一种线性不确定性系统鲁棒故障检测滤波器设计方法

摘要

本发明属于控制领域，提供了一种线性不确定性系统鲁棒故障检测滤波器设计方法。将齐次多项式参数依赖的Lyapunov函数方法引入到存在凸多面体不确定性的线性时不变系统的鲁棒性故障检测中。首先说明了用于设计RFDF的HPPDL函数的存在性可以通过线性矩阵不等式的可行性进行验证；其次，最大故障灵敏度通过解广义特征值问题得到，并得出最优的RFDF。随着多项式次数的增加，线性矩阵不等式和自由变量的数量随之增加，从而大大降低验证的保守性。设计方法包括两个阶段：(1)作为具有一定的干扰衰减和最大故障灵敏度的残差发生器的最优RFDF设计问题；(2)为估计生成的残差而进行阈值设计。这种设计方法比之前类似的方法更具有一般性。

主权项

1.一种线性不确定性系统鲁棒故障检测滤波器设计方法，其特征在于：将齐次多项式参数依赖的Lyapunov函数方法引入到存在凸多面体不确定性的线性时不变系统的鲁棒性故障检测中，首先验证了用于设计RFDF的HPPDL函数的存在性通过线性矩阵不等式验证的可行性；其次，故障检测滤波器的最大故障灵敏度通过解广义特征值问题得到，并能得出最优的RFDF，随着多项式次数的增加，线性矩阵不等式和自由变量的数量随之增加，从而降低验证的保守性；设计方法包括两个阶段：(1)作为具有一定的干扰衰减和最大故障灵敏度的残差发生器的最优RFDF设计问题；(2)为估计生成的残差而进行阈值设计；具体包括以下步骤：定义：表示n×n实矩阵的集合，上标T表示实矩阵的转置，*表示复矩阵的共轭转置；对于n×n矩阵A，HeA＝A+A^*；如果A是实对称的负定矩阵，表示为A＜0，而B≥0表示B是半正定矩阵；定义这样一个系统：$\begin{array}{c}\stackrel{·}{x}=\mathrm{Ax}+B_{d}d+B_{f}f,\\ y=\mathrm{Cx}+D_{d}d+D_{f}f,\end{array}---\left(1\right)$其中，分别代表状态向量和输出向量；是需要进行检测的可检测故障信号的集合；表示有限的传感器/驱动器干扰；依赖于考虑之中的特定情形，f和d采取不同的信号形式进行建模；模型矩阵是具有适当维数的定常矩阵，其中A，B_d，B_f，D_d包含于下面的不确定性多面体：$\Omega =\left\{(A,B_f,B_d,D_d)\right|(A,B_f,B_d,D_d)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\alpha }_i(A^{\left(i\right)},B_f^{\left(i\right)},B_d^{\left(i\right)},D_d^{\left(i\right)}),{\alpha }_i\ge 0,\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\alpha }_i=1\}---\left(2\right)$这里，(A⁽ⁱ⁾，)是多面体Ω的第i个顶点；故障检测依赖于对故障高灵敏度的残差信号生成，同时能够区分外部信号和干扰引起的故障，定义一个基于RFDF的残差发生器作为RFDF的核心，给出如下形式的全阶状态观测器：$\begin{array}{c}\stackrel{·}{\hat{x}}=A\hat{x}+L(y-\hat{y}),\\ \hat{y}=C\hat{x},\end{array}---\left(3\right)$其中，表示状态向量，是滤波器的输出估计向量；L是待确定的定常矩阵，因此，RFDF的设计还原为观测器获取矩阵L；进一步讲，RFDF传递了一个其关于故障和位置干扰的动态特性，由下列残差方程进行描述：$r=y-\hat{y}---\left(4\right)$为描述RFDF的动态特性，令考虑如下残差动态特性：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{e}=(A-\mathrm{LC})e+(B_d-{\mathrm{LD}}_d)d+(B_f-{\mathrm{LD}}_f)f,\\ r=\mathrm{Ce}+D_{d}d+D_{f}f.\end{array}\right.---\left(5\right)$接下来，引进以下定义来描述系统(5)中d和f对残差r的影响；定义1如果误差动态特性(5)的传递函数由下式给出G_rd(s)＝C(sI-A+LC)^-1(B_d-LD_d)+D_d.那么它的H_∞范数定义由下式定义${\left|\right|G_{\mathrm{rd}}\left|\right|}_{\infty }={\sup }_{d\in L_2}\frac{{\left|\right|r\left|\right|}_2}{{\left|\right|d\left|\right|}_2}={\sup }_{d\in L_2}\frac{{\left|\right|G_{\mathrm{rd}}d\left|\right|}_2}{{\left|\right|d\left|\right|}_2}.$定义2考虑如下从输入f到输出r的传递函数G_rf(s)＝C(sI-A+LC)^-1(B_f-LD_f)+D_f.