考虑铁损的电动汽车永磁同步电机驱动系统控制方法

摘要

本发明公开了一种考虑铁损的电动汽车永磁同步电机驱动系统控制方法，针对电动汽车电机在电力驱动及控制系统中存在的非线性问题，为使电机能够快速达到稳定运行的状态，更加适合诸如电动汽车驱动系统等需要快速动态响应的控制对象，基于自适应模糊反步法设计了一种考虑铁损的永磁同步电机驱动系统控制方法。在本发明中，控制律ud和uq只选取一个自适应参数减少了计算量。本发明能够有效地解决面向现场的，在参数不确定和有负载转矩扰动的情况下考虑铁损的永磁同步电机的位置跟踪控制问题，使用模糊逻辑系统来逼近未知的非线性项，应用自适应模糊反步法来使跟踪误差趋近于零，可以达到更加准确的控制精度，保证了理想的位置跟踪控制效果。

主权项

1.考虑铁损的电动汽车永磁同步电机驱动系统控制方法，其特征在于，包括如下步骤：a、建立考虑铁损的永磁同步电机的动态数学模型建立包含动态电气特性和机械特性的考虑铁损的永磁同步电机六阶d-q轴动态数学模型：$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d\Theta }}{\mathrm{dt}}=\omega \\ \frac{\mathrm{d\omega }}{\mathrm{dt}}=\frac{n_p{\lambda }_{\mathrm{PM}}}{J}{i}_{\mathrm{oq}}-\frac{T_L}{J}\\ \frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{oq}}}{\mathrm{dt}}=\frac{R_c}{L_{\mathrm{mq}}}{i}_q-\frac{R_c}{L_{\mathrm{mq}}}{i}_{\mathrm{oq}}-\frac{n_p{L}_d}{L_{\mathrm{mq}}}{\mathrm{\omega i}}_{\mathrm{od}}-\frac{n_p{\lambda }_{\mathrm{PM}}}{L_{\mathrm{mq}}}\omega \\ \frac{{\mathrm{di}}_q}{\mathrm{dt}}=-\frac{R_1}{L_{\mathrm{lq}}}{i}_q+\frac{R_c}{L_{\mathrm{lq}}}{i}_{\mathrm{oq}}+\frac{1}{L_{\mathrm{lq}}}{u}_q\\ \frac{{\mathrm{di}}_{\mathrm{od}}}{\mathrm{dt}}=\frac{R_c}{L_{\mathrm{md}}}{i}_d-\frac{R_c}{L_{\mathrm{md}}}{i}_{\mathrm{od}}+\frac{n_p{L}_q}{L_{\mathrm{md}}}\omega i_{\mathrm{oq}}\\ \frac{{\mathrm{di}}_d}{\mathrm{dt}}=-\frac{R_1}{L_{\mathrm{lq}}}{i}_q+\frac{R_c}{L_{\mathrm{ld}}}{i}_{\mathrm{od}}+\frac{1}{L_{\mathrm{ld}}}{u}_d\end{array}\right.---\left(1\right)$定义Θ为电机位置、ω为电机角速度、n_p为极对数、J为转动惯量、T_L为负载转矩、i_d为d轴电流、i_q为q轴电流、u_d为d轴电压、u_q为q轴电压、i_od为d轴励磁电流分量、i_oq为q轴励磁电流分量、L_d为d轴电感、L_q为q轴电感、L_ld为d轴漏感、L_lq为q轴漏感、L_md为d轴励磁电感、L_mq为q轴励磁电感、R₁为定子电阻、R_c为铁心损耗电阻、λ_PM是转子永磁体的励磁磁通；为简化永磁同步电机的动态数学模型，定义如下变量：$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=\Theta ,x_2=\omega ,x_3=i_{\mathrm{oq}},x_4=i_q,x_5=i_{\mathrm{od}},x_6=i_d\\ a_1=n_p{\lambda }_{\mathrm{PM}},b_1=\frac{R_c}{L_{\mathrm{mq}}}\\ b_2=-\frac{n_p{L}_d}{L_{\mathrm{mq}}},b_3=-\frac{n_p{\lambda }_{\mathrm{PM}}}{L_{\mathrm{mq}}},b_4=-\frac{R_1}{L_{\mathrm{lq}}},b_5=\frac{R_c}{L_{\mathrm{lq}}}\\ c_1=\frac{1}{L_{\mathrm{lq}}}\end{array}\right.