一种基于稳健波束形成算法的GPS抗多径方法

摘要

本发明公开了一种基于稳健波束形成算法的GPS抗多径方法，包括步骤一：采用均匀线阵，对GPS多径信道进行建模；步骤二：利用前后向空间平滑技术对接收信号进行解相干处理，得到新的数据协方差矩阵和Capon波束形成器的最优权值；步骤三：在步骤二的基础上，建立最差性能最优稳健波束形成算法的代价函数，解出导向矢量失配下的最优权值。步骤四：在步骤三的基础上给其他阵列响应误差一个不确定性模约束，得到一种改进的最差性能最优稳健波束形成算法的模型；步骤五：根据步骤四确定的模型计算得出Capon波束形成器的最优权矢量，利用牛顿迭代法确定出加载量。

主权项

1.一种稳健波束形成算法的GPS抗多径方法，包括以下几个步骤：步骤一：采用均匀线阵，对GPS多径信道进行建模；假设采用均匀线阵，整个阵列具有M个阵元，相邻阵元的间隔为λ/2，λ是GPS的波长，则在某个采样时刻n的多径信号的快拍表示为：$x\left[n\right]=s_0\left[n\right]+\underset{i=1}{\overset{L-1}{\Sigma }}{s}_i\left[n\right]+n\left[n\right]---\left(1\right)$其中：x[n]为接收机在采样时刻n的接收信号，i＝1,...,L，L是相干干扰的数目，s₀[n]代表直达信号在均匀线阵中的向量表示形式，s_i[n]为第i个相干干扰信号在均匀线阵中的向量表示形式，n[n]为相互独立的零均值高斯白噪声，并且与多径信号不相关，又s₀[n]和s_i(t)分别代表s₀[n]和s_i[n]中的元素的表达形式，s₀(t)＝Ad(t)c(t)cos(ω_ct)，其中A表示直达信号的载波幅度；d(t)代表导航电文为1，c(t)代表GPS的伪码，w_c是中频频率为11.5e6Hz；a_i表示信号幅值衰减系数，a_i∈(0,1]；c(t-τ_i)为不同延时的伪码，τ_i为第i路信号伪码相对直达信号的延迟时间；θ_i为第i路信号的载波相位；步骤二：利用前后向空间平滑技术对接收信号进行解相干处理，得到新的数据协方差矩阵和Capon波束形成器的最优权值；把整个阵列分成K个子阵列，每个子阵列的阵元数为P，P>L，则有P＝M-K+1，每个子阵列逐步右移，取第一个子阵为参考矩阵，则前向平滑的每个子阵的接收信号为x_i[n]＝[x_i[n],...,x_i+p-1[n]]，i＝1,...,K，其中x_i[n]等式左边表示接受信号的向量形式，x_i[n]表示第i个阵元在采样时刻n的输出；所有子阵列协方差矩阵相加后平均取代原来的协方差矩阵，即：${\tilde{R}}_{\mathrm{ss}}=\frac{1}{\mathrm{NK}}\underset{i=1}{\overset{K}{\Sigma }}\underset{n=1}{\overset{N}{\Sigma }}{x_i\left[n\right]x_i\left[n\right]}^H=\frac{1}{\mathrm{NK}}\underset{i=1}{\overset{K}{\Sigma }}{{\hat{x}}_i{\hat{x}}_i}^H---\left(2\right)$其中：表示前向空间平滑的协方差矩阵，N为采样的快拍数；第i个阵元的接收信号，将前后向平滑技术进行组合，由此可得：${\hat{R}}_{\mathrm{ss}}=\frac{{\tilde{R}}_{\mathrm{ss}}+J\left({\tilde{R}}_{\mathrm{ss}}\right)*J}{2}---\left(3\right)$其中：是前后向空间平滑的协方差矩阵，在实际应用时，利用估计导向矢量和协方差代替实际的导向矢量a₀和协方差R_ss，所以基于前后向空间平滑的Capon波束形成器的最优权值为：${\hat{w}}_{c,\mathrm{fo}}=\frac{{{\hat{R}}_{\mathrm{ss}}}^{-1}{\hat{a}}_0}{{{\hat{a}}_0}^H{{\hat{R}}_{\mathrm{ss}}}^{-1}{\hat{a}}_0}---\left(4\right)$其中：表示的是前后向空间平滑的Capon波束形成器的最优权值，${\hat{a}}_0=\exp (\mathrm{j\pi }\times {[0:M-1]}^{\prime }\times \sin \left(\alpha \right)),$且j²＝-1；步骤三：在步骤二的基础上，建立最性能最优稳健波束形成方法的代价函数，得到导向矢量失配下的Capon最优权值；假设信号方向向量偏差信号失配量2⁰，则构造鲁棒自适应波束形成器的代价函数为：$\left\{\begin{array}{cc}\underset{\hat{w}}{\min }& {\hat{w}}^H\left({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}\right)\hat{w}\\ s.t.& \left|{\hat{w}}^H({\hat{a}}_0+\Delta {\hat{a}}_0)\right|\ge 1\\ & \left|\right|\Delta {\hat{a}}_0\left|\right|\le ϵ\end{array}\right.---\left(5\right)$其中，是最优权矢量，||.