铣削过程稳定域判定方法

摘要

本发明公开了一种铣削过程稳定域判定方法，特别是含多个延时量的铣削过程中稳定切削区域判定方法。该方法先将铣刀沿轴向等距分成若干单元；第二，将一个刀具旋转周期分成若干时间段；第三，针对每一个刀齿单元，根据其所在铣削瞬态对应的延时量建立当前时间段和前一时间段的显式表达式；第四，根据第三步建立能反映每一个延时量和每一个时间段影响的转换矩阵；最后，根据Floquet理论，求解第四步得到的转换矩阵的特征值，若所有特征值的模均小于1，则该铣削系统是渐近稳定的。本发明是多延时铣削系统的通用判定方法，既适用于出现刀具偏心的多延时铣削过程也适用于不等距铣刀的铣削过程，克服了现有技术需对单个铣削系统分别进行数学推导的不足。

主权项

1、一种铣削过程稳定域判定方法，其特征在于包括下述步骤：(a)设定铣刀的半径R、螺旋角β、刀齿数N，并将刀具安装到机床主轴后，采用标准冲击试验法测定机床主轴的模态参数，将测试得到的模态参数记为：ξ_q，ω_q，m_q；q＝X，Y；ξ_q表示阻尼系数；ω_q表示系统自然频率；m_q表示系统有效模态质量；(b)设定基本切削参数：单齿进给量f和径向切削深度Rr；并将铣刀沿轴向等距分为有限个单元，分析确定铣削系统可能出现的延时量的大小和个数，将可能出现的延时量的大小分别用τ₁，τ₂，…，τ_M表示，其中τ₁＜τ₂＜…＜τ_M。M表示延时量的个数，铣削系统的动力控制方程表示为：$\stackrel{··}{X}\left(t\right)+C\stackrel{·}{X}\left(t\right)+\mathrm{KX}\left(t\right)=\underset{l=1}{\overset{M}{\Sigma }}\left[H_l\left(t\right)(X(t-{\tau }_l)-X\left(t\right))\right]---\left(1\right)$其中：$C=\left[\begin{array}{cc}2{\xi }_x{\omega }_x& 0\\ 0& 2{{\xi }_y\omega }_y\end{array}\right]$$K=\left[\begin{array}{cc}{{\omega }_x}^2& 0\\ 0& {{\omega }_y}^2\end{array}\right]$$H_l\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}{H}_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)\\ H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)\end{array}\right]$$H_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)=\frac{1}{m_x}\underset{i,s}{\Sigma }\left[z_{l,i,s}g\left({\theta }_{l,i,s}\left(t\right)\right)\sin {\theta }_{l,i,s}\left(t\right)(K_t\cos {\theta }_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\sin {\theta }_{l,i,s}\left(t\right))\right]$$H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)=\frac{1}{m_x}\underset{i,s}{\Sigma }\left[z_{l,i,s}g\left({\theta }_{l,i,s}\left(t\right)\right)\cos {\theta }_{l,i,s}\left(t\right)(K_t\cos {\theta }_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\sin {\theta }_{l,i,s}\left(t\right))\right]$$H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)=\frac{1}{m_y}\underset{i,s}{\Sigma }\left[z_{l,i,s}g\left({\theta }_{l,i,s}\left(t\right)\right)\sin {\theta }_{l,i,s}\left(t\right)(-K_t\sin {\theta }_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\cos {\theta }_{l,i,s}\left(t\right))\right]$$H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)=\frac{1}{m_y}\underset{i,s}{\Sigma }\left[z_{l,i,s}g\left({\theta }_{l,i,s}\left(t\right)\right)\cos {\theta }_{l,i,s}\left(t\right)(-K_t\sin {\theta }_{l,i,s}\left(t\right)+K_r\cos {\theta }_{l,i,s}\left(t\right))\right]$z_l，i，s和θ_l，i，s(t)表示第i个刀齿上第s个单元所对应的轴向长度和切削角度；下标l表示在时间t与第i个刀齿上第s个单元对应的延时量为τ_l；g(θ_l，i，s(t))表示窗口函数，当第i个刀齿上第s个单元参与切削时其值为1；否则，其值为0；K_t和K_r表示切向和径向切削力系数；(c)使用Cauchy转换，将(1)式改写为：$\begin{array}{ccc}\stackrel{·}{U}\left(t\right)=A\left(t\right)U\left(t\right)+\underset{l=1}{\overset{M}{\Sigma }}{B}_l\left(t\right)U(t-{\tau }_l),& A\left(t\right)=A(t+T)& B_l\left(t\right)=B_l(t+T)\end{array},---\left(2\right)$其中：T表示刀具旋转周期；$A\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -{{\omega }_x}^2-\underset{l=1}{\overset{M}{\Sigma }}{H}_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& -\underset{l=1}{\overset{M}{\Sigma }}{H}_{l,\mathrm{xu}}\left(t\right)& -2{\xi }_x{\omega }_x& 0\\ -\underset{l=1}{\overset{M}{\Sigma }}{H}_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& -{{\omega }_y}^2-\underset{l=1}{\overset{M}{\Sigma }}{H}_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)& 0& -2{\xi }_y{\omega }_y\end{array}\right]$$B_l\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ H_{l,\mathrm{xx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{xy}}\left(t\right)& 0& 0\\ H_{l,\mathrm{yx}}\left(t\right)& H_{l,\mathrm{yy}}\left(t\right)& 0& 0\end{array}\right]$$U\left(t\right)={[x\left(t\right),y\left(t\right),\stackrel{·}{x}\left(t\right),\stackrel{·}{y}\left(t\right)]}^T;$(d)将刀具旋转周期T分为k个有限个等距时间段，第j个时间段记为[t_j，t_j+1]，t_j表示第j个时间节点；时间段[t_j，t_j+1]的长度用$\mathrm{\Delta t}=\frac{T}{k}$计算；则延时量τ_l包含时间段的个数是：$m_l=\mathrm{int}\left(\frac{{\tau }_l+0.5\mathrm{\Delta t}}{\mathrm{\Delta t}}\right)$int(*)表示趋向于0的取整函数，m_M＝k；(e)在时间段[t_j，t_j+1]内，(2)式近似为$\stackrel{·}{U}\left(t\right)=A_{j}U\left(t\right)+\underset{l=1}{\overset{M}{\Sigma }}{B}_{l,j}{U}_{{\tau }_l,j}---\left(3\right)$其中$A_j=\frac{1}{\mathrm{\Delta t}}{\int }_{t_j}^{t_{j+1}}A\left(t\right)\mathrm{dt}$$B_{l,j}=\frac{1}{\mathrm{\Delta t}}{\int }_{t_j}^{t_{j+1}}{B}_l\left(t\right)\mathrm{dt}$$U_{{\tau }_l,j}=U(t-{\tau }_l)$$\approx U(t_j+\mathrm{\Delta t}/2-{\tau }_l)$$\approx w_{l,b}{U}_{j-m_l}+w_{l,a}{U}_{j-m_l+1}$符号表示w_l，b和w_l，a是将U(t-τ_l)与时间段两个节点相关联的权重因子；(g)假设U(t_j)＝U_j，(2)式的解为：$U\left(t\right)=e^{A_j(t-t_j)}[U_j+\underset{l=1}{\overset{M}{\Sigma }}{A_j}^{-1}{B}_{l,j}{U}_{{\tau }_l,j}]-\underset{l=1}{\overset{M}{\Sigma }}{A_j}^{-1}{B}_{l,j}{U}_{{\tau }_l,j}]---\left(4\right)$(h)假设t＝t_j+1，将(3)得到的$U_{{\tau }_l,j}\approx w_{l,b}{U}_{j-m_l}+w_{l,a}{U}_{j-m_l+1}$代入(4)式，得：$U_{j+1}=Q_j{U}_j+\underset{l=1}{\overset{M}{\Sigma }}(w_{l,a}{R}_{l,j}{U}_{j-m_l+1}+w_{l,b}{R}_{l,j}{U}_{j-m_l})---\left(5\right)$其中$Q_j=e^{A_j(t-t_j)}$R_l，j＝(Q_j-I)A_j^-1B_l，jI是单位斜角矩阵；(i)将(5)式用矩阵表示：V_j+1＝Z_jV_j式中$V_j={[U_j,U_{j-1},...,U_{j-m_1},...,U_{j-m_2},...,U_{j-m_M}]}^T$(j)考虑刀具旋转周期T内的k个连续的时间段，可得：V_k＝ΨV₀                (6)其中，Ψ＝Z_k-1Z_k-2…Z₁Z₀；(k)将式(6)中的V_j用V_j代换，并将Ψ中与每一个和${\stackrel{·}{y}}_{j-d}(d=1,2,...,k)$对应的行和列去掉，最后得到的矩阵用Ψ表示；${\bar{V}}_j={[x_j,y_j,{\stackrel{·}{x}}_j,{\stackrel{·}{y}}_j,x_{j-1},y_{j-1},...,x_{j-m_1},y_{j-m_1},...,x_{j-m_2}{y}_{j-m_2},...,x_{j-m_M}{y}_{j-m_M}]}^T$当矩阵Ψ的所有特征值的模均小于1时，系统是渐进稳定的。