考虑线性化误差的空间交会系统的增益调度控制方法

摘要

考虑线性化误差的空间交会系统的增益调度控制方法，涉及一种航天器轨道交会的增益调度控制方法。本发明为了解决现有航天器轨道交会的控制方法忽略输入饱和与由线性化误差引起参量不确定性而导致的完成航天器轨道交会任务耗时较长的问题，本发明考虑了由线性化误差引起的参数不确定性，赋予其确切含义，建立航天器轨道交会相对运动模型，然后设计航天器轨道交会的增益调度控制器，利用增益调度控制器对航天器轨道交会进行控制，完成交会任务。本发明主要用于航天器轨道交会的控制。

主权项

考虑线性化误差的空间交会系统的增益调度控制方法，其特征在于它包括下述步骤：步骤1：引入目标飞行器轨道坐标系O‑XYZ，其原点O位于目标航天器的质心，X轴沿着圆轨道半径R的方向，Y轴沿着追踪航天器飞行的方向，Z轴指向轨道平面外与X轴和Y轴构成右手坐标系；引力常数μ＝GM，其中M为中心星体质量，G为万有引力常数；目标飞行器的轨道角速度为首先，定义符号函数和饱和函数：符号函数sign：如果y≥0，sign(y)＝1；如果y＜0，sign(y)＝‑1；对于向量a＝[a₁,a₂,…,a_m]^T∈R^m，a_b＞0，b∈I[1,m]，向量值饱和函数sat_α(·):R^m→R^m定义为${\mathrm{sat}}_a\left(\beta \right)={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{sat}}_{a_1}\left({\beta }_1\right)& {\mathrm{sat}}_{a_2}\left({\beta }_2\right)& ···& {\mathrm{sat}}_{a_{}m}\left({\beta }_m\right)\end{array}\right]}^T$其中，如果a_b＝1，b∈I[1,m]，则sat_α(·)简写为sat(·)，sat(·)称之为单位饱和函数；I[1,m]表示整数集合{1,2,...,m}，Rm表示的是m维状态空间；设追踪航天器相对于目标航天器在X轴，Y轴和Z轴上的相对位置和相对速度分量分别为x,y,z,a_x，a_y和a_z分别表示在三个坐标轴方向的加速度分量，a_X，a_Y和a_Z分别为推力器在三个坐标轴方向产生的最大加速度分量，且α＞0表示饱和水平；令D＝diag{α_X,α_Y,α_Z}、a＝[a_x,a_y,a_z]^T，可以得到$u=[{\mathrm{sat}}_{{\alpha }_X}\left(a_x\right),{\mathrm{sat}}_{{\alpha }_Y}\left(a_y\right),{\mathrm{sat}}_{{\alpha }_Z}\left(a_z\right){]}^T=\mathrm{Dsat}\left(D^{-1}a\right)---\left(1\right);$选取相对运动状态向量$X={\left[\begin{array}{cccccc}x& y& z& \stackrel{·}{x}& \stackrel{·}{y}& \stackrel{·}{z}\end{array}\right]}^T$和控制向量U＝D^‑1a，得到目标航天器与追踪航天器的相对运动状态空间描述如式(2)$\stackrel{·}{X}=\mathrm{AX}+\mathrm{Bsat}\left(U\right)+\mathrm{\mu f}\left(X\right)---\left(2\right)$其中$A=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 2n^2& 0& 0& 0& 2n& 0\\ 0& 0& 0& -2n& 0& 0\\ 0& 0& -n^2& 0& 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]D,$f(X)＝[0,0,0,f₁(X),f₂(X),f₃(X)]^T   (3)，公式(3)中$\left\{\begin{array}{c}{f}_1\left(X\right)=-\frac{2n^{2}x}{\mu }+\frac{n^{2}R}{\mu }-\mathrm{\sigma R}-\mathrm{\sigma x}\\ f_2\left(X\right)=\frac{n^{2}y}{\mu }-\mathrm{\sigma y}\\ f_3\left(X\right)=\frac{n^{2}z}{\mu }-\mathrm{\sigma z}\end{array}\right.---\left(4\right),$公式(4)中对σ在原点进行泰勒展开并保留到二阶项，得到$\sigma \approx \frac{1}{R^3}-\frac{3}{R^4}x+\frac{6}{R^5}{x}^2-\frac{3}{2R^5}{y}^2-\frac{3}{2R^5}{z}^2---\left(5\right),$将(5)代入(4)中，式(2)表示为$\stackrel{·}{X}=(A+\mathrm{EJ}\left(t\right)F)X+\mathrm{Bsat}\left(U\right)---\left(6\right),$公式(6)中$E=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha & 0& 0\\ 0& \alpha & 0\\ 0& 0& \alpha \end{array}\right],F=\frac{2\lambda \sqrt{3}}{3\alpha }\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\end{array}\right],J\left(t\right)=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{l}x& \frac{1}{2l}& \frac{1}{2l}z\\ \frac{\sqrt{3}}{2l}y& 0& 0\\ \frac{\sqrt{3}}{2l}z& 0& 