一种航天器相对运动的采样控制方法

摘要

一种航天器相对运动的采样控制方法，它涉及一种航天器的采样控制方法。本发明为解决采用现有的航天器相对运动的采样控制方法忽略了数字控制器的处理周期和偏差，影响航天器轨道的精确性和安全性的问题。步骤A：建立航天器相对运动动力学模型；步骤B：对两个航天器相对状态进行采样；步骤C：利用步骤B中所述的扇形区域的上下边界线构造M和N矩阵；步骤D：求得相应的状态反馈控制律；步骤E：引入两个正定对称矩阵P和Q并定义如下李亚普诺夫泛函；步骤F：求得交会过程完成并且推力满足公式(3)上界约束条件；步骤G：利用MATLAB软件中线性矩阵不等式(LMI)工具箱求可行解。本发明的采样控制方法用于设计航天器控制器。

主权项

1.一种航天器相对运动的采样控制方法，其特征在于所述采样控制方法由以下步骤实现的：步骤A、建立航天器相对运动动力学模型：设两个航天器为追踪航天器和目标航天器，目标轨道为近似圆轨道，以目标航天器作为原点建立相对运动坐标系将目标航天器的质心作为坐标系原点o，ox轴位于目标航天器轨道平面内，正向为地心指向航天器方向；oy轴为目标航天器运行方向；oz轴垂直于轨道平面并与其他两轴构成右手直角坐标系；设追踪航天器相对于目标航天器的相对位置在x，y及z轴上的分量为x(t)、y(t)和z(t)，相对运动速度在相应坐标轴上的分量为和则相对运动状态向量为设u_x(t)、u_y(t)和u_z(t)分别为作用在x、y和z轴上的控制推力，则控制输入向量定义为u(t)＝[u_x(t)，u_y(t)，u_z(t)]^T；追踪航天器质量为m，则相对运动的状态空间的系统方程可以写为：$\stackrel{·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)---\left(1\right)$式中A为系统状态矩阵，B为输入矩阵，分别有如下形式：$A=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ {3n}^2& 0& 0& 0& 2n& 0\\ 0& 0& 0& -2n& 0& 0\\ 0& 0& -n^2& 0& 0& 0\end{array}\right],$$B=\frac{1}{m}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$其中n为目标航天器的运行角速度；步骤B、对两个航天器相对状态进行采样：在追踪航天器和目标航天器相对运动过程中，采样器在采样时刻对追踪航天器和目标航天器相对状态进行采样，控制器根据采样信号计算此时刻的控制推力并产生离散形式的控制信号，控制信号通过零阶保持器驱动轨道推进器输出相应的连续控制推力；步骤B1、设t_k是采样点时刻，两个航天器的相对运动状态在t₁、t₂、...、t_k、t_k+1、...时刻被控制器采集，处于t_k≤t＜t_k+1时间段内的状态均被认为是t_k时刻的状态进行处理；同样，与t_k时刻运动状态相对应的推力控制信号也以采样信号形式输出到零阶保持器，进而驱动推进器在t_k≤t＜t_k+1时段内对追踪航天器以此推力进行相应的机动控制；可见，对于t_k≤t＜t_k+1，系统方程(1)中连续形式的控制输入向量u(t)转化为采样点形式的控制输入向量u(t_k)，其形式为：u(t_k)＝Kx(t_k)                    (2)两个航天器相对运动过程中有限推力条件由下式表示：|u_i(t_k)|≤u_i，max，i＝x，y，z    (3)其中u_i，max(i＝x，y，z)为x、y和z轴上的控制推力上界；步骤B2、确定实际推力为u_r与控制律期望推力为u_d之间的关系假设推进器产生的推力值同期望推力值之间的偏差分布在一个确定的范围内，设实际推力为u_r，控制律期望推力为u_d；当控制律期望推力u_d＝0时，即推力器关闭，此时推力器的非线性特性也无从体现，因此输出值u_r＝0；但当期望控制推力不为零时，推进器开始工作，随着推力需求增大，其非线性影响产生的推力偏差也相应增大，而且此偏差通常难以测得；在期望推力值附近假想出的一个扇形区域，扇形区域的上下边界线分别为u_r＝σ_hu_d和u_r＝σ_lu_d，实际推力值分布于此扇形区域内，设推力器实际输出的推力向量为S(u(t_k))＝[sec_x(u_x(t_k))，sec_y(u_y(t_k))，sec_z(u_z(t_k))]^T  (3)式中sec_i(u_i(t_k))(i＝x，y，z)为x、y和z轴上的实际输出推力，满足如下关系σ_liu_i(t_k)≤sec_i(u_i(t_k))≤σ_hiu_i(t_k)，i＝x，y，z       (4)其中σ_li(i＝x，y，z)为x、y和z轴上推力扇形区域的下界比例系数，σ_hi(i＝x，y，z)为x、y和z轴上推力扇形区域的上界比例系数；由(1)、(2)、(3)式，相对运动系统方程可转化为如下形式：$\stackrel{·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{BS}\left(u\left(t_k\right)\right)---\left(5\right)$步骤C、利用步骤B中所述的扇形区域的上下边界线构造M和N矩阵，公式如下：$M=\frac{1}{2}\mathrm{diag}\{({\sigma }_{\mathrm{lx}}+{\sigma }_{\mathrm{hx}}),({\sigma }_{\mathrm{ly}}+{\sigma }_{\mathrm{hy}}),({\sigma }_{\mathrm{lz}}+{\sigma }_{\mathrm{hz}})\}---\left(6\right)$$N=\frac{1}{2}\mathrm{diag}\{({\sigma }_{\mathrm{hx}}-{\sigma }_{\mathrm{lx}}),({\sigma }_{\mathrm{hy}}-{\sigma }_{\mathrm{ly}}),({\sigma }_{\mathrm{hz}}-{\sigma }_{\mathrm{lz}})\}---\left(7\right)$式中diag{ }表示对角矩阵，定义向量η(t_k)＝S(u(t_k))-Mu(t_k)           (8)由公式(8)可得到实际输出控制推力S(u(t_k))，见公式(9)S(u(t_k))＝η(t_k)+Mu(t_k)           (9)步骤D、求得相应的状态反馈控制律：设相邻两个采样点的时间间隔上界为h，即t_k+1-t_k≤h；定义d(t)＝t-t_k，则d(t)满足d(t)≤h，且采样点t_k可以写为t_k＝t-(t-t_k)＝t-d(t)，采样点时刻的状态向量可写为x(t_k)＝x(t-d(t))                  (10)则由(2)和(10)可得相应的状态反馈控制律为u(t_k)＝Kx(t_k)＝Kx(t-d(t))         (11)将公式(9)和公式(11)代入公式(5)，可将相对运动系统方程进一步转化为：$\stackrel{·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{B\eta }\left(t_k\right)+\mathrm{BMKx}(t-d\left(t\right))---\left(12\right)$步骤E、引入两个正定对称矩阵P和Q并定义如下李亚普诺夫泛函由状态向量x(t)的定义可知，x(t)由一个非零向量收敛到一个零向量即意味着两航天器相对位置和相对速度均为零，则系统方程(12)的渐进稳定也就意味着追踪航天器与目标航天器能够实现交会，为了保证相对运动系统方程(12)的渐进稳定性，引入两个正定对称矩阵P和Q并定义如下李亚普诺夫泛函V(t)＝V₁(t)+V₂(t)                 (13)其中$V_1\left(t\right)=x^T\left(t\right)\mathrm{Px}\left(t\right),V_2\left(t\right)={\int }_{-h}^0{\int }_{t+\beta }^t{\stackrel{·}{x}}^T\left(\alpha \right)Q\stackrel{·}{x}\left(\alpha \right)\mathrm{d\alpha d\beta }---\left(14\right)$根据相应定义及矩阵不等式相关结论，可得其中矩阵Γ₁、Γ₁和Γ₁由以下各式给定${\Gamma }_1=\left[\begin{array}{cc}\Pi & \mathrm{PBMK}\\ *& {ϵ}_1^{-1}{K}^T\mathrm{NNK}\end{array}\right],$${\Gamma }_3=\left[\begin{array}{c}I\\ -I\end{array}\right]Q\left[\begin{array}{cc}I& I\end{array}\right]$${\Gamma }_2=\left[\begin{array}{c}\mathrm{QA}\\ \mathrm{QBMK}\end{array}\right]{\Theta }^{-1}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{QA}& \mathrm{QBMK}\end{array}\right]+{ϵ}_2\left[\begin{array}{c}0\\ \mathrm{NK}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& \mathrm{NK}\end{array}\right],\Theta =Q-{ϵ}_2^{-1}{\mathrm{QBB}}^{T}Q$根据公式(15)，如果矩阵K能够满足下式Γ₁+hΓ₂-h^-1Γ₃＜0          (16)那么即系统方程(12)渐近稳定，从而航天器能够实现交会，因此，将(16)式作为控制律设计过程的一个约束条件；步骤F、求得交会过程完成并且推力满足公式(3)上界约束条件：步骤F1、将航天器轨道机动推进器的有限推力条件写为如下形式$x^T(t-d\left(t\right))K^T{U}_i^T{U}_i\mathrm{Kx}(t-d\left(t\right))\le u_{i,\max }^2---\left(17\right)$则有限推力条件可由以下不等式条件满足$\rho K^T{U}_i^T{U}_{i}K<u_{i,\max }^{2}P---\left(18\right)$其中ρ为一个给定常数满足V(0)＜ρ，其中V(0)为(13)式在初始条件下的取值；可见，利用(18)式结合上一步中得到的(16)式求得的控制矩阵K即可保证交会过程完成并且推力满足上界约束条件(3)；步骤F2、对(16)和(18)式进行求解，通过矩阵不等式变换将两式进一步转化为以下两个矩阵不等式$\left[\begin{array}{cc}-h^{-1}{ϵ}_{2}I& \tilde{\Phi }\\ *& \tilde{\Psi }\end{array}\right]<0---\left(19\right)$$\left[\begin{array}{cc}-X& \sqrt{\rho }{Y}^T{U}_i^T\\ *& -\mathrm{\mu I}\end{array}\right]<0---\left(20\right)$式中X＝P^-1，Y＝KX，μ为一给定正数并满足相应矩阵具有如下形式$\tilde{\Phi }=\left[\begin{array}{cccccc}{B}^T& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$\tilde{\Psi }=\left[\begin{array}{cc}-h(\tilde{Q}-2X)& {\tilde{\Psi }}_{12}\\ *& {\tilde{\Psi }}_{22}\end{array}\right],$${\tilde{\Psi }}_{12}=\left[\begin{array}{ccccc}\mathrm{hX}& \mathrm{hBMY}& 0& 0& 0\end{array}\right]$$\tilde{\Lambda }=\mathrm{diag}\left[\begin{array}{cccc}-h^{-1}\tilde{Q},& -{ϵ}_2^{-1}I,& -{ϵ}_{1}I,& -{\left({\mathrm{hϵ}}_2\right)}^{-1}I\end{array}\right]$如果给定u_max，则μ给定，(19)式和(20)式是关于X、Y和的线性矩阵不等式；步骤G、利用MATLAB软件中线性矩阵不等式(LMI)工具箱求可行解：利用MATLAB软件中线性矩阵不等式(LMI)工具箱对于(19)和(20)式进行求解得到其可行解利用算得的X和Y矩阵通过下式计算状态反馈增益矩阵KK＝YX^-1           (21)至此，即得到满足设计要求的航天器相对运动的状态反馈采样控制律。u(t_k)＝Kx(t_k)