基于平均驻留时间的网络控制系统动态切换控制方法

摘要

基于平均驻留时间的网络控制系统动态切换控制方法，基于平均驻留时间方法将不确定随机变化的时延和丢包对网络控制系统动态性能的影响转化为一类离散切换事件，建立容许包含不稳定子系统的网络控制系统的离散化切换控制模型；采用改进的主动变采样的混合节点驱动机制保证网络诱导时延总是小于一个采样周期的同时保证在当前的采样周期中新的控制量可以作用到被控对象上；基于多Lyapunov函数方法给出了便于求解模态依赖切换控制器存在的充分条件，并采用最优循环算法给出了满足允许平均驻留时间的无限定子系统切换顺序的切换控制器的设计方法，保证通信受限和信息不完整情况下网络控制系统的稳定性。

主权项

基于平均驻留时间的网络控制系统动态切换控制方法，包括以下步骤：步骤一、基于闭环网络控制系统中网络诱导时延和丢包的不确定时变特性，采用主动变采样的传感器节点混合驱动机制，保证网络诱导时延总是小于一个采样周期的同时保证在当前的采样周期中新的控制量可以作用到被控对象上；步骤二、基于步骤一的主动变采样的时间和事件混合节点驱动机制，建立网络控制系统的切换控制模型：设h_k为第k个采样周期的时间长度，则基于上述的改进主动变采样技术可以得到被控对象离散化后的状态方程为：$x\left(i_{k+1}\right)={\Phi }_{k}x\left(i_k\right)+{\Gamma }_0({\tau }_k,h_k)u\left(i_k\right)+{\Gamma }_1({\tau }_k,h_k)u\left(i_{k-1}\right)---\left(4\right)$其中${\Phi }_k=e^{{\mathrm{Ah}}_k},{\Gamma }_0({\tau }_k,h_k)={\int }_0^{h_k-{\tau }_k}{e}^{As}dsB,{\Gamma }_1({\tau }_k,h_k)={\int }_{h_k-{\tau }_k}^{h_k}{e}^{As}dsB---\left(5\right)$引入一个新的增广向量z(k)＝[x(i_k) u(i_k‑1)]^T，则从式(4)和式(5)可以得到下面的网络控制系统的增广闭环系统：z(k+1)＝Ψ_kz(k)   (6)其中${\Psi }_k=\left[\begin{array}{cc}{\Phi }_k+{\Gamma }_0({\tau }_k,h_k)K\left(i_k\right)& {\Gamma }_1({\tau }_k,h_k)\\ K\left(i_k\right)& 0\end{array}\right]---\left(7\right)$(1)定义d_k是两个有效采样点i_k和i_k+1之间的连续丢包数，则可以得到i_k+1‑i_k＝d_k+1。假设最大连续丢包数为d_max，则d_k的取值范围为D＝{0,1,…,d_max}。基于时间轴的栅格化离散方法，时变时延τ_k将转化成有限个离散值，取值集合微Τ＝{Δl,2×Δl,…,T_max}(Δl是上述将时间轴划分成的等间隔小时间格，而T_max＝Δl×N)；(2)h_k为第k个有效采样周期，很容易得到h_k＝τ_k+Δl+T_maxd_k，从式可以看出，系统矩阵Φ_k,Γ₀(τ_k,h_k),Γ₁(τ_k,h_k)的值由时延τ_k和连续丢包数d_k，因此，增广系统(6)可以被看做是一个包含时延和丢包信息子系统的切换系统，其中系统矩阵Ψ_k从下面的有限集中取值Ω＝{Ψ₁(τ_k＝Δl,d_k＝0),Ψ₂(τ_k＝2×Δl,d_k＝0),...,Ψ_M(τ_k＝T_max,d_k＝d_max)}，M＝N×(1+d_max).(3)进而，我们可以把增广系统(6)写成切换系统的形式：其中σ(l_k)∈Ι＝{1,2,...,M},M＝N×(1+d_max)称作切换信号，当σ(l_k)＝m，可以得到：${\hat{A}}_{\sigma \left(l_k\right)}={\hat{A}}_m=\left[\begin{array}{cc}{\Phi }_m+{\Gamma }_{m,0}{K}_m& {\Gamma }_{m,1}\\ K_m& 0\end{array}\right]---\left(9\right)$(4)通常情况下，每一次有效的采样都将触发一次子系统的切换，但是当网络状况正好一样时，如时延和丢包都是τ_k＝τ_a,d_k＝d_a，因此，从式(7)可以得到Ψ₁＝Ψ₂，这说明第二次有效采样并没有触发子系统间的切换。此时需要定义一个新变量l_k表明真正切换发生的时刻,那么系统的切换时刻点为(l₁,l₂,...,l_m,...)