传递函数矩阵G_rf(s)的H_指数定义为${\left|\right|G_{\mathrm{rf}}\left(s\right)\left|\right|}_{-}^{[0,\bar{\omega }]}=\underset{\omega \in [0,\bar{\omega }]}{\inf }\underset{‾}{\sigma }\left[G_{\mathrm{rf}}\left(\mathrm{j\omega }\right)\right],$其中σ代表最小奇异值，表示频带此外，这个频域性能判据可以由${\left|\right|G_{\mathrm{rf}}\left|\right|}_{-}={\inf }_{f\in L_2}\frac{{\left|\right|G_{\mathrm{rf}}f\left|\right|}_2}{{\left|\right|f\left|\right|}_2}$基于信号理论得到；便用H_/H_∞权衡设计策略；H_/H_∞性能测定标准，为简单起见，采用最大化故障灵敏度||G_rf(s)||_，且干扰衰减||G_rd(s)||_∞是一个固定常数的情形；以确定系数矩阵L为目标，因此1°A-LC是常数2°||G_rd(s)||_∞＜γ(6)3°||G_rf(s)||_＞β，β→max，其中，γ是规定的正常数，β是待最优化的常量；在此情形下，得出的RFDF(3)-(4)是保证H_/H_∞性能下最优的；(6)式中鲁棒残差生产方法的目标之间是有冲突的；由于故障检测问题本质上是一个多目标权衡问题，因此在故障检测系统设计中应用线性矩阵不等式技术；然而式(6)的传递函数G_rd(s)和G_rf(s)中存在不确定矩阵，因此不能简单的凭借鲁棒性控制的标准知识加以解决；引入参数依赖李雅普诺夫函数方法，从而在解决凸多面体不确定性问题时可以利用齐次多项式参数依赖的李雅普诺夫技术；考虑包含多面体不确定性(2)的系统(1)和式(3)-(4)给出的RFDF；设γ＞0，β＞0是规定的常标量，对于给定的矩阵L，当如下任一条件满足时：1°存在一个正定矩阵P＝PT＞0和一个对称矩阵使得$\left[\begin{array}{ccc}P(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^{T}P& P(B_d-{\mathrm{LD}}_d)& C^T\\ *& -{\gamma }^{2}I& D_d^T\\ *& *& -I\end{array}\right]<0,---\left(7\right)$$\left[\begin{array}{cc}{P}_f(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^T{P}_f+C^{T}C& P_f(B_f-{\mathrm{LD}}_f)+C^T{D}_f\\ *& D_f^T{D}_f-{\beta }^{2}I\end{array}\right]>0.---\left(8\right)$2°存在矩阵P＝P^T＞0，G，G_f，F，F_f，使得$\Pi =\left[\begin{array}{cccc}-G-G^T& G(A-\mathrm{LC})+P-F^T& G(B_d-{\mathrm{LD}}_d)& 0\\ *& F(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^T{F}^T& F(B_d-{\mathrm{LD}}_d)& C^T\\ *& *& -\mathrm{\gamma I}& D_d^T\\ *& *& *& -\mathrm{\gamma I}\end{array}\right]<0,---\left(9\right)$$\Lambda =\left[\begin{array}{ccc}-G_f-G_f^T& G_f(A-\mathrm{LC})+P_f-F_f^T& G_f(B_f-{\mathrm{LD}}_f)\\ *& F_f(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^T{F}_f^T+C^{T}C& F_f(B_f-{\mathrm{LD}}_f)+C^T{D}_f\\ *& *& D_f^T{D}_f-{\beta }^{2}I\end{array}\right]>0,---\left(10\right)$残差动态特性(5)将满足鲁棒性要求γ和故障灵敏度性能β，即||G_rd(s)||_∞＝||C(sI-A+LC)^-1(B_d-LD)+D_d||_∞＜γ，||G_rf(s)||_＝||C(sI-A+LC)^-1(B_f-LD)+D_f||_＞β.在H_∞框架中，由界实引理将H_∞范数计算同一个扮演关键角色的线性矩阵不等式条件联系在一起；类似的，计算H_指数也相当于一个线性矩阵不等式；因此，条件1°是直接的线性矩阵不等式方程，因此残差动态特性(4)拥有干扰衰减γ和故障灵敏度性能β，其在鲁棒性控制理论中有标准结果；进一步讲，注意到条件(9)可以写成如下形式：∏＝V+He(∑GΓ)＜0(11)其中$V=\left[\begin{array}{cccc}0& P-F^T& 0& 0\\ *& F(A-\mathrm{LC})+{(A-\mathrm{LC})}^T{F}^T& F(B_d-{\mathrm{LD}}_d)& C^T\\ *& *& -\mathrm{\gamma I}& D_d^T\\ *& *& *& -\mathrm{\gamma I}\end{array}\right],$$\Sigma =\left[\begin{array}{c}I\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\Gamma =\left[\begin{array}{cccc}-I& A-\mathrm{LC}& B_d-{\mathrm{LD}}_d& 0\end{array}\right].$∑和Γ^T的零空间的显式基可以按下述计算${\Sigma }^{\perp }=\left[\begin{array}{cccc}0& I& 0& 0\\ 0& 0& I& 0\\ 0& 0& 0& I\end{array}\right],$${\Gamma }^{T\perp }=\left[\begin{array}{cccc}{(A-\mathrm{LC})}^T& I& 0& 0\\ {(B_d-{\mathrm{LD}}_d)}^T& 0& I& 0\\ 0& 0& 0& I\end{array}\right].---\left(12\right)$因此，∑和Γ的列空间线性无关；根据参数G的投影引理，不等式(11)当且仅当满足下列条件时有解：∑^⊥G∑^⊥T＜0，Γ^T⊥GΓ^T⊥T＜0.将式(12)代入上述不等式将得到(7)；因此，存在G使得(9)保持不变当且仅当存在P使得(7)保持不变；使用类似参数，(10)因G_f保持不变当且仅当线性矩阵不等式(8)满足矩阵P_f存在。