||是Frobenius范数，ε是一个正数，表示导向矢量失配的约束量；应用三角不等式、柯西-施瓦尔兹不等式，上式转化成单一非线性约束的最小化问题，式（5）又转化为如下的简化形式：$\left\{\begin{array}{cc}\underset{\hat{w}}{\min }& {\hat{w}}^H\left({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}\right)\hat{w}\\ s.t.& \left|{\hat{w}}^H{\hat{a}}_0\right|-ϵ\left|\right|\hat{w}\left|\right|\ge 1\\ & \mathrm{Im}\left\{{\hat{w}}^H{\hat{a}}_0\right\}=0\end{array}\right.---\left(6\right)$其中，Im{.}＝0表示式子的虚部，当进行任意角度旋转时，代价函数不发生变化，这样在不影响目标函数的情况下，对进行旋转从而使为实数，即实部大于1，虚部等于0，不等式被写成并不影响输出的信号与干扰和噪声的比值即SINR；所以式（6）表达成如下形式：$\left\{\begin{array}{cc}\underset{\hat{w}}{\min }& {\hat{w}}^H{\hat{R}}_{\mathrm{ss}}\hat{w}\\ s.t.& {|{\hat{w}}^H{\hat{a}}_0-1|}^2={ϵ}^2{\hat{w}}^H\hat{w}\end{array}\right.---\left(7\right)$利用拉格朗日乘数的方法对上式进行求解，其最优权矢量的解通过最小化如下的函数获得：$Q({\hat{w}}^H,{\lambda }_1)={\hat{w}}^H{\hat{R}}_{\mathrm{ss}}\hat{w}-{\lambda }_1({|{\hat{w}}^H{\hat{a}}_0-1|}^2-{ϵ}^2{\hat{w}}^H\hat{w})---\left(8\right)$其中，是关于和λ₁的拉格朗日函数，λ₁是拉格朗日因子；求式（8）相对的梯度，并令其等于零，则最终求解最优权矢量的解为：$\hat{w}=-{\lambda }_1{({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}+{\lambda }_1{ϵ}^2-{\lambda }_1{\hat{a}}_0{{\hat{a}}_0}^H)}^{-1}{\hat{a}}_0---\left(9\right)$$={({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}+{\lambda }_1{ϵ}^2+{\hat{a}}_0(-{\lambda }_{1}I){{\hat{a}}_0}^H)}^{-1}{\hat{a}}_0(-{\lambda }_{1}I)$利用矩阵的可逆定理：(A+BCD)^-1BC＝A^-1B(C^-1+DA^-1B)^-1，得到最终所要求的最优权矢量${\hat{w}}_{\mathrm{fd}}=\frac{{\lambda }_1{({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}+{\lambda }_1{ϵ}^{2}I)}^{-1}{\hat{a}}_0}{{\lambda }_1{{\hat{a}}_0}^H{({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}+{\lambda }_1{ϵ}^{2}I)}^{-1}{\hat{a}}_0-1}---\left(10\right)$其中表示的是最差性能最优稳健波束形成算法的最优权矢量；步骤四：在步骤三的基础上给其他阵列响应误差一个不确定性约束，得到一种改进的最差性能最优稳健波束形成方法的模型；由于在实际的波束形成应用中，信号协方差矩阵会存在一定的误差式子（5）被写成：$\left\{\begin{array}{ccc}\underset{\hat{w}}{\min }& \underset{\left|\right|\Delta {\hat{R}}_{\mathrm{ss}}\left|\right|\le \gamma }{\max }& {\hat{w}}^H({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}+{\hat{R}}_{\mathrm{ss}})\hat{w}\\ s.t.& |{\hat{w}}^H({\hat{a}}_0+\Delta {\hat{a}}_0)& \left|\right|\Delta {\hat{a}}_0\left|\right|\le ϵ\end{array}\right.---\left(11\right)$其中：γ为任意的正数，表示信号协方差矩阵误差的约束量；因为为一未知的埃尔米特误差矩阵，所以任意给定的最大值在的边界取得，γ表示任意给定的正数，式子（11）改写成如下的形式：$\left\{\begin{array}{cc}\underset{\Delta {\hat{R}}_{\mathrm{ss}}}{\min }& -{\hat{w}}^H({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}+\Delta {\hat{R}}_{\mathrm{ss}})\hat{w}\\ s.t.