一种基于光纤陀螺的ARMA时间序列的寻北方法

摘要

本发明公开了一种基于光纤陀螺的ARMA时间序列的寻北方法。本发明在数据处理的过程前，针对多个不同型号的光纤陀螺在寻北系统中的输出序列进行分析，确定对于原始数列随机平稳性处理后的数列进行ARMA(2，1)模型进行拟合为最佳。并且据此提出了利用ARMA进行寻北测试光纤陀螺输出模型的建立，给出了参数求解和模型建立的完整方案。首先此方案降低了寻北模型拟合的误差，从而使拟合后的模型更接近原始数列的特性，此模型具有更高的精度，并在寻北技术中具有一定的普适性，为后续的kalman滤波等需要比较精确的寻北模型的滤波方法的应用提供了基础。另外在模型参数的求解上提出了固定的求解步骤以及原始数列模型的建立方法，提高了寻北测试中数据处理的速度和效率。

主权项

1.一种基于光纤陀螺的ARMA时间序列的寻北方法，其特征在于包括如下步骤：(1)对原始数列{y_t}进行去均值处理，得到数列{ε_t}：根据光纤陀螺的输出数列{y_t}得到数列{y_t}的均值y，再根据ε_t＝y_t-y得到去均值处理后的数列{ε_t}，其中，下标t代表的采集数据的时刻。(2)对去均值处理后的数列{ε_t}进行一阶差分处理，根据$w_t=▿{ϵ}_t={ϵ}_t-{ϵ}_{t-1},$得到处理后的数列{w_t}。(3)对数列{w_t}进行去均值w处理，即$w_t^{\prime }=w_t-\bar{w},$得到新数列对其进行模型拟合，拟合模型ARMA(2，1)为：$w_t^{\prime }={\alpha }_1{w}_{t-1}^{\prime }+{\alpha }_2{w}_{t-2}^{\prime }+\bar{w}+z_t+{\beta }_1{z}_{t-1},$待估参数有4个，分别为α₁、α₂、β₁以及噪声估计方差σ_ε。(4)根据数列估计α₁和α₂，计算样本数列的自相关函数ρ_k，对于估计ARMA(p，q)模型，参数α₁、α₂、…、α_p的计算与ρ_k的关系有如下关系式：$\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ·\\ ·\\ ·\\ {\alpha }_p\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccc}{\rho }_q& {\rho }_{q-1}& ···& {\rho }_{q-p+1}\\ {\rho }_{q+1}& {\rho }_q& ···& {\rho }_{q-p}\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ {\rho }_{q+p-1}& {\rho }_{q+p-2}& ···& {\rho }_q\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\rho }_{q+1}\\ {\rho }_{q+2}\\ ·\\ ·\\ ·\\ {\rho }_{q+p}\end{array}\right];$此时待估的ARMA(2，1)模型中p＝2、q＝1，取样本数列的自相关函数ρ_k，其中，k≤3，代入此关系式得到$\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}{\rho }_1& {\rho }_0\\ {\rho }_2& {\rho }_1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\rho }_2\\ {\rho }_3\end{array}\right],$求得参数α₁、α₂。(5)根据数列和参数α₁、α₂，通过式$w_t^{\prime }-{\alpha }_1{w}_{t-1}^{\prime }-{\alpha }_2{w}_{t-2}^{\prime }=z_t+{\beta }_1{z}_{t-1}$把ARMA(2，1)模型转换MA(1)模型，令${\tilde{w}}_t=w_t^{\prime }-{\alpha }_1{w}_{t-1}^{\prime }-{\alpha }_2{w}_{t-2}^{\prime },$求得新数列对数列进行零均值检验，如果发现新数列的均值显著非零，则令${\tilde{w}}_t^{\prime }={\tilde{w}}_t-\overline{\stackrel{~}{w}},$求得零均值序列此时的模型方程为MA(1)，即${\tilde{w}}_t^{\prime }=z_t+{\beta }_1{z}_{t-1}.