---\left(2\right)$永磁同步电机的动态数学模型用差分方程来表示为：$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=\frac{a_1}{J}{x}_3-\frac{T_L}{J}\\ {\stackrel{·}{x}}_3=b_1{x}_4-b_1{x}_3+b_2{x}_2{x}_5+b_3{x}_2\\ {\stackrel{·}{x}}_4=b_4{x}_4+b_5{x}_3+c_1{u}_q\\ {\stackrel{·}{x}}_5=b_1{x}_6-b_1{x}_5-b_2{x}_2{x}_3\\ {\stackrel{·}{x}}_6=b_4{x}_6+b_5{x}_5+c_1{u}_d\end{array}\right.,---\left(3\right)$b、设计一种考虑铁损的永磁同步电机驱动系统的控制方法，永磁同步电机的动态数学模型简化为两个近似独立的子系统，定义由状态变量x₁，x₂，x₃，x₄和控制律u_q组成子系统以及由状态变量x₅，x₆和控制律u_d组成子系统，定义跟踪误差变量$\left\{\begin{array}{c}{z}_1=x_1-x_{1d}\\ z_2=x_2-{\alpha }_1\\ z_3=x_3-{\alpha }_2\\ z_4=x_4-{\alpha }_3\\ z_5=x_5\\ z_6=x_6-{\alpha }_4\end{array}\right.,$定义x_1d为期望的位置信号，α_i为虚拟控制律，i＝1，2，3，4，k_j为正的设计参数，j＝1，2，3，4，5，6，控制方法设计的每一步都会选取一个合适的Lyapunov函数构建一个虚拟控制函数或者真实的控制律，控制方法的设计具体包括以下步骤：b.1根据差分方程对z₁求导可得误差动态方程：选择Lyapunov函数为对V₁求导可得：${\stackrel{·}{V}}_1=z_1{\stackrel{·}{z}}_1=z_1(x_2-{\stackrel{·}{x}}_{1d})---\left(4\right)$构建虚拟控制律α₁为：${\alpha }_1=-k_1{z}_1+{\stackrel{·}{x}}_{1d}---\left(5\right)$按照公式(5)，可以将公式(4)改写为：b.2根据差分方程对z₂求导可得误差动态方程：${\stackrel{·}{z}}_2=\frac{a_1}{J}{x}_3-\frac{T_L}{J}-{\stackrel{·}{\alpha }}_1---\left(6\right)$选择Lyapunov函数为对V₂求导可得：${\stackrel{·}{V}}_2=V_1+{\mathrm{Jz}}_2{\stackrel{·}{z}}_2=-k_1{z}_1^2+z_2(z_1+a_1{x}_3-J{\stackrel{·}{\alpha }}_1-T_L)---\left(7\right)$在实际系统中参数T_L是有界的，定义T_L是未知的正常数且上限为d，即0≤T_L≤d；根据杨氏不等式可得ε₂是一个任意小的正常数，将z₂T_L带入可得不等式：${\stackrel{·}{V}}_2\le -k_1{z}_1^2+z_2(z_1+a_1{x}_3-J{\stackrel{·}{\alpha }}_1+\frac{1}{2{ϵ}_2^2}{z}_2)+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2---\left(8\right)$构建虚拟控制律α₂为：${\alpha }_2=\frac{1}{a_1}(-z_1-k_2{z}_2+\hat{J}{\stackrel{·}{\alpha }}_1-\frac{1}{2{ϵ}_2^2}{z}_2)---\left(9\right)$定义为J的估计值；将α₂带入公式(8)中可得：${\stackrel{·}{V}}_2\le -\underset{j=g=1}{\overset{2}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2+a_1{z}_2{z}_3+z_2(\hat{J}-J){\stackrel{·}{\alpha }}_1+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2;---\left(10\right)$b.3根据差分方程对z₃求导可得误差动态方程：${\stackrel{·}{z}}_3={\stackrel{·}{x}}_3-{\stackrel{·}{\alpha }}_2=b_1{x}_4-b_1{x}_3+b_2{x}_2{x}_5+b_3{x}_2-{\stackrel{·}{\alpha }}_2---\left(11\right)$选择Lyapunov函数：进而对求V₃导可得：$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{V}}_3={\stackrel{·}{V}}_2+z_3{\stackrel{·}{z}}_3={\stackrel{·}{V}}_2+z_3(b_1{x}_4-b_1{x}_3+b_2{x}_2{x}_5+b_3{x}_2-{\stackrel{·}{\alpha }}_2)\\ \le -\underset{j=g=1}{\overset{2}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2+z_2(\hat{J}-J){\stackrel{·}{\alpha }}_1+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2+z_3(b_1{x}_4+a_1{z}_2-b_1{x}_3+b_2{x}_2{x}_5+b_3{x}_2-{\stackrel{·}{\alpha }}_2)\end{array}---\left(12\right)$构建虚拟控制律:${\alpha }_3=\frac{1}{b_1}(-k_3{z}_3-a_1{z}_2+b_1{x}_3-b_3{x}_2+{\stackrel{·}{\alpha }}_2)---\left(13\right)$按照公式(13)，可以得到:${\stackrel{·}{V}}_3\le -\underset{j=g=1}{\overset{3}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2+z_2(\hat{J}-J){\stackrel{·}{\alpha }}_1+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2+b_2{z}_3{x}_2{x}_5+b_1{z}_3{z}_4;---\left(14\right)$b.4根据差分方程对z₄求导可得误差动态方程：${\stackrel{·}{z}}_4={\stackrel{·}{x}}_4-{\stackrel{·}{\alpha }}_3=b_4{x}_4+b_5{x}_3+c_1{u}_q-{\stackrel{·}{\alpha }}_3---\left(15\right)$定义$Z_4={[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_{1d},{\stackrel{·}{x}}_{1d},{\stackrel{··}{x}}_{1d},\hat{J},\stackrel{·}{\hat{J}}]}^T;$选择Lyapunov函数对V₄求导可得：$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{V}}_4={\stackrel{·}{V}}_3+z_4{\stackrel{·}{z}}_4={\stackrel{·}{V}}_3+z_4(b_4{x}_4+b_5{x}_3+c_1{u}_q-{\stackrel{·}{\alpha }}_3)\\ \le -\underset{j=g=1}{\overset{3}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2+z_2(\hat{J}-J){\stackrel{·}{\alpha }}_1+\frac{1}{2}{ϵ}_1^2{d}^2+b_2{z}_3{x}_2{x}_5+z_4[f_4\left(Z_4\right)+c_1{u}_q]\end{array}---\left(16\right)$其中，f₄(Z₄)包含α₃的导数，使用模糊逻辑系统来近似非线性函数f₄(Z₄)，设f(x)是定义在紧集Ω上的连续函数，对于任何标量ε＞0，在形式y(x)＝W^TS(x)中存在一个模糊逻辑系统：对于任何一个给定的ε₄＞0，都存在一个模糊逻辑系统使得：$f_4\left(Z_4\right)=W_4^T{S}_4\left(Z_4\right)+{\delta }_4\left(Z_4\right)---\left(17\right)$其中，δ₄(Z₄)是近似误差，满足|δ₄(Z₄)|≤ε₄，通过运算得到如下不等式：$z_4{f}_4\left(Z_4\right)=z_4[W_4^T{S}_4\left(Z_4\right)+{\delta }_4\left(Z_4\right)]\le \frac{1}{{2l}_4^2}{z}_4^2{\left|\right|W_4\left|\right|}^2{S}_4^T\left(Z_4\right)S_4\left(Z_4\right)+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{z}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_4^2---\left(18\right)$因此，将公式(18)代入公式(16)可得：$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{V}}_4\le -\underset{j=g=1}{\overset{3}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2+z_2(\hat{J}-J){\stackrel{·}{\alpha }}_1+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2+b_2{z}_3{x}_2{x}_5+\frac{1}{{2l}_4^2}{z}_4^2{\left|\right|W_4\left|\right|}^2{S}_4^T\left(Z_4\right)S_4\left(Z_4\right)\\ +\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{z}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_4^2+c_1{z}_4{u}_q\end{array}---\left(19\right)$构建真实的控制律：$u_q=\frac{1}{c_1}[-k_4{z}_4-\frac{1}{2}{z}_4-\frac{1}{{2l}_4^2}{z}_4\hat{\theta }{S}_4^T\left(Z_4\right)S_4\left(Z_4\right)]---\left(20\right)$定义是未知常数θ的估计值，再按照公式(20)变换得到：${\stackrel{·}{V}}_4\le -\underset{j=g=1}{\overset{4}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2+z_2(\hat{J}-J){\stackrel{·}{\alpha }}_1+b_2{z}_3{x}_2{x}_5+\frac{1}{{2l}_4^2}{z}_4^2({\left|\right|W_4\left|\right|}^2-\hat{\theta })S_4^T\left(Z_4\right)S_4\left(Z_4\right)+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2---\left(21\right)$b.5根据差分方程对z₅求导可得误差动态方程：${\stackrel{·}{z}}_5=b_2{z}_3{x}_2+b_1{x}_6-b_1{x}_5-b_2{x}_2{x}_3---\left(22\right)$选择Lyapunov函数：所以V₅的导数为：$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{V}}_5={\stackrel{·}{V}}_4+z_5{\stackrel{·}{z}}_5\le -\underset{j=g=1}{\overset{4}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2+z_2(\hat{J}-J){\stackrel{·}{\alpha }}_1+\frac{1}{{2l}_4^2}{z}_4^2({\left|\right|W_4\left|\right|}^2-\hat{\theta })S_4^T\left(Z_4\right)S_4\left(Z_4\right)+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2\\ +z_5(b_2{z}_3{x}_2+b_1{x}_6-b_1{x}_5-b_2{x}_2{x}_3)\end{array}---\left(23\right)$构建虚拟控制律：${\alpha }_4=\frac{1}{b_1}(-b_2{z}_3{x}_2-k_5{z}_5+b_1{x}_5+b_2{x}_2{x}_3)---\left(24\right)$按照公式(24)，则公式(23)可以表达为：${\stackrel{·}{V}}_5\le -\underset{j=g=1}{\overset{5}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2+z_2(\hat{J}-J){\stackrel{·}{\alpha }}_1+\frac{1}{{2l}_4^2}{z}_4^2({\left|\right|W_4\left|\right|}^2-\hat{\theta })S_4^T\left(Z_4\right)S_4\left(Z_4\right)+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2+b_1{z}_5{z}_6---\left(25\right)$b.6根据差分方程对z₆求导可得误差动态方程：${\stackrel{·}{z}}_6=b_1{z}_5+b_4{x}_6+b_5{x}_5+c_1{u}_d-{\stackrel{·}{\alpha }}_4---\left(26\right)$定义$Z_6={[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_{1d},{\stackrel{·}{x}}_{1d},{\stackrel{··}{x}}_{1d},\hat{J},\stackrel{·}{\hat{J}}]}^T;$选择Lyapunov函数为对V₆的求导得：$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{V}}_6={\stackrel{·}{V}}_5+z_6{\stackrel{·}{z}}_6\\ \le -\underset{j=g=1}{\overset{5}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2+z_2(\hat{J}-J){\stackrel{·}{\alpha }}_1+\frac{1}{{2l}_4^2}{z}_4^2({\left|\right|W_4\left|\right|}^2-\hat{\theta })S_4^T\left(Z_4\right)S_4\left(Z_4\right)+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2+z_6[f_6\left(Z_6\right)+c_1{u}_d]\end{array}---\left(27\right)$其中，$f_6\left(Z_6\right)=b_1{z}_5+b_4{x}_6+b_5{x}_5-{\stackrel{·}{\alpha }}_4,$模糊逻辑系统被用来近似非线性函数f₆(Z₆)，因此对于给定的ε₆＞0，都有：$z_6{f}_6\left(Z_6\right)\le \frac{1}{{2l}_6^2}{z}_6^2{\left|\right|W_6\left|\right|}^2{S}_6^T\left(Z_6\right)S_6\left(Z_6\right)+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{z}_6^2+\frac{1}{2}{ϵ}_6^2---\left(28\right)$将公式(28)代入公式(27)可得：$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{V}}_6={\stackrel{·}{V}}_5+z_6{\stackrel{·}{z}}_6\\ \le -\underset{j=g=1}{\overset{5}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2+z_2(\hat{J}-J){\stackrel{·}{\alpha }}_1+\frac{1}{{2l}_4^2}{z}_4^2({\left|\right|W_4\left|\right|}^2-\hat{\theta })S_4^T\left(Z_4\right)S_4\left(Z_4\right)+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_4^2\\ +\frac{1}{{2l}_6^2}{z}_6^2{\left|\right|W_6\left|\right|}^2{S}_6^T\left(Z_6\right)S_6\left(Z_6\right)+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{z}_6^2+\frac{1}{2}{ϵ}_6^2+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2+z_6{c}_1{u}_d\end{array}---\left(29\right)$构建真实的控制律：$u_d=\frac{-1}{c_1}[k_6{z}_6+\frac{1}{{2l}_6^2}{z}_6\hat{\theta }{S}_6^T\left(Z_6\right)S_6\left(Z_6\right)+\frac{1}{2}{z}_6]---\left(30\right)$定义θ＝max{||W₄||²，||W₆||²}，再按照公式(30)，可以得到：$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{V}}_6\le -\underset{j=g=1}{\overset{6}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2+z_2(\hat{J}-J){\stackrel{·}{\alpha }}_1+\frac{1}{{2l}_4^2}{z}_4^2(\theta -\hat{\theta })S_4^T\left(Z_4\right)S_4\left(Z_4\right)+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2\\ +\frac{1}{{2l}_6^2}{z}_6^2(\theta -\hat{\theta })S_6^T\left(Z_6\right)S_6\left(Z_6\right)+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{ϵ}_6^2\end{array}---\left(31\right)$定义变量和为：$\tilde{J}=\hat{J}-J---\left(32\right)$$\tilde{\theta }=\hat{\theta }-\theta ---\left(33\right)$选择Lyapunov函数为：$V=V_6+\frac{1}{{2r}_1}{\tilde{J}}^2+\frac{1}{{2r}_2}{\tilde{\theta }}^2---\left(34\right)$定义r_n是正常数，n＝1，2，对V求导，然后将公式(31)、(32)、(33)代入，可得：$\begin{array}{c}\stackrel{·}{V}\le -\underset{j=g=1}{\overset{6}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2+z_2\tilde{J}{\stackrel{·}{\alpha }}_1-\frac{1}{{2l}_4^2}{z}_4^2\tilde{\theta }{S}_4^T\left(Z_4\right)S_4\left(Z_4\right)+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2\\ -\frac{1}{{2l}_6^2}{z}_6^2\tilde{\theta }{S}_6^T\left(Z_6\right)S_6\left(Z_6\right)+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{ϵ}_6^2+\frac{1}{r_1}\tilde{J}\stackrel{·}{\hat{J}}+\frac{1}{r_2}\tilde{\theta }\stackrel{·}{\hat{\theta }}\\ \le -\underset{j=g=1}{\overset{6}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_4^2+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{ϵ}_6^2+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2+\frac{1}{r_1}\tilde{J}(r_1{z}_2{\stackrel{·}{\alpha }}_1+\stackrel{·}{\hat{J}})\\ +\frac{1}{r_2}\tilde{\theta }[-\frac{r_2}{{2l}_6^2}{z}_6^2{S}_6^T\left(Z_6\right)S_6\left(Z_6\right)-\frac{r_2}{{2l}_4^2}{z}_4^2{S}_4^T\left(Z_4\right)S_4\left(Z_4\right)+\stackrel{·}{\hat{\theta }}]\end{array}.---\left(35\right)$根据公式(35)，选择相应的自适应律如下：$\stackrel{·}{\hat{J}}=-r_1{z}_2{\stackrel{·}{\alpha }}_1-m_1\hat{J}---\left(36\right)$$\stackrel{·}{\hat{\theta }}=\frac{r_2}{{2l}_6^2}{z}_6^2{S}_6^T\left(Z_6\right)S_6\left(Z_6\right)+\frac{r_2}{{2l}_4^2}{z}_4^2{S}_4^T\left(Z_4\right)S_4\left(Z_4\right)-m_2\hat{\theta }---\left(37\right)$定义m₁、m₂、l₄和l₆是正常数；c、对建立的考虑铁损的永磁同步电机驱动系统的控制方法进行稳定性分析将公式（36）和公式（37）代入公式(35)可得：$\stackrel{·}{V}\le -\underset{j=g=1}{\overset{6}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_4^2+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{ϵ}_6^2+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2-\frac{m_1}{r_1}\tilde{J}\hat{J}-\frac{m_2}{r_2}\tilde{\theta }\hat{\theta }---\left(38\right)$对于项可以得到$-\tilde{J}\hat{J}\le -\tilde{J}(\tilde{J}+J)\le -\frac{1}{2}{\tilde{J}}^2+\frac{1}{2}{J}^2,$类似地，可以得到通过这些不等式，公式(38)改写成以下形式：$\stackrel{·}{V}\le -\underset{j=g=1}{\overset{6}{\Sigma }}{k}_j{z}_g^2-\frac{m_1}{{2r}_1}{\tilde{J}}^2-\frac{m_2}{{2r}_2}{\tilde{\theta }}^2+\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_4^2+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{ϵ}_6^2+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2+\frac{m_1}{{2r}_1}{J}^2+\frac{m_2}{{2r}_2}{\theta }^2\le -a_{0}V+b_0---\left(39\right)$定义$a_0=\min \{2k_1,\frac{{2k}_2}{J},{2k}_3,{2k}_4,{2k}_5,{2k}_6,m_1,m_2\}---\left(40\right)$$b_0=\frac{1}{2}{l}_4^2+\frac{1}{2}{ϵ}_4^2+\frac{1}{2}{l}_6^2+\frac{1}{2}{ϵ}_6^2+\frac{1}{2}{ϵ}_2^2{d}^2+\frac{m_1}{{2r}_1}{J}^2+\frac{m_2}{{2r}_2}{\theta }^2---\left(41\right)$由公式(39)可得：$V\left(t\right)\le (V\left(t_0\right)-\frac{b_0}{a_0})e^{-a_0(t-t_0)}+\frac{b_0}{a_0}\le V\left(t_0\right)+\frac{b_0}{a_0},\forall t\ge t_0---\left(42\right)$可以得出结论：所有的z_g，g＝1，2，...，6，和都属于紧集$\Omega =\left\{(z_g,\tilde{J},\tilde{\theta })\right|V\le V\left(t_0\right)+\frac{b_0}{a_0},\forall t\ge t_0\};$所有闭环系统的信号都是有界的，由公式(42)，可以得到：