一种对复数信道矩阵的SVD分解方法

摘要

本发明公开了一种适合于硬件实现的复数信道信道矩阵SVD分解方法。在多输入多输出（MIMO）无线通信系统中，信道矩阵是复数矩阵，一种常见的预编码方法是对信道矩阵进行SVD分解。复数矩阵在求SVD分解时涉及到大量的角度运算，这在实际硬件中复杂度很高，会消耗大量的资源。本发明提出一种简化算法，使用各种三角恒等式的推导将三角函数变成了矩阵中元素实部与虚部值的函数。用少量的乘、除法和开平方的等基本运算代替了大量的求三角函数的工作。

主权项

一种对复数信道矩阵的SVD分解方法，其中，所述复数信道矩阵为2×2复数矩阵H，所述方法包括以下步骤：(1)对2×2复数矩阵H进行一次双边酉变换，把矩阵的第二行变为实数，得到矩阵V₁；$H=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{Ae}}^{{\mathrm{i\theta }}_a}& {\mathrm{Be}}^{{\mathrm{i\theta }}_b}\\ {\mathrm{Ce}}^{{\mathrm{i\theta }}_c}& {\mathrm{De}}^{{\mathrm{i\theta }}_d}\end{array}\right]$其中：$\begin{array}{cc}{\theta }_{\alpha }=-\frac{{\theta }_d+{\theta }_c}{2}& {\theta }_{\beta }=-\frac{{\theta }_d-{\theta }_c}{2}\end{array}$θ_a'＝θ_a‑θ_c     θ_b'＝θ_b‑θ_d；(2)对步骤(1)的结果进行一次双边Jacobi旋转，将元素C消去，得到矩阵V₂和R：其中θ_φ＝0 即${\theta }_{\psi }=\arctan \left(\frac{C}{D}\right),(\frac{\pi }{2}\le {\theta }_{\psi }\le \frac{\pi }{2});$(3)再次对步骤(2)的结果使用双边酉变换，把矩阵的第一行变为实数，得到两个幅角，.从而得到矩阵V₃；其中$\begin{array}{cc}{\theta }_{\xi }=-\frac{{\theta }_w+{\theta }_x}{2}& {\theta }_{\eta }=\frac{{\theta }_w-{\theta }_x}{2}\end{array};$(4)再做一次双边Jacobi旋转，实现最终的对角化；其中$\begin{array}{cc}tan({\theta }_{\lambda }+{\theta }_{\rho })=\frac{X}{Z-W}& tan({\theta }_{\lambda }-{\theta }_{\rho })=\frac{X}{Z+W}\end{array}$计算矩阵Ｖ_４时，通过步骤(2)中的矩阵直接通过三角恒等变换求出和具体过程如下：令则Z＝R_2,2${\lambda }_1=\frac{Z-W}{X}=\cot \alpha ,(-\frac{\pi }{2}\le \alpha \le \frac{\pi }{2})$$x_1=\sqrt{1+{\lambda }_1^2}=\sqrt{1+{\cot }^2\alpha }=\frac{1}{\left|sin\alpha \right|}$$y_1=\frac{1}{\left|{\tau }_1\right|+x_1}=\frac{1}{|\frac{cos\alpha }{sin\alpha }+\frac{1}{sin\alpha }|}=\frac{\left|sin\alpha \right|}{cos\alpha +1}$$\begin{array}{c}{c}_1=\frac{1}{\sqrt{1+y_1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{(\cos \alpha +1)}^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{{(cos\alpha +1)}^2+{\sin }^2\alpha }{{(cos\alpha +1)}^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{2(cos\alpha +1)}{{(\cos \alpha +1)}^2}}}\\ =\sqrt{\frac{\cos \alpha +1}{2}}=\sqrt{\frac{\left(2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-1\right)+1}{2}}=\left|\cos \frac{\alpha }{2}\right|=\cos \frac{\alpha }{2},\left(-\frac{\pi }{4}\le \frac{\alpha }{2}\le \frac{\pi }{4}\right)\end{array}$$s_1=y_1·c_1=\frac{\left|sin\alpha \right|}{cos\alpha +1}·cos\frac{\alpha }{2}=\frac{2\left|sin\frac{\alpha }{2}\right|{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{(2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-1)+1}=\left|sin\frac{\alpha }{2}\right|$若λ₁＜0，s₁＝‑s₁，即同理也可以求得${\mathrm{cos\theta }}_{\rho }=cos(\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta }{2})=cos\frac{\alpha }{2}cos\frac{\beta }{2}+sin\frac{\alpha }{2}sin\frac{\beta }{2}=c_1·c_2+s_1·s_2$${\mathrm{sin\theta }}_{\rho }=sin(\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta }{2})=sin\frac{\alpha }{2}cos\frac{\beta }{2}-cos\frac{\alpha }{2}sin\frac{\beta }{2}=s_1·c_2-c_1·s_2$即最终U^H＝U₄·U₃·U₂·U₁V＝V₁·V₂·V₃·V₄即$U^{H}HV=\Sigma =\left[\begin{array}{cc}P& 0\\ 0& Q\end{array}\right].$