$(6)根据数列得到数列的自协方差系数{γ_k}和自相关函数根据MA(q)模型采用矩估计的方式进行参数的求解关系式：对MA(1)模型方程，代入q＝1，得到$\left\{\begin{array}{c}{\tilde{\gamma }}_0={{\sigma }_{ϵ}}^2(1+{{\beta }_1}^2)\\ {\tilde{\gamma }}_1=-{{\text{σ}}_{ϵ}}^2{\beta }_1\end{array}\right.,$又${\tilde{\rho }}_1=\frac{{\tilde{\gamma }}_1}{{\tilde{\gamma }}_0},$所以有$\left\{\begin{array}{c}{{\sigma }_{ϵ}}^2=\frac{{\tilde{\gamma }}_0}{2}(1+\pm \sqrt{1-4{{\tilde{\rho }}_1}^2})\\ {\beta }_1=-2{\tilde{\rho }}_1/(1\pm \sqrt{1-4{{\tilde{\rho }}_1}^2})\end{array}\right.,$得到参数β₁以及噪声估计方差σ_ε。(7)将参数β₁代入模型方程MA(1)中，反推得到此时的模型方程：${\tilde{w}}_t-\overline{\stackrel{~}{w}}=z_t+{\beta }_1{z}_{t-1},$然后代入参数α₁、α₂，进一步转换到数列的方程表示式中，可以得到此时的模型方程$w_t^{\prime }-{\alpha }_1{w}_{t-1}^{\prime }-{\alpha }_2{w}_{t-2}^{\prime }-\stackrel{\overline{~}}{w}=z_t+{\beta }_1{z}_{t-1}.$(8)把$w_t^{\prime }=w_t-\bar{w}$代入模型方程$w_t^{\prime }-{\alpha }_1{w}_{t-1}^{\prime }-{\alpha }_2{w}_{t-2}^{\prime }=z_t+{\beta }_1{z}_{t-1},$得到针对数列{w_t}的模型方程$(w_t-\bar{w})-{\alpha }_1(w_{t-1}-\bar{w})-{\alpha }_2(w_{t-2}-\bar{w})-\stackrel{\overline{~}}{w}=z_t+{\beta }_1{z}_{t-1},$合并得到数列{w_t}的模型方程$w_t={\alpha }_1{w}_{t-1}+{\alpha }_2{w}_{t-2}+(\bar{w}-{\alpha }_1\bar{w}-{\alpha }_2\bar{w})+\stackrel{\overline{~}}{w}+z_t+{\beta }_1{z}_{t-1}.$(9)将w_t＝ε_t-ε_t-1代入数列{w_t}的模型方程：$w_t={\alpha }_1{w}_{t-1}+{\alpha }_2{w}_{t-2}+(\bar{w}-{\alpha }_1\bar{w}-{\alpha }_2\bar{w})+\stackrel{\overline{~}}{w}+z_t+{\beta }_1{z}_{t-1},$得到针对数列{ε_t}的模型方程：${ϵ}_t-{ϵ}_{t-1}={\alpha }_1({ϵ}_{t-1}-{ϵ}_{t-2})+{\alpha }_2({ϵ}_{t-2}-{ϵ}_{t-3})+(\bar{w}-{\text{α}}_1\bar{w}-{\alpha }_2\bar{w})+\stackrel{\overline{~}}{w}+z_t+{\beta }_1{z}_{t-1},$合并得到{ε_t}的模型方程：${ϵ}_t=(1+{\alpha }_1){ϵ}_{t-1}+({\alpha }_2-{\alpha }_1){ϵ}_{t-2}+(-{\alpha }_2){ϵ}_{t-3}+(\bar{w}-{\text{α}}_1\bar{w}-{\alpha }_2\bar{w})+\stackrel{\overline{~}}{w}+z_t+{\beta }_1{z}_{t-1}.$(10)将ε_t＝y_t-y代入模型方程：${ϵ}_t=(1+{\alpha }_1){ϵ}_{t-1}+({\alpha }_2-{\alpha }_1){ϵ}_{t-2}+(-{\alpha }_2){ϵ}_{t-3}+(\bar{w}-{\text{α}}_1\bar{w}-{\alpha }_2\bar{w})+\stackrel{\overline{~}}{w}+z_t+{\beta }_1{z}_{t-1},$得到寻北系统光纤陀螺输出数列的模型方程：$y_t=(1+{\alpha }_1)y_{t-1}+({\alpha }_2-{\alpha }_1)y_{t-2}+(-{\alpha }_2)y_{t-3}+(\bar{w}-{\text{α}}_1\bar{w}-{\alpha }_2\bar{w})+\stackrel{\overline{~}}{w}+z_t+{\beta }_1{z}_{t-1}.$