采用改进正则化方法抑制DGPS整周模糊度病态性的方法

摘要

本发明是一种采用改进正则化方法抑制DGPS整周模糊度病态性的方法，首先采集GPS载波相位的观测数据，建立DGPS载波相位双差观测方程；再根据观测方程，基于最小二乘方法，获得DGPS整周模糊度的浮点解和相应的方差-协方差矩阵；然后采用两步解法构造Tikhonov正则化算法中的正则化矩阵，根据DFP拟牛顿法求得相应的正则化参数，利用得到的Tikhonov正则化算法对方差-协方差矩阵进行处理，抑制DGPS整周模糊度的病态性，最后获得比较准确的整周模糊度。本发明方法采用改进的Tikhonov正则化算法来抑制DGPS整周模糊度中的病态性问题，有利于得到准确的整周模糊度，实现DGPS高精度定位和姿态测量。

主权项

1.一种采用改进正则化方法抑制DGPS整周模糊度病态性的方法，其特征在于，包括以下几个步骤：步骤一：采集GPS载波相位的观测数据，建立DGPS载波相位双差观测方程；两个不同的GPS接收机在同一时刻i跟踪到(n+1)颗卫星，则建立的相应的GPS载波相位双差方程为：$y_i=A_{i}x+\mathrm{\lambda b}+e_i;{\sigma }_0^2{W}_0^{-1}---\left(1\right)$其中，i表示星历历元，y_i表示i时刻的双差载波相位观测值，为n维列向量；A_i为星历历元i时刻的包含了接收机与卫星之间视线矢量的矩阵；x为位置参数，为3维列向量；λ为载波L₁的波长；b表示整周模糊度，为n维列向量；e_i为星历历元i时刻的观测噪声；表示观测值y_i的观测方差矩阵；表示观测方差矩阵的单位权重；W₀表示正定的权矩阵；若观测数据中有m个星历历元，则相应的DGPS载波相位双差观测方程为：$y=\mathrm{Ax}+\mathrm{Bb}+e;{\sigma }_0^2{W}^{-1}---\left(2\right)$其中，W表示DGPS载波相位方程的权矩阵，$W^{-1}=I_m\otimes W_0^{-1},$I_m表示m维的单位矩阵，双差模式下的观测值向量y＝[y₁ y₂ … y_m-1 y_m]^T，位置参数向量系数矩阵A＝[A₁ A₂ … A_m-1 A_m]^T，整周模糊度系数矩阵B＝[B₁ B₂ … B_m-1 B_m]^T；双差模式下的观测误差向量e=[e₁ e₂ … e_m-1 e_m]^T；步骤二：根据步骤一得出的DGPS载波相位双差观测方程，基于最小二乘方法，获得DGPS整周模糊度的浮点解和相应的方差-协方差矩阵Q；所述的整周模糊度的浮点解根据下式获得：$P\hat{b}=B^T\mathrm{Qy}---\left(3\right)$方差-协方差矩阵Q＝W-WA(A^TWA)^-1A^TW，正规矩阵P=B^TQB；利用整数最小二乘方法进行整周模糊度b的固定值的求解：$b=\arg \underset{b\in Z^n}{\min }{(\hat{b}-b)}^T{\tilde{P}}_{\hat{b}}(\hat{b}-b)---\left(4\right)$Zⁿ表示n维的整数向量，整周模糊度均方误差矩阵$P_{\hat{b}}={\sigma }_0^{2}P.$步骤三：采用Tikhonov正则化方法对方差-协方差矩阵进行处理，采用两步解法构造Tikhonov正则化方法中的正则化矩阵；所述的Tikhonov正则化方法的函数表达式F^α(b)为：$\min :F^{\alpha }\left(b\right)={\left|\right|\tilde{y}-\tilde{B}\hat{b}\left|\right|}^2+\alpha {\hat{b}}^{T}R\hat{b}---\left(5\right)$其中，α表示非负的正则化参数，||·||表示正则矩阵的2-范数，R表示正定或半正定的正则化矩阵，矩阵$\tilde{y}=M^{T}y,$矩阵$\tilde{B}=M^{T}B;$设R₁、R₂分别表示第一步解法和第二步解法中所对应的正则化矩阵，α₁、α₂分别表示第一步解法和第二步解法中所对应的正则化参数；第一步解法中，式（5）中选择正则化矩阵R＝R₁=I，得到相应的正则化解和偏差分别为：${\hat{b}}_{{\alpha }_1}={P_{{\alpha }_1}}^{-1}{\tilde{B}}^T\tilde{y}---\left(6\right)$$\mathrm{bias}\left({\hat{b}}_{{\alpha }_1}\right)=E({\hat{b}}_{{\alpha }_1}-\hat{b})=-{\alpha }_1{P_{{\alpha }_1}}^{-1}\hat{b}---\left(7\right)$正规矩阵$P_{{\alpha }_1}={\tilde{B}}^T\tilde{B}+{\alpha }_{1}I,$b根据式（4）求解得到；进一步，根据式（6）求得正则化解的方差矩阵$D\left({\hat{b}}_{{\alpha }_1}\right)$为：$D\left({\hat{b}}_{{\alpha }_1}\right)={\sigma }_0^2{P_{{\alpha }_1}}^{-1}{\tilde{B}}^T\tilde{B}{P_{{\alpha }_1}}^{-1}---\left(8\right)$那么正则化解的均方误差为：$\begin{array}{c}\mathrm{MSE}\left({\hat{b}}_{{\alpha }_1}\right)=D\left({\hat{b}}_{{\alpha }_1}\right)+\mathrm{bias}\left({\hat{b}}_{{\alpha }_1}\right){\left[\mathrm{bias}\left({\hat{b}}_{{\alpha }_1}\right)\right]}^T\end{array}$       $\left(9\right)$$\begin{array}{c}={\sigma }_0^2{P_{{\alpha }_1}}^{-1}{\tilde{B}}^T\tilde{B}{P_{{\alpha }_1}}^{-1}+{\alpha }_1^2{P_{{\alpha }_1}}^{-1}\hat{b}·{\hat{b}}^T{P_{{\alpha }_1}}^{-1}\end{array}$正则化参数α₁采用步骤四中方法进行确定，将确定的α₁带入式（9）中求得此时的均方误差；第二步解法中，取式（5）中的正则化矩阵$R=R_2=\mathrm{diag}{\left(\mathrm{MSE}\left({\hat{b}}_{{\alpha }_1}\right)\right)}^{-1},$则第二步解法中正则化解及对应的均方误差分别为：${\hat{b}}_{{\alpha }_2}={P_{{\alpha }_2}}^{-1}{\tilde{B}}^T\tilde{y}---\left(10\right)$$\mathrm{MSE}\left({\hat{b}}_{{\alpha }_2}\right)=D\left({\hat{b}}_{{\alpha }_2}\right)+\mathrm{bias}\left({\hat{b}}_{{\alpha }_2}\right){\left[\mathrm{bias}\left({\hat{b}}_{{\alpha }_2}\right)\right]}^T---\left(11\right)$$={\sigma }_0^2{P_{{\alpha }_2}}^{-1}{\tilde{B}}^T\tilde{B}{P_{{\alpha }_2}}^{-1}+{\alpha }_2^2{P_{{\alpha }_2}}^{-1}\hat{b}·{\hat{b}}^T{P_{{\alpha }_2}}^{-1}$第二步解法中的正规矩阵$P_{{\alpha }_2}={\tilde{B}}^T\tilde{B}+{\alpha }_2{R}_2,$正则化参数α₂采用步骤四中方法进行确定；步骤四：采用最小均方误差作为准则来确定正则化参数α₁和α₂，相应确定正则化矩阵R₁和R₂，最终根据式（5）得到Tikhonov正则化方法；步骤五：通过Tikhonov正则化方法对方差-协方差矩阵进行处理后，再利用整数最小二乘法来确定最终的整周模糊度，以应用于DGPS中；首先，通过Tikhonov正则化方法对方差-协方差矩阵进行处理，并结合式（3）得到正规矩阵$\tilde{P}:\tilde{P}={\tilde{B}}^T\tilde{B}+{\alpha }_2{R}_2;$进一步，得到式（4）中的整周模糊度均方误差矩阵${\tilde{P}}_{\hat{b}}:{\tilde{P}}_{\hat{b}}={\sigma }_0^2{\tilde{P}}^{-1}={\sigma }_0^2{({\tilde{B}}^T\tilde{B}+{\alpha }_2{R}_2)}^{-1};$此时，整周模糊度的浮点解为：最后，根据式子：确定最终的整周模糊度b。