^2}\sqrt{{\left(x_{\mathrm{im}}\right)}^2+{\left(x_{\mathrm{in}}\right)}^2}};$（4）如果两个数据对都有数据缺失，且形式为{x_im,x_in}={x_im,NaN}以及{x_jm,x_jn}={x_jm,NaN}，则相似度是一个区间：$s_{\mathrm{mn}}\in [0,\max (\frac{x_{\mathrm{im}}}{\sqrt{{\left(x_{\mathrm{im}}\right)}^2+{\left(\bar{x}\right)}^2}},\frac{x_{\mathrm{jm}}}{\sqrt{{\left(x_{\mathrm{jm}}\right)}^2+{\left(\bar{x}\right)}^2}})]$（5）如果两个数据对都有一个缺失，且形式为{x_im,x_in}={x_im,NaN}以及{x_jm,x_jn}={NaN,x_jn}；或者两个数据对共有三个缺失，形式为{x_im,x_in}={x_im,NaN}以及{x_jm,x_jn}={NaN,NaN}，有一个相似度区间：s_mn∈[0,1]3）将每一个smn区间统一表达为表示区间起始值，表示区间结束值，对个相似度区间，再依次两两计算相似度，称之为二阶相似度；假设某一对相似度区间分别为和则它们的相似度s_mnkj为：$s_{\mathrm{mnkj}}=\frac{s_{\mathrm{mn}}^1{s}_{\mathrm{kj}}^1+s_{\mathrm{mn}}^2{s}_{\mathrm{kj}}^2}{\sqrt{{\left(s_{\mathrm{mn}}^1\right)}^2+{\left(s_{\mathrm{kj}}^1\right)}^2}\sqrt{{\left(s_{\mathrm{kj}}^1\right)}^2+{\left(s_{\mathrm{kj}}^2\right)}^2}},\forall m\ne n,k\ne j$可知，s_mnkj的个数为$\frac{C_{N(N-1)}^2}{2}=\frac{\frac{N(N-1)}{2}(\frac{N(N-1)}{2}-1)}{2}=\frac{N^4-{2N}^3-N^2-2N+2}{8}$4）对二阶相似度向量求平均，最终两个时间序列相似度s(X_i,X_j)为：$s(X_i,X_j)=\frac{\underset{m\ne \mathrm{nmk}\ne j}{\Sigma }{s}_{\mathrm{mnkj}}}{\frac{N^4-{2N}^3-N^2-2N+2}{8}}=\frac{8\underset{m\ne n,k\ne j}{\Sigma }{s}_{\mathrm{mnkj}}}{N^4-{2N}^3-N^3-2N+2}$至此，两个缺失数据的时间序列相似度求出来了。