基于角速度的欧拉角任意步长正交级数近似输出方法

摘要

本发明公开了一种基于角速度的欧拉角任意步长正交级数近似输出方法，用于解决现有的飞行器机动飞行时欧拉角输出精度差的技术问题。技术方案是通过引入多个参数并将滚转、俯仰、偏航角速度采用改进的类似切比雪夫正交多项式的递推形式展开逼近，按照依次求解俯仰角、滚转角、偏航角，直接对欧拉角的表达式进行高阶逼近积分，使得欧拉角的求解按照超线性逼近，保证了确定欧拉角的时间更新迭代计算精度，从而提高了惯性设备输出飞行姿态的准确性。

主权项

1.一种基于角速度的欧拉角任意步长正交级数近似输出方法，其特征在于包括以下步骤：步骤1、(a)根据欧拉方程：式中：分别指滚转、俯仰、偏航角；p，q，r分别为滚转、俯仰、偏航角速度；全文参数定义相同；这三个欧拉角的计算按照依次求解俯仰角、滚转角、偏航角的步骤进行；滚转、俯仰、偏航角速度p，q，r的n阶展开式分别为p(t)＝[p₀ p₁ L p_n-1 p_n][ξ₀(t) ξ₁(t) L ξ_n-1(t) ξ_n(t)]^Tq(t)＝[q₀ q₁ L q_n-1 q_n][ξ₀(t) ξ₁(t) L ξ_n-1(t) ξ_n(t)]^Tr(t)＝[r₀ r₁ L r_n-1 r_n][ξ₀(t) ξ₁(t) L ξ_n-1(t) ξ_n(t)]^T其中$\left.\begin{array}{c}{\xi }_0\left(t\right)=1\\ {\xi }_1\left(t\right)=\cos \left[a{\cos }^{-1}(1-2t/b)\right]\\ {\xi }_2\left(t\right)=2{\xi }_1\left(t\right)·{\xi }_1\left(t\right)-1\\ M\\ {\xi }_{i+1}\left(t\right)2{\xi }_1\left(t\right){\xi }_i\left(t\right)-{\xi }_{i-1}\left(t\right)\end{array}\right\},i=\mathrm{2,3},L,n-\mathrm{1,0}\le t\le \mathrm{NT},b=\mathrm{NT}$为Chebyshev(切比雪夫)正交多项式的递推形式，a为任意实数，T为采样周期；(b)俯仰角的时间更新求解式为：式中：a₁＝1+[p₀ p₁ L p_n-1 p_n]Ω[p₀ p₁ L p_n-1 p_n]^T+[q₀ q₁ L q_n-1 q_n]Ω[q₀ q₁ L q_n-1 q_n]^T+[r₀ r₁ L r_n-1 r_n]Ω[r₀ r₁ L r_n-1 r_n]^T+0.25{[p₀ p₁ L p_n-1 p_n]ζ}²+0.25{[q₀ q₁ L q_n-1 q_n]ζ}²-0.25{[r₀ r₁ L r_n-1 r_n]ζ}²a₂＝[q₀ q₁ L q_n-1 q_n]ζ-0.5[r₀ r₁ L r_n-1 r_n]Ω[p₀ p₁ L p_n-1 p_n]^Ta₃＝[r₀ r₁ L r_n-1 r_n]ζ+0.5[q₀ q₁ L q_n-1 q_n]Ω[p₀ p₁ L p_n-1 p_n]^T$\xi ={\left[\begin{array}{cccc}{\xi }_0& {\xi }_1& L& {\xi }_n\end{array}\right]}^T={\int }_{\mathrm{kT}}^{(k+1)T}\xi \left(t\right)\mathrm{dt}$${\xi }_i={\int }_{\mathrm{kT}}^{(k+1)T}{\xi }_i\left(t\right)\mathrm{dt}={\int }_{\mathrm{kT}}^{(k+1)T}\cos \left[\mathrm{ai}{\cos }^{-1}(1-2t/b)\right]\mathrm{dt}$$=\frac{b}{4}\left\{\frac{1}{\mathrm{ai}-1}\cos \right[(\mathrm{ai}-1){\cos }^{-1}(1-2t/b)]$$-\frac{1}{\mathrm{ai}+1}\cos \left[(\mathrm{ai}+1){\cos }^{-1}(1-2t/b)\right]\}{|}_{\mathrm{kT}}^{(k+1)T}$$\Omega ={\left\{{\Omega }_{\mathrm{ji}}\right\}}_{j=\mathrm{0,1},L,n;i=\mathrm{1,2},L,n}={\int }_{\mathrm{kT}}^{(k+1)T}\xi \left(t\right){\int }_{\mathrm{kT}}^T\xi \left(\tau \right)\mathrm{d\tau dt}$${\Omega }_{\mathrm{ji}}={\int }_{\mathrm{kT}}^{(k+1)T}{\xi }_j\left(t\right){\int }_{\mathrm{kT}}^t{\xi }_i\left(\tau \right)\mathrm{d\tau dt}$$=\frac{b}{8}\left\{\frac{1}{\mathrm{ai}-1}{\int }_{\mathrm{kT}}^{(k+1)T}\right\{\cos \left[(\mathrm{aj}-\mathrm{ai}+1){\cos }^{-1}(1-2t/b)\right]+\cos \left[(\mathrm{aj}+\mathrm{ai}-1){\cos }^{-1}(1-2t/b)\right]\}\mathrm{dt}$$-\frac{1}{\mathrm{ai}+1}{\int }_{\mathrm{kT}}^{(k+1)T}\left\{\cos \right[(\mathrm{aj}-\mathrm{ai}-1){\cos }^{-1}(1-2t/b)]+\cos [(\mathrm{aj}+\mathrm{ai}+1){\cos }^{-1}(1-2t/b)\left]\right\}\mathrm{dt}\}$$-\frac{b}{4}\left\{\frac{1}{\mathrm{ai}-1}\cos \right[(\mathrm{ai}-1){\cos }^{-1}(1-2\mathrm{kT}/b)]$$-\frac{1}{\mathrm{ai}+1}\cos \left[(\mathrm{ai}+1){\cos }^{-1}(1-2\mathrm{kT}/b)\right]\left\}{\int }_{\mathrm{kT}}^{(k+1)T}\cos \right[\mathrm{aj}{\cos }^{-1}(1-2t/b)]\mathrm{dt}$步骤2、(a)在已知俯仰角的情况下，滚转角的时间更新求解式为：其中a₄＝1+[p₀ p₁ L p_n-1 p_n]Ω[p₀ p₁ L p_n-1 p_n]^T+[q₀ q₁ L q_n-1 q_n]Ω[q₀ q₁ L q_n-1 q_n]^T+[r₀ r₁ L r_n-1 r_n]Ω[r₀ r₁ L r_n-1 r_n]^T+0.25{[p₀ p₁ L p_n-1 p_n]ζ(t)}²-0.25{[r₀ r₁ L r_n-1 r_n]ζ(t)}²-0.25{[q₀ q₁ L q_n-1 q_n]ζ(t)}²a₅＝[p₀ p₁ L p_n-1 p_n]ζ+0.5[r₀ r₁ L r_n-1 r_n]Ω[q₀ q₁ L q_n-1 q_n]^Ta₆＝[r₀ r₁ L r_n-1 r_n]ζ-0.5[p₀ p₁ L p_n-1 p_n]Ω[q₀ q₁ L q_n-1 q_n]^T(b)在俯仰角、滚转角已知情况下，偏航角的求解式为：$\psi \left(t\right)=\psi \left(\mathrm{kT}\right)+{\int }_{\mathrm{kT}}^t[b_1\left(t\right)+b_2\left(t\right)]\mathrm{dt}$式中：