一种基于整体动力学模型的静压转台动态响应计算方法

摘要

本发明涉及一种基于整体动力学模型的静压转台动态响应计算方法，包括：计算各支承油垫的平均油膜厚度及预压油垫的平均油膜厚度，计算预压油垫及支承油垫的承载力，建立静压转台的整体动力学模型，应用Matlab计算转台动力学模型的数值解从而求出转台的动态响应。本发明针对静压转台现有建模方法因考虑因素不全面，从而影响转台响应计算精度的问题，提供了一种考虑油垫表面粗糙度及偏载影响的静压转台动态响应的建模与计算方法，提高了模型的准确度及动态响应计算精度，对进一步优化静压转台的动态性能具有指导性作用。

主权项

1.一种基于整体动力学模型的静压转台动态响应计算方法，其特征在于，所建模型考虑了转台承受偏载和油垫粗糙度对转台动态响应的影响；所述方法包括以下步骤：步骤1，计算各支承油垫及预压油垫的平均油膜厚度；静压转台的支承油垫和预压油垫共同组成支承系统，预压油垫有一个安装在转台中心部位，支承油垫有多个沿支承圆的圆周均匀分布；忽略转台自身变形，假设转台为刚体，根据转台各油垫的分布位置计算各支承油垫及预压油垫的平均油膜厚度，公式如下：其中，h_i为第i个支承油垫的平均油膜厚度，i=1,2,…,n，n为支承油垫数量；为第i个支承油垫中心点与转台中心点连线与x轴的夹角；h_y为预压油垫的平均油膜厚度；h为转台所有支承油垫的平均油膜厚度；θ_x、θ_y分别为转台的x向和y向倾角；R_L为支承油垫中心与转台中心的距离；步骤2，计算预压油垫及支承油垫的承载力；步骤2.1，求油膜的随机雷诺方程；假设油垫油液的流态为层流，不考虑温度的影响，根据流体力学理论对柱坐标系下的N-S方程及连续性方程进行简化得到：$\frac{1}{r}\frac{\partial \left({\mathrm{ru}}_r\right)}{\partial r}+\frac{\partial \left(v_z\right)}{\partial z}=0---\left(2\right)$$\frac{\partial p}{\partial r}=\eta \frac{{\partial }^2{u}_r}{{\partial z}^2}---\left(3\right)$$\frac{\partial p}{\partial r}=0---\left(4\right)$其中，p为油液的压力，u_r为油液在r方向的流速，v_z为油液在z方向的流速，η为油液的粘度；求解上述方程可以得到一维随机雷诺方程：$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{{\mathrm{rh}}_T^3}{12\eta }\frac{\partial p}{\partial r}\right)=\frac{{\partial h}_T}{\partial t}---\left(5\right)$油膜厚度可以认为由两部分组成：h_T＝δ(r,θ,ξ)+h(t)(6)其中，δ＝δ₁+δ₂为支承油垫表面与导轨面及预压油垫表面与导轨面间的平均粗糙度，就是油膜厚度的粗糙部分，ξ表示粗糙度的分布类型；自然界中大部分表面的形貌都符合高斯分布，故假设转台的所有油垫表面及导轨表面的粗糙度满足高斯分布；h表示油膜厚度的光滑部分；步骤2.2，计算平均雷诺方程；将表面粗糙度分为周向粗糙度和径向粗糙度两部分，并对随机雷诺方程（5）取期望得到平均雷诺方程；对于径向粗糙度有h_T＝δ(θ,ξ)+h(t)，则平均雷诺方程为：$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{\mathrm{rE}\left(h_T^3\right)}{12\eta }\frac{\partial p}{\partial r}\right)=\frac{\partial E\left(h_T\right)}{\partial t}---\left(7\right)$对于周向粗糙度有h_T＝δ(r,ξ)+h(t)，则平均雷诺方程为：$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{r}{12\mathrm{\eta E}\left(h_T^{-3}\right)}\frac{\partial p}{\partial r}\right)=\frac{\partial E\left(h_T\right)}{\partial t}---\left(8\right)$工程中的粗糙表面大多服从高斯分布，用多项式近似表示的高斯分布为：其中，σ为标准差；c为随机油膜厚度范围的一半，方程在c＝±3σ内有效；令，粗糙度为周向粗糙度时，粗糙度为径向粗糙度时式（7）、（8）可统一写成：$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(\mathrm{rE}\frac{\partial p}{\partial r}\right)=T---\left(10\right)$同理得到油垫的油流量为：$Q\left(r\right)=-\frac{\mathrm{rE}}{12\eta }\frac{\partial p}{\partial r}---\left(11\right)$步骤2.3，计算支承油垫的承载力；步骤2.4，计算预压油垫的承载力；预压油垫为环形油垫，其结构简图如图3所示，对于环形油垫有边界条件为：$\left\{\begin{array}{c}r=R_{C1},p=0\\ r=R_{C2},p_y=p_{y0}\\ r=R_{C3},p_y=p_{y0}\\ r=R_{C4},p_y=0\\ Q_1=-Q\left(R_{C2}\right)+Q\left(R_{C3}\right)\end{array}---\left(16\right)\right.