；步骤三、基于平均驻留时间法分析包含不稳定子系统的切换系统稳定的充分条件及切换信号的平均驻留时间所需满足的条件：首先给出平均驻留时间的定义：对于任意的l≥l₀和任意的切换信号σ(k),l₀≤k＜l,令N_σ[l₀,l)表示σ(k)在时间间隔[l₀,l)的切换次数。如果对于N₀≥0和τ_a＞0，有N_σ[l₀,l)≤N₀+(l‑l₀)/τ_a成立，则τ_a称作平均驻留时间，N₀表示颤抖界；简单起见并不失一般性，我们令N₀＝0；基于上面的分析和定义，我们可以得到下面的引理，表明网络控制系统切换控制模型(8)的稳定性充分条件和切换信号所需满足的平均驻留时间，为简单起见，用(0,1,2，...,l,...)表示时间轴上的时间点(0,Δl,2×Δl,...,l×Δl,...)；引理1：考虑切换系统(8)，并且令|α_m|＜1,m∈Ι,μ≥1为给定常数.如果存在正定函数以及Κ函数β₁,β₂,并且p(m),m∈Ι是先验可知的，则存在使得：β₁(||x(l)||)≤V_m(l)≤β₂(||x(l)||)   (10)$V_m\left(k\right)\le {\mathrm{\mu V}}_n\left(k\right),\forall \sigma \left(k\right)=m\in I,\forall \sigma (k-1)=n\in I,m\ne n---\left(12\right)$$\underset{m=1}{\overset{M}{\Pi }}{(1+{\alpha }_m)}^{p\left(m\right)}<\lambda <1---\left(13\right)$那么切换系统(8)是全局渐进稳定的，只要切换信号的平均驻留时间满足：${\tau }_a>{\tau }_a^{*}=-\frac{In\mu }{In\lambda }---\left(14\right)$其中p(m),m∈Ι是切换系统子系统m的发生率。证明：从(11)可以得到ΔV_m(l)＝V_m(l+1)‑V_m(l)≤α_mV_m(l)   (15)则$\begin{array}{c}{V}_m(l+1)\le (1+{\alpha }_m)V_m\left(l\right)\\ \le {(1+{\alpha }_m)}^2{V}_m(l-1)\\ .\\ .\\ .\\ \le {(1+{\alpha }_m)}^{l+1-l_m}{V}_m\left(l_m\right)\end{array}---\left(16\right)$进一步可得：$V_m\left(l\right)\le {(1+{\alpha }_m)}^{l-l_m}{V}_m\left(l_m\right)---\left(17\right)$再根据(12)，(17)和平均驻留时间定义中的N_σ(t₀,t)，得到:$\begin{array}{c}{V}_{\sigma \left(l\right)}\le {(1+{\alpha }_{\sigma \left(l_m\right)})}^{l-l_m}{V}_{\sigma \left(l_m\right)}\left(l_m\right)\\ \le {(1+{\alpha }_{\sigma \left(l_m\right)})}^{l-l_m}{\mathrm{\mu V}}_{\sigma \left(l_{m-1}\right)}\left(l_m\right)\\ \le \mu {(1+{\alpha }_{\sigma \left(l_m\right)})}^{l-l_m}{(1+{\alpha }_{\sigma \left(l_{m-1}\right)})}^{l_m-l_{m-1}}{V}_{\sigma \left(l_{m-1}\right)}\left(l_{m-1}\right)\\ .\\ .\\ .\\ \le {\mu }^{N_{\sigma }(0,l)}{(1+{\alpha }_{\sigma \left(l_m\right)})}^{l-l_m}{(1+{\alpha }_{\sigma \left(l_{m-1}\right)})}^{l_m-l_{m-1}}\mathrm{...