基于柔性机械臂的偏微分模型的边界控制律的设计方法

摘要

本发明基于柔性机械臂的偏微分模型的边界控制律的设计方法，它有五大步骤：步骤一：双连杆柔性机械臂动力学建模；步骤二：双连杆柔性机械臂动力学模型分解；步骤三：自适应边界控制律设计；步骤四：闭环系统全局稳定性的验证；步骤五：设计结束。本发明首先考虑到关节角运动和弹性振荡的频率不同，采用奇异摄动的方法将偏微分动力学模型分解为快慢子系统；然后，在慢子系统上设计慢自适应边界控制律，使关节电机能够运动到期望位置；在快子系统上设计快自适应边界控制律来抑制弹性振荡；最后，将快慢子系统组成混合控制器，实现双连杆柔性机械臂关节角和振荡的控制，保证闭环系统的全局稳定性。

主权项

1.基于柔性机械臂的偏微分模型的边界控制律的设计方法，特别是基于双连杆柔性机械臂的偏微分模型的自适应边界控制律的设计方法，其特征在于：其具体步骤如下：步骤一：双连杆柔性机械臂动力学建模双连杆柔性机械臂的动力学建模采用哈密尔顿原理的方法，首先，给出系统的动能、势能以及非保守力做功的表达式如下$E_k=\frac{1}{2}{I}_{h1}{{\stackrel{·}{\theta }}_1}^2+\frac{1}{2}{m}_{h2}{[L_1{\stackrel{·}{\theta }}_1+w_1\left(L_1\right)]}^2+\frac{1}{2}{I}_{h2}{({\stackrel{·}{\theta }}_1+{\stackrel{·}{\theta }}_2)}^2$$+\frac{1}{2}{\int }_0^{L_1}{\rho }_1{(x_1{\stackrel{·}{\theta }}_1+{\stackrel{·}{w}}_1\left(x_1\right))}^{2}d{x}_1+\frac{1}{2}{\int }_0^{L_2}{\rho }_2{\left[(L_1{\stackrel{·}{\theta }}_1+{\stackrel{·}{w}}_1\left(L_1\right))\sin {\theta }_2\right]}^{2}d{x}_2$$+\frac{1}{2}{\int }_0^{L_2}{\rho }_{\text{2}}{[(L_1{\stackrel{·}{\theta }}_1+{\stackrel{·}{w}}_1\left(L_1\right))\cos {\theta }_2+(x_2{\stackrel{·}{\theta }}_2+{\stackrel{·}{w}}_2\left(x_2\right))]}^{2}d{x}_2$$+\frac{1}{2}{I}_{t1}{[{\stackrel{·}{\theta }}_1+{\stackrel{·}{w}}_{1x}\left(L_1\right)]}^2+\frac{1}{2}{m}_{t1}{(L_1{\stackrel{·}{\theta }}_1+{\stackrel{·}{w}}_1\left(L_1\right))}^2$$+\frac{1}{2}{I}_{t2}{({\stackrel{·}{\theta }}_1+{\stackrel{·}{\theta }}_2+{\stackrel{·}{w}}_{2x}\left(L_2\right))}^2+\frac{1}{2}{m}_{t2}{\left[(L_1{\stackrel{·}{\theta }}_1+{\stackrel{·}{w}}_1\left(L_1\right))\sin {\theta }_2\right]}^2$$+\frac{1}{2}{m}_{t2}{[(L_1{\stackrel{·}{\theta }}_1+{\stackrel{·}{w}}_1\left(L_1\right))\cos {\theta }_2+L_2{\stackrel{·}{\theta }}_2+{\stackrel{·}{w}}_2\left(L_2\right)]}^2,$$E_p=\frac{1}{2}{\int }_0^{L_1}E{I}_1{w}_{1\mathrm{xx}}^2\left(x_1\right)d{x}_1+\frac{1}{2}{\int }_0^{L_2}E{I}_2{w}_{2\mathrm{xx}}^2\left(x_2\right)d{x}_2,$W_nc＝τ₁θ₁+τ₂(θ₂-w_1x(L₁))+u₁w₁(L₁)+u₂w₂(L₂)将系统动能E_k，势能E_p和非保守力做功W_nc的表达式代入哈密尔顿原理，${\int }_{t_1}^{t_2}({\mathrm{\delta E}}_k-\delta E_p+\delta W_{\mathrm{nc}})\mathrm{dt}=0$可以得到双连杆柔性机械臂的偏微分动力学模型如下$A\stackrel{··}{\theta }+B{F}_1\left(t\right)=\mathrm{C\tau }---\left(1\right)$$\stackrel{··}{w}+D{w}_{\mathrm{xxxx}}=-x\stackrel{··}{\theta }+x{F}_2+F_3---\left(2\right)$EZ＝F₄(3)其中，A∈R^2×2，θ∈R^2×1，B∈R^2×3，F₁(t)∈R^3×1，C∈R^2×2，τ∈R^2×1，w∈R^2×1，D∈R^2×2，x∈R^2×2，F₂(t)∈R^2×1，F₃(t)∈R^2×1，E∈R^4×4，Z∈R^4×1，F₄(t)∈R^4×1，R^m×n表示m×n维的实数矩阵；另外，上述矩阵的具体表达式给出如下：A＝diag(I_h1，I_t1I_h2)，θ＝[θ_h1，θ_h2]^T，$B=\left[\begin{array}{ccc}-E{I}_1& 0& 0\\ 0& -I_{h2}E{I}_1& -I_{t1}E{I}_2\end{array}\right],$F₁(t)＝[w_1xx(0)，w_1xx(L₁)，w_2xx(L₂)]^T，C＝diag(1，I_t1+I_h2)，τ＝[τ₁，τ₂]^T，w＝[w₁(x₁)，w₂(x₂)]^T，D＝diag(EI₁/ρ₁，EI₂/ρ₂)，x＝diag(x₁，x₂)，$F_2\left(t\right)={[0,{\stackrel{··}{w}}_{1x}\left(L_1\right)]}^T,$F₃(t)＝[0，f₁(t)]^T，E＝diag(EI₁，EI₁，EI₂，EI₂)，Z＝[w_1xx(L₁)，w_1xxx(L₁)，w_2xx(L₂)，w_2xxx(L₂)]^T，F₄(t)＝[f₂(t)，f₃(t)，f₄(t)，f₅(t)]^T，其中，f₁(t)～f₅(t)均为非线性函数，其具体表达式给出如下：$f_1\left(t\right)=-[L_1{\stackrel{··}{\theta }}_1+{\stackrel{··}{w}}_1\left(L_1\right)]{\cos \theta }_2+[L_1{\stackrel{·}{\theta }}_1+{\stackrel{·}{w}}_1\left(L_1\right)]{\stackrel{·}{\theta }}_2\sin {\theta }_2,$$f_2\left(t\right)=E{I}_2{w}_{2\mathrm{xx}}\left(0\right)-I_{t1}[{\stackrel{··}{\theta }}_1+{\stackrel{··}{w}}_{1x}\left(L_1\right)]-[L_2{\stackrel{·}{\theta }}_2+{\stackrel{·}{w}}_2\left(L_2\right)][L_1{\stackrel{·}{\theta }}_1+{\stackrel{·}{w}}_1\left(L_1\right)]\sin {\theta }_2$$-{\rho }_2[L_1{\stackrel{·}{\theta }}_1+{\stackrel{·}{w}}_1\left(L_1\right)]\sin {\theta }_2{\int }_0^{L_2}(x_2{\stackrel{·}{\theta }}_2+{\stackrel{·}{w}}_2)d{x}_2-I_{h2}({\stackrel{··}{\theta }}_1+{\stackrel{··}{\theta }}_2),$$f_3\left(t\right)=({\rho }_2{L}_2+m_{h2}+m_{t2})(L_1{\stackrel{··}{\theta }}_1+{\stackrel{··}{w}}_1\left(L_1\right))+{\rho }_2{\int }_0^{L_2}\left[(x{\stackrel{··}{\theta }}_2+{\stackrel{··}{w}}_2)\cos {\theta }_2\right]d{x}_2-m_{t2}{\stackrel{·}{w}}_2\left(L_2\right){\stackrel{·}{\theta }}_2\sin {\theta }_2$$-{\rho }_2{\int }_0^{L_2}\left[(x{\stackrel{·}{\theta }}_2+{\stackrel{·}{w}}_2){\stackrel{·}{\theta }}_2\sin {\theta }_2\right]d{x}_2+m_{t2}[L_2{\stackrel{··}{\theta }}_2\cos {\theta }_2-L_2{\stackrel{·}{\theta }}_2^2\sin {\theta }_2+{\stackrel{··}{w}}_2\left(L_2\right)\cos {\theta }_2],$$f_4\left(t\right)=-I_{t2}({\stackrel{··}{\theta }}_1+{\stackrel{··}{\theta }}_2+{\stackrel{··}{w}}_{2x}\left(L_2\right)),$$f_5\left(t\right)=m_{t2}[(L_1{\stackrel{··}{\theta }}_1+{\stackrel{··}{w}}_1\left(L_1\right))\cos {\theta }_2+L_2{\stackrel{··}{\theta }}_2+{\stackrel{··}{w}}_2\left(L_2\right)]$$-m_{t2}(L_1{\stackrel{·}{\theta }}_1+{\stackrel{·}{w}}_1\left(L_1\right)){\stackrel{·}{\theta }}_2\sin {\theta }_2;$以上表达式中的各个参数的物理意义说明如下：步骤二：双连杆柔性机械臂动力学模型分解第一步得到的双连杆柔性机械臂偏微分动力学模型极为复杂，难以设计自适应边界控制律，因此，要对模型进行进一步化简；考虑到关节运动和弹性振荡频率相差较大，采用奇异摄动方法对模型进行快、慢子系统分解；选取奇异摄动变量为ρ_i/EI_i，引入小参数ε满足$\frac{E{I}_i}{{\rho }_i}=\frac{{\sigma }_i}{{ϵ}^2}---\left(4\right)$其中，i＝1，2；将式(4)代入式(2)和式(3)，得${ϵ}^2\stackrel{··}{w}+\bar{D}{w}_{\mathrm{xxxx}}={ϵ}^2(-x\stackrel{··}{\theta }+x{F}_2\left(t\right)+F_3\left(t\right))---\left(5\right)$$\bar{E}Z={ϵ}^2{F}_4\left(t\right)---\left(6\right)$其中，$\bar{D}=\mathrm{diag}({\sigma }_1,{\sigma }_2),$$\bar{E}=\mathrm{diag}({\rho }_1{\sigma }_1,{\rho }_1{\sigma }_1,{\rho }_2{\sigma }_2,{\rho }_2{\sigma }_2)$为了获得慢变子系统，我们令式(5)和式(6)中ε＝0，得到w_xxxx＝0(7)Z＝0(8)从式(3)，式(7)和式(8)，得到w_ixxxx(x_i)＝0(9)w_i(0)＝w_ix(0)＝w_ixx(L_i)＝w_ixxx(L_i)＝0(10)进而，求出F₁(t)≡0(11)把式(11)代入式(1)，便得到慢变子系统，如式(12)所示${A\stackrel{··}{\theta }}_s=C{\tau }_s---\left(12\right)$其中，下标“s”用来表示慢时标下的变量；为了得到快变子系统，引入时标变换“T＝t/ε”；定义快时标下的变量为w_f＝[w_f1(x₁)，w_f2(x₂)]^T，其中，“f”表示快时标下的变量；另外，定义如下关系w_f＝w    (13)$w_f^{\prime }=\frac{\partial }{\partial T}{w}_f=ϵ\frac{\partial }{\partial t}w=ϵ\stackrel{·}{w}---\left(14\right)$在快时标下，慢变量θ看做常量，于是有$\stackrel{·}{\theta }=0\mathrm{and}\stackrel{··}{\theta }=0---\left(15\right)$由式(1)，得$\stackrel{··}{\theta }=A^{-1}(\mathrm{C\tau }-B{F}_1\left(t\right))$将上式代入式(5)，不难得到${ϵ}^2\stackrel{··}{w}+\bar{D}{w}_{\mathrm{xxxx}}=-{ϵ}^{2}x\bar{C}\tau +{ϵ}^{2}x\bar{B}{F}_1\left(t\right)+{ϵ}^{2}x{F}_2\left(t\right)+{ϵ}^2{F}_3\left(t\right)---\left(16\right)$其中，$\bar{B}=A^{-1}B,$$\bar{C}=A^{-1}C$将式(13)-式(15)代入式(16)和式(6)，得到快变子系统的动力学模型，如式(17)-式(19)所示；$w_f^{\prime \prime }+\bar{D}{w}_{\mathrm{fxxxx}}=-{ϵ}^{2}x\bar{C}{\tau }_f+xB{F}_{f1}\left(T\right)+x{F}_{f2}\left(T\right)+F_{f3}\left(T\right)---\left(17\right)$$\bar{E}{Z}_f=F_{f4}\left(T\right)---\left(18\right)$w_f1(0)＝w_f1x(0)＝w_f2(0)＝w_f2x(0)＝0(19)其中，F_f1(T)＝[ε²w_f1xx(0)，ε²w_f1xx(L₁)，ε²w_f2xx(L₂)]，F_f2(T)＝[0，w″_f1x(L₁)]^T，F_f3(T)＝[0，f_f1(T)]^T，F_f4(T)＝[f_f2(T)，f_f3(T)，f_f4(T)，f_f5(T)]^T另外，f_f1(T)＝-w″_f1(L₁)cosθ₂，$f_{f2}\left(T\right)={ϵ}^{2}E{I}_2{w}_{f2\mathrm{xx}}\left(0\right)-I_{t1}{w}_{f1x}^{\prime \prime }\left(L_1\right)-w_{f1}^{\prime }\left(L_1\right)w_{f2}^{\prime }\left(L_2\right)\sin {\theta }_{\text{2}}$$-{\rho }_2{w}_{f1}^{\prime }\left(L_1\right)\sin {\theta }_2{\int }_0^{L_2}{w}_{f2}^{\prime }d{x}_2,$$f_{f3}\left(T\right)=({\rho }_2{L}_2+m_{h2}+m_{t2})w_{f1}^{\prime \prime }\left(L_1\right)+{\rho }_2{\int }_0^{L_2}{w}_{f2}^{\prime \prime }\cos {\theta }_{2}d{x}_2+m_{t2}{w}_{f2}^{\prime \prime }\left(L_2\right)\cos {\theta }_2,$f_f4(T)＝-I_t2w″_f2(L₂)，f_f5(T)＝m₁₂(w″_f1(L₁)cosθ₂+w″_f2(L₂))；步骤三：自适应边界控制律设计针对慢变子系统(12)，采用自适应滑模控制方法设计边界控制律，其中，滑模面选为$s=\stackrel{·}{e}+\mathrm{\lambda e}$其中，e＝θ_s-θ_d是关节位置误差，λ＝diag(λ₁，λ₂)是设计参数；在此基础上，慢变子系统的控制律设计如下：${\tau }_s=-\lambda \hat{\bar{A}}{\stackrel{·}{\theta }}_s-k_s\mathrm{sat}\left(s\right)---\left(20\right)$在式(20)中，λ，k_s∈R^2×2为正的对角矩阵，χ₁＝I_t1I_h2/(I_t1+I_h2)是不确定的参数，是动态参数估计，为χ₁的估计值；自适应律为：${\stackrel{·}{\hat{\chi }}}_1={{\gamma }_1}^{-1}{\lambda }_2{s}_2\theta ---\left(21\right)$其中，γ₁∈R⁺；另外，式(20)中的饱和函数sat(s)定义为$\mathrm{sat}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}s/\Delta ,& \left|\right|s\left|\right|\le \Delta \\ \mathrm{sgn}\left(s\right),& \left|\right|s\left|\right|>\Delta \end{array}\right.$其中，Δ∈R⁺；饱和函数用来抑制滑模控制中的振荡现象；快变子系统自适应边界控制律设计为${\tau }_f=\frac{1}{{ϵ}^2}[\hat{G}{F}_{f1}\left(T\right)+\hat{H}{L}^{-1}{w}_{\mathrm{fL}}^{\prime \prime }]+k_f{w}_{\mathrm{fL}}^{\prime \prime }---\left(22\right)$其中，k_f∈R^2×2是对角的正定矩阵，$\hat{G}=\left[\begin{array}{ccc}-E{I}_1& 0& 0\\ 0& -E{I}_1{\hat{\chi }}_2& -E{I}_2{\hat{\chi }}_3\end{array}\right],$$\hat{H}=\mathrm{diag}(I_{h1},{\hat{\chi }}_4),$分别为χ₂，χ₃，χ₄的估计值；参数自适应律给出如下：${\hat{\chi }}_2^{\prime }=-{\gamma }_2^{-1}E{I}_1{w}_{f2}^{\prime }\left(L_2\right)w_{f1\mathrm{xx}}\left(L_1\right)---\left(23\right)$${\hat{\chi }}_3^{\prime }=-{\gamma }_3^{-1}E{I}_2{w}_{f2}^{\prime }\left(L_2\right)w_{f2\mathrm{xx}}\left(L_2\right)---\left(24\right)$${\hat{\chi }}_4^{\prime }=\frac{1}{{ϵ}^2{L}_2}{\gamma }_4^{-1}{w}_{f2}^{\prime }\left(L_2\right)w_{f2}^{\prime \prime }\left(L_2\right)---\left(25\right)$其中，γ₂，γ₃和γ₄均为正的常数；在已设计的慢变自适应边界控制律和快变自适应边界控制律的基础上，给出整个系统的自适应边界控制律的表达式为$\tau =-\lambda \hat{\bar{A}}\stackrel{·}{\theta }-k_s\mathrm{sat}\left(s\right)+\hat{G}{F}_1\left(t\right)+\hat{H}{L}^{-1}{\stackrel{..}{w}}_L+ϵk_f{\stackrel{·}{w}}_L---\left(26\right)$自适应律给出如下：${\stackrel{·}{\hat{\chi }}}_1={{\gamma }_1}^{-1}{\lambda }_2{s}_2{\stackrel{·}{\theta }}_{h2}---\left(27\right)$${\stackrel{·}{\hat{\chi }}}_2=-{\gamma }_2^{-1}E{I}_1{\stackrel{·}{w}}_2\left(L_2\right)w_{1\mathrm{xx}}\left(L_1\right)---\left(28\right)$${\stackrel{·}{\hat{\chi }}}_3=-{\gamma }_3^{-1}E{I}_2{\stackrel{·}{w}}_2\left(L_2\right)w_{2\mathrm{xx}}\left(L_2\right)---\left(29\right)$${\stackrel{·}{\hat{\chi }}}_4={\gamma }_4^{-1}\frac{{\stackrel{·}{w}}_2\left(L_2\right){\stackrel{··}{w}}_2\left(L_2\right)}{L_2}---\left(30\right)$；步骤四：闭环系统全局稳定性的验证根据奇异摄动理论，只要每个闭环子系统是稳定的，那么整个系统就是稳定的；因此，要证明闭环系统的全局稳定性，只需验证快、慢闭环子系统的稳定性即可；设计慢变子系统的李雅普诺夫函数为$V_s=\frac{1}{2}{s}^T\bar{A}s+\frac{1}{2}{\gamma }_1{\tilde{\chi }}_1^2---\left(31\right)$其中，根据本发明设计的慢变子系统的自适应边界控制律，从式(31)不难得到${\stackrel{·}{V}}_s=s^T({\tau }_s+\lambda \bar{A}{\stackrel{·}{\theta }}_s)-{\gamma }_1{\tilde{\chi }}_1{\stackrel{·}{\hat{\chi }}}_1$$=-k_s{s}^T\mathrm{sat}\left(s\right)+{\tilde{\chi }}_1({\lambda }_2{s}_2{\stackrel{·}{\theta }}_{\mathrm{sh}2}-{\gamma }_1{\stackrel{·}{\hat{\chi }}}_1)$$=-k_s{s}^T\mathrm{sat}\left(s\right)\le 0---\left(32\right)$根据李雅普诺夫稳定性定理可知，慢变闭环子系统是稳定的；设计快变子系统的李雅普诺夫函数为$V_f=\frac{1}{2{ϵ}^2}{w}_{\mathrm{fL}}^{\prime T}H{L}^{-1}{w}_{\mathrm{fL}}^{\prime }+\frac{1}{2}\underset{j=2}{\overset{4}{\Sigma }}{\gamma }_j{\tilde{\chi }}_j^2---\left(33\right)$设计的快变子系统的自适应边界控制律的基础上，通过式(33)容易求出V′_f＝-k_f||w′_fL||²≤0(34)因此，快变闭环子系统也是稳定的；步骤五：设计结束整个设计过程重点考虑三个方面的需求，分别是双连杆柔性机械臂的偏微分动力学建模，模型的快、慢子系统分解，以及关节角和弹性振荡的同时控制；围绕这三个方面，首先在上述第一步中利用哈密尔顿原理求出了整个系统的偏微分动力学模型；第二步考虑系统变量在不同时域的特性，重点给出了快、慢子系统分解的方法；第三步在所得到的快、慢子系统的基础上，分别设计了自适应边界控制律，并进一步给出了整个系统的自适应边界控制律；第四步中给出了一种验证闭环系统全局稳定的方法；经过上述各步骤后，设计结束。