$其中，R_C1～R_C4分别为预压油垫封油边内径、预压油垫油腔内径、预压油垫油腔外径和预压油垫封油边外径；将（10）式中的p替换为p_y，并带入边界条件（16），解得预压油垫的油腔压力p_y0和封油边压力分布p_y(r)为：$p_0=\frac{6\eta \ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)\ln \left(\frac{R_{C2}}{R_{C1}}\right)}{\pi E\ln \left(\frac{R_{C4}{R}_{C2}}{R_{C3}{R}_{C1}}\right)}(Q_0+\frac{\mathrm{\pi T}(R_{C3}^2-R_{C2}^2)}{12\eta }-\frac{\mathrm{\pi T}(\ln \left(\frac{R_{C2}}{R_{C1}}\right)(R_{C4}^2-R_{C3}^2)+\ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)(R_{C1}^2-R_{C2}^2))}{24\eta \ln \left(\frac{R_{C2}}{R_{C1}}\right)\ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)})---\left(12\right)$当r∈(R_C1,R_C2)时压力分布为：$p_{y1}\left(r\right)=\frac{r^{2}T}{4\mathrm{\pi E}}-\frac{(p_0\ln \left(\frac{r}{R_{C1}}\right)+\frac{T(R_{C1}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C2}}\right)-R_{C2}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C1}}\right))}{4E})}{\ln \left(\frac{R_{C1}}{R_{C2}}\right)}---\left(18\right)$当r∈(R_C3,R_C4)时压力分布为：$p_{y2}\left(r\right)=\frac{r^{2}T}{4\mathrm{\pi E}}-\frac{(p_0\ln \left(\frac{r}{R_{C4}}\right)+\frac{T(R_{C4}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C3}}\right)-R_{C3}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C4}}\right))}{4E})}{\ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)}---\left(19\right)$环形预压油垫的承载力为：$F_y=\pi (R_{C3}^2-R_{C2}^2)p_{y0}+2\pi \underset{R_{C1}}{\overset{R_{C2}}{\int }}{\mathrm{rp}}_{y1}\left(r\right)\mathrm{dr}+2\pi \underset{R_{C3}}{\overset{R_{C3}}{\int }}{\mathrm{rp}}_{y2}\left(r\right)\mathrm{dr}---\left(20\right)$步骤3，建立静压转台的整体动力学模型；根据转台在外载作用时其所受力及力矩平衡，得到转台的动力学模型为：其中，为转台的转动惯量；F_w为外载，其偏距为b；G＝Mg为转台重量，M为转台质量；w为转台的转速；F_i为转台受到各支承油垫的支承力，F_y为预压力，F_i和F_y由（17）式和（22）式计算得到；步骤4，求转台的动态响应；首先，根据（1）、（15）、（20）、（21）式应用Matlab软件编写油膜厚度计算函数、支承油垫承载力计算函数、预压油垫承载力计算函数及根据平衡方程编写转台的各个方向的加速度计算函数；然后，在主函数中写入转台各项输入参数，包括转台的结构尺寸、各油垫的结构尺寸、油液参数及外载和边界条件，再调用承载力计算函数计算各油垫的承载力，代入平衡方程计算转台各方向的加速度，对其进行积分就得到转台的位移与速度；应用龙格库塔法进行上述计算，共需要四次修正；重复上述过程进行下一时间转台响应的计算，直到达到时间边界条件计算才终止。