基于数据驱动的时滞系统PID控制器镇定方法

摘要

一种基于数据驱动的时滞系统PID控制器镇定方法。首先利用多频率点的继电辨识，给出被控时滞对象的输入输出频域响应数据，并提取出特性参数；然后，由PID镇定的必要条件得到PID控制器中比例增益k_p的最大可允许稳定范围；对于固定的k_p取值，得到能使闭环系统稳定的充要条件，从而确定能使闭环系统稳定的关于PID控制器中微分增益k_d和积分增益k_i的二维参数域，该二维稳定域具有凸多边形特性；通过遍历k_p的最大可允许稳定范围，并对每个k_p的遍历点，确定(k_d,k_i)的二维稳定域，从而获得PID控制器的稳定集。只要在所得到的PID控制器稳定集中选取控制参数，均能保证闭环系统的稳定性。该方法在不需要获得时滞对象的传递函数或状态空间模型的情况下，基于频率响应数据给出了一种PID控制器镇定方法，避免了模式辨识的复杂计算过程，为无模型时滞系统的PID控制器设计提供了一条简单有效的途径。

主权项

一种用于造纸生产控制系统中的基于数据驱动的时滞系统PID控制器镇定方法，其特征在于所述控制方法包括以下步骤：(1)给被控对象一个阶跃输入信号u，对控制系统输出进行滤波，测量其输出端开始出现响应信号y的时间，该时间为被控对象的时滞，用θ表示；(2)建立包括被控时滞对象G(s)、PID控制器C(s)和转换开关的继电反馈系统，C(s)的形式为：$C\left(s\right)=k_p+\frac{k_i}{s}+k_{d}s---\left(1\right)$其中，k_p、k_i和k_d分别为控制器的比例、积分和微分增益；将继电反馈系统中的开关拨至继电器输入端；(3)由继电反馈下的输入和输出数据，利用继电反馈辨识，获得被控对象的多点频率响应数据，并根据频率响应数据绘制被控对象的Bode图和Nyquist图；下面分别考虑被控对象为稳定系统和不稳定系统两种情况：(a)稳定的被控时滞对象把被控过程在继电反馈下的响应分为稳态部分和暂态部分：u(t)＝Δu(t)+u_s(t)，y(t)＝Δy(t)+y_s(t)       (2)其中，u(t)和y(t)分别为输入和输出响应，u_s(t)和y_s(t)分别为输入和输出响应的稳态部分，Δu(t)和Δy(t)分别为输入和输出响应的暂态部分；设系统在t＝T_f时达到稳态的周期振荡，达到振荡后的振荡周期为T_c，则被控对象的频率响应数据为：$G\left({\mathrm{j\omega }}_l\right)=\frac{T\underset{k=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\Delta y\left(kT\right)e^{-{\mathrm{j\omega }}_{l}kT}+\frac{T}{1-e^{-{\mathrm{j\omega }}_l{T}_c}}\underset{k=0}{\overset{N_c}{\Sigma }}{y}_s\left(kT\right)e^{-{\mathrm{j\omega }}_{l}kT}}{T\underset{k=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\Delta u\left(kT\right)e^{-{\mathrm{j\omega }}_{l}kT}+\frac{T}{1-e^{-{\mathrm{j\omega }}_l{T}_c}}\underset{k=0}{\overset{N_c}{\Sigma }}{u}_s\left(kT\right)e^{-{\mathrm{j\omega }}_{l}kT}}---\left(3\right)$其中，T是采样周期，Δy(kT)和y_s(kT)分别是Δy(t)和y_s(t)在t＝KT时刻的采样值，Δu(kT)和u_s(kT)分别是Δu(t)和u_s(t)在t＝KT时刻的采样值，N和N_c是分别满足等式(N‑1)T＝T_f和N_c＝(T_c‑T)/T的正整数，k＝0,1,2,…,N‑1，ω_l＝2πl/(NT)；被控对象G(s)的频域响应在频域控制理论中可被描述为G(jω)＝G_r(ω)+jG_i(ω)      (4)其中，G_r(ω)和G_i(ω)分别为被控对象的频域响应数据的实部和虚部，从而可绘出被控对象的Bode图和Nyquist图；(b)不稳定的被控时滞对象如果被控对象G(s)是不稳定的，将首先通过手动调节给出一个能使G(s)稳定的PID控制器C₀(s)，接着根据稳定的被控对象的频率响应数据的获取方法，给出由控制器C₀(s)和被控对象G(s)组成的闭环系统的频率响应数据T(jω_l)，最后由下式给出被控时滞对象G(s)的频率响应数据$G\left({\mathrm{j\omega }}_l\right)=\frac{T\left({\mathrm{j\omega }}_1\right)}{C_0\left({\mathrm{j\omega }}_l\right)(1-T({\mathrm{j\omega }}_l\left)\right)}---\left(5\right)$并由频率响应数据绘出被控对象的Bode图和Nyquist图；(4)基于步骤(3)中所获得的Bode图和Nyquist图，计算确定PID控制器稳定域所必需的特性参数；将G(s)写成如下的形式$G\left(s\right)=\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)}{e}^{-\theta s}---\left(6\right)$其中，N(s)和D(s)是关于s的多项式，θ表示时滞；令n和m分别为式(6)中D(s)和N(s)的最高阶次，r(N)、l(N)和j(N)分别为G(s)在右半平面、左半平面和虚轴上的零点，r(D)、l(D)和j(D)分别为G(s)在右半平面、左半平面和虚轴上的极点；由Bode图和Nyquist图给出确定PID稳定域所需的被控对象的特性参数值n‑m，r(N)，r(D)，j(N)和j(D)：(a)根据下式确定n‑m的值$n-m=-\frac{1}{20}·\frac{{\mathrm{dP}}_{db}\left(\omega \right)}{d\left({\log }_{10}\omega \right)}{|}_{\omega \to \infty }---\left(7\right)$其中，P_db(ω)＝20log₁₀|G(jω)|，dP_db(ω)/d(log₁₀ω)表示函数P_db(ω)关于log₁₀ω的一阶导数；(b)计算j(N)和j(D)的值若Bode图中的幅值曲线有突变，则必存在虚轴零点或极点，若是上升突变，则为虚轴极点，若为下降突变，则为虚轴零点；令突变点的个数为V，所对应的ω值为ω_v，其中v＝1,2,…,V；接着，绘制的幅值曲线图，其中，u_v＝1,2,…，直至幅值曲线图上的突变情况消失；假定突变情况消失时，u_v＝U_v；对于上升突变的情况，则虚轴极点的个数$j\left(D\right)=\underset{v=1}{\overset{V}{\Sigma }}2U_v---\left(8\right)$利用上述计算上升突变情况下的虚轴极点个数的方法，可得到下降突变时的虚轴零点个数j(N)；(c)计算r(D)和r(N)的值(i)稳定的被控时滞对象由于被控对象是稳定的，因此r(D)＝0；令L^*＝4，由下式计算r(N)：$r\left(N\right)=\mathrm{int}(-\frac{1}{\pi }{\Delta }_0^{2L^{*}\pi /\theta }\angle G(j\omega )+\frac{1}{2}(m-n)+r\left(D\right)-\frac{1}{2}[j\left(N\right)-j\left(D\right)]-2L^{*})---\left(9\right)$其中，int(□)为取整函数，为ω由0变化到2L^*π/θ的相位差；(ii)不稳定的被控时滞对象令能使闭环系统稳定的控制器C₀(s)的传递函数的分子和分母多项式分别为N_C(s)和D_C(s)，n_c为多项式D_C(s)的最高阶次，l(N_C)和r(N_C)分别为N_C(s)的左半平面零点个数和右半平面零点个数，η为区间[0,π/4]内的实数，包含控制器C₀(s)和被控对象G(s)的闭环传递函数T(s)为$T\left(s\right)=\frac{N_C\left(s\right)N\left(s\right)}{e^{\theta s}{D}_C\left(s\right)D\left(s\right)+N_C\left(s\right)N\left(s\right)}---\left(10\right)$根据T(jω)的Bode图和Nyquist图可计算出T(jω)在ω由(‑2L^*π+η)/θ变化到(2L^*π+η)/θ的相位差从而利用下式获取r(N)的值${\Delta }_{(-2L^{*}\pi +\eta )/\theta }^{(2L^{*}\pi +\eta )/\theta }\angle T\left(j\omega \right)=-(n-m)-[j\left(N\right)+2r\left(N\right)]-[n_c-l\left(N_C\right)+r\left(N_C\right)]-4L^{*}---\left(11\right)$由G(jω)的Bode图和Nyquist图可计算出进而根据式(9)获取r(D)的值；(5)令z＝θω，由频域响应数据G_r(ω)和G_i(ω)获得G_r(z)，G_i(z)和其中，G_r(z)和G_i(z)分别为G(jz/θ)的实部和虚部；(6)将继电反馈控制系统的开关拨至控制器输入端；(7)选取正整数l^*＝4和在区间[0,π/4]内的η值，根据下述条件确定能使闭环系统稳定的k_p的最大可允许稳定范围：其中，W为函数f₁＝k_p和在(0,2l^*π+η)间的交点个数；(8)令k_p的最大可允许稳定范围为[k_pmin,k_pmax]，将k_p值在该范围内进行等间隔的遍历，即每个遍历点为其中F为遍历点之间的间隔，w＝0,1,…，F；(9)对于其中一个遍历点根据以下步骤确定能够保证闭环系统稳定的(k_d,k_i)二维稳定域：(a)根据系统的闭环特征函数得到$\bar{Q}\left(s\right)=\frac{1}{D\left(s\right)D(-s)}[{\mathrm{se}}^{\theta s}D\left(s\right)N(-s)+(k_i+k_{p}s+k_d{s}^2)N\left(s\right)N(-s)]---\left(13\right)$令s＝jz/θ，可得到的实部和分别为${\bar{Q}}_r(z,k_i,k_d)=\frac{z}{\theta }{G}_i\left(z\right)+(k_i-k_d\frac{z^2}{{\theta }^2})[G_r^2\left(z\right)+G_i^2\left(z\right)]---\left(14\right)$${\bar{Q}}_i(z,k_p)=\frac{z}{\theta }\{G_r\left(z\right)+k_p[G_r^2\left(z\right)+G_i^2\left(z\right)\left]\right\}---\left(15\right)$确定在区间[0,2l^*π+η)的实根，按从小到大的顺序表示为z₀,z₁,z₂,…,z_d‑1，其中，z₀＝0，d为在区间[0,2l^*π+η)的实数个数；(b)令I＝{i₀,i₁,…,i_d‑1}，根据下述稳定性的充分必要条件确定I：γ(I)＝4l^*+(n‑m)+j(N)+2r(N)     (16)其中，ε是一足够小的正实数，t＝0,1,2,…d‑1时所对应的i_t需满足下述条件之一：(i)若被控对象在虚轴上有零点z_t/θ，则i_t＝0；(ii)若被控对象在原点处有零点，则其中，表示函数关于z的一阶导数；(iii)对其它的t＝0,1,2,…d‑1，i_t＝1或‑1；(c)对于遍历点(k_d,k_i)二维稳定域由下式决定:$[k_i-k_d\frac{{z_t}^2}{{\theta }^2}+\frac{z_t}{\theta }\frac{G_i\left(z_t\right)}{G_r^2\left(z_t\right)+G_i^2\left(z_t\right)}]i_t>0---\left(17\right)$其中，z_t为在区间[0,2l^*π+η)的实根，t＝0,1,2,…d‑1；通过求取所有z_t所对应的由(17)所决定的不等式组的交集，即可确定具有凸多边形特性的(k_d,k_i)二维稳定域；(10)对于步骤(8)中所给出的k_p的每个遍历点，都重复步骤(9)，确定能使闭环系统稳定的所有PID控制器集合；(11)在所获得的PID控制器稳定集合中选取控制参数，执行被控对象的PID镇定控制：首先对控制系统输出采样滤波，经模拟量输入通道传输信号，并将信号接入检测变送装置，再经A/D转换后得到数字量输入信号与此时的系统设定值比较后得到不同时刻的跟踪误差，基于跟踪误差，按照离散域PID控制算式计算控制信号增量Δu(n)的值，与前一时刻的控制信号u(n‑1)通过加法器进行加法运算就得到当前时刻的输出控制信号u(n)，其中，n为当前时刻的采样步数；Δu(n)计算公式如下：Δu(n)＝b₁e(n)+b₂e(n‑1)+b₃e(n‑2)       (18)其中，b₁＝(k_pR+k_d+R²k_i)/R，b₂＝‑(k_pR+2k_d)/R，b₃＝k_d/R，R为系统采样周期，Δu(n)为当前采样步数为n时控制器输出信号增量，e(n)为当前采样步数为n时的跟踪误差，e(n‑1)为采样步数为n‑1时的跟踪误差，e(n‑2)为采样步数为n‑2时的跟踪误差；输出控制信号u(n)由D/A转换后输出至执行器，由执行器作用到被控对象，使被控对象运行在稳定状态，从而实现被控对象的PID镇定控制。