基于协方差矩阵重构稳健Capon波束形成的算法

摘要

本发明属于信号处理领域，针对阵列导向矢量存在估计误差或数据协方差矩阵估计不准确使得常规Capon波束形成算法性能显著下降的问题，本发明提出一种改进的Capon波束形成算法。在基于线性收缩估计对接收数据协方差矩阵进行重构的基础上，通过更新信号加干扰子空间，而后将失配导向矢量投影至所更新子空间，从而求得优化接收权。此算法在期望信号真实来波方向和假定来波方向处均保持了较高的增益，避免了信号相消现象，并且比其他算法更能准确地指向期望信号的真实方向，该算法对由信号波达方向观测误差引起的导向矢量失配有着较好的稳健性。

主权项

基于协方差矩阵重构的稳健Capon波束形成的算法，其特征在于，包括如下步骤：一、系统建模：阵列信号的模型描述为：p个远场窄带信源信号：包含1个期望信号，p‑1个干扰信号，入射到阵元数为M(p＜M)、阵元间距为半波长的均匀线阵上，其中：期望信号与干扰信号为两两互不相关的窄带信号，各阵元噪声为平稳高斯白噪声，经过采样，第k次快拍的接收数据可表示为：$x\left(k\right)=a\left({\theta }_0\right)s_0\left(k\right)+\underset{i=1}{\overset{p-1}{\Sigma }}a\left({\theta }_i\right)s_i\left(k\right)+n\left(k\right),k=1,2,...,L---\left(1\right)$式中：a(θ₀)和a(θ_i)，i＝1,2,...,p‑1分别表示期望信号与干扰信号的导向矢量，s₀(k)和s_i(k)，i＝1,2,...,p‑1分别表示期望信号与干扰信号的包络，θ₀和θ_i，i＝1,2,...,p‑1分别表示期望信号与干扰信号的波达方向角，n(k)为加性噪声，L为快拍数；当期望信号和噪声、干扰信号互不相关的时候，接收数据协方差矩阵表示为：$\begin{array}{c}R=E\left[x\left(k\right)x{\left(k\right)}^H\right]\\ ={\sigma }_0^{2}a\left({\theta }_0\right)a^H\left({\theta }_0\right)+\underset{i=1}{\overset{p-1}{\Sigma }}{\sigma }_i^{2}a\left({\theta }_i\right)a^H\left({\theta }_i\right)+R_n\\ =R_s+R_i+R_n\end{array}---\left(2\right)$式中：为期望信号和干扰信号的功率，R_s、R_i、R_n分别表示期望信号、干扰信号、噪声的协方差矩阵，实际中，接收数据协方差矩阵是通过有限次的快拍数据估计得到，即：$\hat{R}=\frac{1}{L}\underset{k=1}{\overset{L}{\Sigma }}x\left(k\right)x^H\left(k\right)---\left(3\right)$常规Capon波束形成器又称最小方差无失真响应(minimum variance distortionless response,MVDR)，是一种常用的自适应波束形成器，它保证波束形成器对期望信号的响应为常数的情况下，使阵列输出噪声方差最小化，即$\begin{array}{cc}\underset{w}{\min }& w^H{R}_{i+n}w\\ s.t.& w^{H}a\left({\theta }_0\right)=1\end{array}---\left(4\right)$式中，R_i+n＝R_i+R_n表示M×M维干扰加噪声协方差矩阵，通过拉格朗日乘子法得到该问题的最优解为：$w_{opt}=\frac{R_{i+n}^{-1}a\left({\theta }_0\right)}{a^H\left({\theta }_0\right)R_{i+n}^{-1}a\left({\theta }_0\right)}---\left(5\right)$当阵列接收数据中仅含有干扰信号和噪声时，R_i+n可以通过估计接收数据来获得，这种情况常用于雷达系统中，然而，期望信号往往与干扰信号、噪声一起包含于接收数据中，R_i+n难以得到，在实际中常用接收数据采样协方差矩阵代替，由于采样快拍数据的限制，与R往往有一定的失配误差，而期望信号导向矢量的估计误差也使得其真实值a(θ₀)与其估计值之间产生一定失配，这将导致Capon波束形成算法的性能严重下降，作为Capon波束形成器的实际实现，采样矩阵求逆(sample matrix inversion,SMI)自适应波束形成器对应的权矢量为：$w_{SMI}=\frac{{\hat{R}}^{-1}\hat{a}\left({\theta }_0\right)}{{\hat{a}}^H\left({\theta }_0\right){\hat{R}}^{-1}\hat{a}\left({\theta }_0\right)}---\left(6\right)$二、改进的Capon算法设计采用一种广义线性组合对采样数据协方差矩阵进行重构，并利用特征值分解构造出信号加干扰子空间U_s，然后将假设的期望信号导向矢量投影到该子空间中，生成新的导向矢量代入式(6)得到新估计后的权值，从而提高了算法的稳健性；考虑采样数据协方差矩阵的一个线性收缩(liner shrinkage,LS)估计，用公式表示为：$\tilde{R}=\alpha I+\beta \hat{R}---\left(7\right)$其中收敛参数α和β满足α≥0,β≥0，其由最小化的均方误差来估计得到的，即由下式确定：$MSE\left(\tilde{R}\right)=E\left\{\right||\tilde{R}-R|{|}^2\}---\left(8\right)$将式(7)带入式(6)中，整理得到：$\begin{array}{c}MSE\left(\tilde{R}\right)=E\left\{\right||\tilde{R}-R|{|}^2\}\\ =E\left\{\right||\alpha I+\beta \hat{R}-R|\left|\right\}\\ ={\alpha }^{2}M-2\alpha (1-\beta )tr\left(R\right)+{(1-\beta )}^2\left|\right|R|{|}^2+{\beta }^{2}E\{\left|\right|\hat{R}-R\left|{|}^2\right\}\end{array}---\left(9\right)$上式分别对α,β求偏导，得到α,β的最优解：${\beta }_0=\frac{\gamma }{\rho +\gamma }---\left(10\right)$${\alpha }_0=v(1-{\beta }_0)=v\frac{\rho }{\rho +\gamma }---\left(11\right)$其中，$\rho =E\left\{\right||\hat{R}-R|{|}^2\}---\left(12\right)$$v=\frac{tr\left(R\right)}{M}---\left(13\right)$γ＝||νI‑R||²  (14)ρ值的估计可以通过下式得到：$\hat{\rho }=\frac{1}{N^2}\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}\left|\right|x\left(k\right)|{|}^4-\frac{1}{N}|\left|\hat{R}\right|{|}^2---\left(15\right)$将式(3)及式(15)代入到式(10)、式(11)中，得到α₀,β₀的估计值：${\hat{\beta }}_0=\frac{\hat{\gamma }}{\hat{\rho }+\hat{\gamma }}---\left(16\right)$${\hat{\alpha }}_0=\hat{v}(1-{\hat{\beta }}_0)=\hat{v}\frac{\hat{\rho }}{\hat{\rho }+\hat{\gamma }}---\left(17\right)$其中，至此，得到了重构后的接收数据协方差矩阵接下来对其进行特征值分解，可得：$\tilde{R}=\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{\lambda }_i{e}_i{e_i}^H=U_s{\Lambda }_s{U_s}^H+U_n{\Lambda }_n{U_n}^H---\left(18\right)$其中，Λ_s＝diag{λ₁,λ₂,...,λ_p},Λ_n＝diag{λ_p+1,λ_p+2,...,λ_M}；λ₁≥λ₂≥...≥λ_p+1≥...≥λ_M为数据协方差矩阵的特征值；U_s＝[e₁,e₂,...,e_p]和U_n＝[e_p+1,e_p+2,...,e_M]分别张成对应于数据协方差矩阵的信号加干扰子空间和噪声子空间；e_i为对应于特征值λ_i的特征矢量，将假设的期望信号导向矢量投影到信号加干扰子空间中，得到如下新的导向矢量：$\tilde{a}\left({\theta }_0\right)=U_s{U_s}^H\hat{a}\left({\theta }_0\right)---\left(19\right)$将和代入到式(5)中，最终得到基于数据协方差矩阵估计和导向矢量子空间投影(subspace projection,SP)联合优化的新权值w_LS‑SP：$w_{LS-SP}=\frac{{\tilde{R}}^{-1}\tilde{a}\left({\theta }_0\right)}{{\tilde{a}}^H\left({\theta }_0\right){\tilde{R}}^{-1}\tilde{a}\left({\theta }_0\right)}---\left(20\right).$