& \left|\right|\Delta {\hat{R}}_{\mathrm{ss}}\left|\right|=\gamma \end{array}\right.---\left(12\right)$上面的式(12)的解利用Lagrange乘数方法进行求解，其的解通过最小化如下的函数获得λ₂为Lagrange乘数，求（12）的梯度并令其为零，$\Delta {\hat{R}}_{\mathrm{ss}}=\hat{w}{\hat{w}}^H/2{\lambda }_2,$当${\left|\right|\Delta {\hat{R}}_{\mathrm{ss}}\left|\right|}^2={\gamma }^2,$进一步得到：$\Delta {\hat{R}}_{\mathrm{ss}}=\gamma \frac{\hat{w}{\hat{w}}^H}{{\hat{w}}^H\hat{w}}---\left(13\right)$将（13）代入到（10），（13）等转化为如下的形式：$\left\{\begin{array}{ccc}\underset{\hat{w}}{\min }& {\hat{w}}^H({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}+\mathrm{\gamma I})\hat{w}& \\ s.t.& \left|{\hat{w}}^H({\hat{a}}_0+\Delta {\hat{a}}_0)\right|\ge 1& \left|\right|\Delta {\hat{a}}_0\left|\right|\le ϵ\end{array}\right.---\left(14\right)$同样对该问题进行化简，可得如下简化形式：$\left\{\begin{array}{cc}\underset{\hat{w}}{\min }& {\hat{w}}^H({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}+\mathrm{\gamma I})\hat{w}\\ s.t.& |{\hat{w}}^H{\hat{a}}_0-1|={ϵ}^2{\hat{w}}^H\hat{w}\end{array}\right.---\left(15\right)$步骤五：根据步骤四确定的模型，确定出模型中的各个运行参数，最终计算得出Capon波束形成器的最优权矢量，其中利用牛顿迭代法确定出加载量；最终所要求的最优权矢量${\hat{w}}_{\mathrm{rfo}}=\frac{{\lambda }_3{({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}+\mathrm{\gamma I}+{\lambda }_3{ϵ}^{2}I)}^{-1}{\hat{a}}_0}{{\lambda }_3{{\hat{a}}_0}^H{({\hat{R}}_{\mathrm{ss}}+\mathrm{\gamma I}+{\lambda }_3{ϵ}^{2}I)}^{-1}{\hat{a}}_0-1}---\left(16\right)$其中，λ₃为拉格朗日乘数，代表改进的最差性能稳健波束形成，首先对协方差矩阵进行特征分解U为特征向量矩阵，Λ＝diag[δ₁,δ₂,...,δ_p]，式中δ_i是的第i个特征值，等式（16）进一步简化成：${\hat{w}}_{\mathrm{rfo}}=\frac{{\lambda }_3{U}^H{(\Lambda +\mathrm{\gamma I}+{\lambda }_3{ϵ}^{2}I)}^{-1}{U\hat{a}}_0}{{\lambda }_3{U}^H{(\Lambda +\mathrm{\gamma I}+{\lambda }_3{ϵ}^{2}I)}^{-1}{U\hat{a}}_0-1}---\left(17\right)$将式子（17）代入到（16）中得到的等式${\lambda }_3{ϵ}^2\left|{{\hat{a}}_0}^H{U}^H{(\Lambda +\mathrm{\gamma I}+{\lambda }_3{ϵ}^{2}I)}^{-1}U{\hat{a}}_0\right|=1,$令$z=U^H{\hat{a}}_0,$z_i是向量z的第i个元素，那么等式写成如下形式：$f\left({\lambda }_3\right)={\lambda }_3{ϵ}^2\underset{m=1}{\overset{p}{\Sigma }}\frac{{\left|z_m\right|}^2}{{\delta }_m+\gamma +{\lambda }_3{ϵ}^2}=1---\left(18\right)$由于和f(0)＝0＜1，所以式子（18）的解唯一，利用牛顿迭代法求出λ₃，λ₃的取值范围：$\frac{{\delta }_{\min }+\gamma }{\left|\right|{\hat{a}}_0\left|\right|-1}·\frac{1}{{ϵ}^2}\le {\lambda }_3\le \frac{{\delta }_{\min }+\gamma }{\left|\right|{\hat{a}}_0\left|\right|-1}·\frac{1}{{ϵ}^2}---\left(19\right)$最终得到了基于空间平滑的改进最差性能稳健波束的最优权矢量得到输出实现多径抑制。