0\end{array}\right]$其中以及α＝min{|α_X|,|α_Y|,|α_Z|}；步骤2：设计航天器轨道交会的增益调度控制器，具体过程如下；步骤2.1：求解参量Riccati方程(7)A^TP+PA‑PBB^TP+F^TF+γP＝0,   (7)对应的反馈增益为K＝‑B^TP，γ为大于零的实数，代表闭环的收敛速度；步骤2.2：设计实数集合如(8)所示Γ_N＝{γ₀,γ₁,…,γ_N},0＜γ_i‑1＜γ_i,i∈I[1,N]   (8)其中N是给定的正整数；将两航天器的相对运动状态空间用椭球集合描述，对于γ_h∈Γ_N,h∈I[0,N]，由二次函数X^TP(γ)X设计如下椭球集合$E\left(P_{\mathrm{\gamma h}}\right)=\{X\in R^6:\rho \left({\gamma }_h\right)X^{T}P\left({\gamma }_h\right)X\le 1\}---\left(9\right)$其中，$\rho \left({\gamma }_h\right)=\underset{k=\mathrm{1,2,3}}{\max }\left\{B_k^{T}P\left({\gamma }_h\right)B_k\right\},$$P_{{\gamma }_h}=\rho \left({\gamma }_h\right)P\left({\gamma }_h\right),$B_k是B的第k列；由参量Riccati方程(7)可知：椭球集合是嵌套的，即当γ₁＜γ₂时，则有$E\left(P_{{\gamma }_2}\right)⋐E\left(P_{{\gamma }_1}\right);$假设式(6)的初始条件在给定的有界集合Ω∈R⁶内；γ的初值为γ₀，定义γ₀为${\gamma }_0={\gamma }_0\left(\Omega \right)=\underset{X\in \Omega }{\min }\{\gamma :\rho \left(\gamma \right)X^{T}P\left(\gamma \right)X=1\}---\left(10\right)$如果Ω已知，γ₀可通过二分法求得；γ₁,…,γ_N根据初值γ₀按(8)的要求设计；相对运动状态向量X在集合(11)中$L_h=\{X:|\left|B_k^{T}P\left({\gamma }_h\right)X\right||\le 1\},k\in I\left[\mathrm{1,3}\right]---\left(11\right)$当使用所设计的增益调度控制器U＝‑B^TP(γ)X时，执行器不会发生饱和；根据公式(9)，对于有$\begin{array}{c}\left|\right|B_k^{T}P\left({\gamma }_h\right)X|{|}^2\le |\left|B_k^T{P}^{\frac{1}{2}}\left({\gamma }_h\right){\left|\right|}^2\right||P^{\frac{1}{2}}\left({\gamma }_h\right){X\left|\right|}^2\\ =B_k^{T}P\left({\gamma }_h\right)B_k{X}^{T}P\left({\gamma }_h\right)X\\ \le \rho \left({\gamma }_h\right)X^{T}P\left({\gamma }_h\right)X\\ =1\end{array}---\left(12\right)$其中k∈I[1,3]，则由(9)，(11)和(12)，可知$E\left(P_{{\gamma }_h}\right)\subseteq L_h---\left(13\right)$对于执行器不会发生饱和，从而可简化为即$X\in \left(P_{{\gamma }_h}\right)\Rightarrow \mathrm{sat}\left(B^{T}P\left({\gamma }_h\right)X\right)=B^{T}P\left({\gamma }_h\right)X---\left(14\right);$步骤2.3：设计离散增益调度控制器令P(γ)是代数参量Riccati方程(7)的唯一对称正定解，且η_h是非负实数；设计如下增益调度控制器$U=\left\{\begin{array}{c}{U}_N=-(1+{\eta }_N)B^{T}P\left({\gamma }_N\right)X,X\in E\left(P_{{\gamma }_N}\right),\\ U_{N-1}=-(1+{\eta }_{N-1})B^{T}P\left({\gamma }_{N-1}\right)X,X\in E\left(P_{{\gamma }_{N-1}}\right)/E\left(P_{{\gamma }_N}\right),\\ ·\\ ·\\ ·\\ U_0=-(1+{\eta }_0)B^{T}P\left({\gamma }_0\right)X,X\in E\left(P_{{\gamma }_0}\right)/\left(P_{{\gamma }_1}\right),\end{array}\right.---\left(15\right)$式(15)用于完成航天器轨道交会，且椭球集合包含在闭环系统的吸引域中；增益调度控制器U＝U_i‑1的工作时间不超过T_i‑1秒，其中$T_{i-1}\le \frac{1}{{\gamma }_{i-1}}\ln \left(\frac{\rho \left({\gamma }_i\right)}{\rho \left({\gamma }_{i-1}\right)}{\lambda }_{\max }\right\{P\left({\gamma }_i\right)P^{-1}\left({\gamma }_{i-1}\right)\left\}\right)---\left(16\right)$步骤3：在初始相对运动状态向量为X(0)时，增益调度控制器(15)开始工作于航天器轨道交会系统，按照U₀→U₁→…→U_N‑1→U_N的顺序依次作用于式(6)，相对运动状态向量X由最外部的椭球依次进入到内部的椭球，最后进入到最内部的椭球，并最终收敛到平衡点。