}{(1+{\alpha }_{\sigma \left(0\right)})}^{l_1}{V}_{\sigma \left(0\right)}\left(0\right)\\ ={\mu }^{N_{\sigma }(0,l)}\underset{m=1}{\overset{M}{\Pi }}{(1+{\alpha }_m)}^{p\left(m\right)\times l}{V}_{\sigma \left(0\right)}\left(0\right)\\ <{\mu }^{N_{\sigma }(0,l)}{\lambda }^l{V}_{\sigma \left(0\right)}\left(0\right)\\ ={\mu }^{l/{\tau }_a}{\lambda }^l{V}_{\sigma \left(0\right)}\left(0\right)\\ ={\lambda }^{(In\mu /{\tau }_{a}In\lambda +1)\times 1}{V}_{\sigma \left(0\right)}\left(0\right)\end{array}---\left(18\right)$根据Lyapunov稳定性理论，如果平均驻留时间满足(14)，则切换系统(8)是全局渐进稳定；步骤四、基于多Lyapunov函数法给出便于求解的闭环网络控制系统切换控制模型(8)的满足平均驻留时间的模态依赖的镇定控制器存在的充分条件：采用多Lyapunov函数法，即每个子系统都有自己的Lyapunov函数，对于子系统m而言，即当σ(l_k)＝m∈Ι时，它的Lyapunov函数为:V_m(l)＝z^T(l)P_mz(l)   (19)那么从式(11)可以得到：${\mathrm{\Delta V}}_m\left(l\right)-{\alpha }_m{V}_m\left(l\right)=z^T\left(l\right)[{\hat{A}}_m^T{P}_m{\hat{A}}_m-P_m-{\alpha }_m{P}_m]z\left(l\right)---\left(20\right)$从式(12)可以得到:V_m(k)‑μV_n(k)＝z^T(k)[P_m‑μP_n]z(k)   (21)所以基于Lyapunov稳定性理论，根据引理1如果下面的条件成立：${\hat{A}}_m^T{P}_m{\hat{A}}_m-P_m-{\alpha }_m{P}_m<0---\left(22\right)$P_m‑μP_n≤0   (23)则只要切换信号的平均驻留时间满足(14)，闭环网络控制系统切换控制模型(8)全局渐进稳定,因此得到以下定理:定理1：对于给定的标量|α_m|＜1,m∈Ι,μ≥1,如果存在M个对称正定矩阵P₁,P₂,...,P_M，使得$\forall \sigma \left(k\right)=m\in I,\forall \sigma (k-1)=n\in I,m\ne n:$$\left[\begin{array}{cc}-P_m& \frac{1}{\sqrt{(1+{\alpha }_m)}}{\hat{A}}_m^T{P}_m\\ \frac{1}{\sqrt{(1+{\alpha }_m)}}{P}_m{\hat{A}}_m& -P_m\end{array}\right]<0,\forall m\in I---\left(24\right)$$\underset{m=1}{\overset{M}{\Pi }}{(1+{\alpha }_m)}^{p\left(m\right)}<\lambda <1---\left(25\right)$P_m≤μP_n   (26)那么对于切换信号的平均驻留时间满足(14)的情况下，闭环网络控制系统切换控制模型(8)全局渐进稳定，并且对于子系统m而言，其能量衰减或上升率为步骤五、设计便于求解的切换信号满足平均驻留时间(14)的闭环网络控制系统切换控制模型(8)的模态依赖镇定控制器，实现通信受限和信息不完整情况下网络控制系统的镇定控制；为了求解控制器增益，首先定义下面的矩阵：$\begin{array}{c}{\tilde{A}}_m=\left[\begin{array}{cc}{\Phi }_m& {\Gamma }_{m,1}\\ 0& 0\end{array}\right],{\tilde{B}}_m=\left[\begin{array}{c}{\Gamma }_{m,0}\\ I\end{array}\right],\\ {\tilde{K}}_m=\left[\begin{array}{cc}{K}_m& 0\end{array}\right],\sigma \left(k\right)=m,m\in I\end{array}---\left(27\right)$则闭环网络控制系统切换控制模型可以写成下面的形式：$z(k+1)=({\tilde{A}}_m+{\tilde{B}}_m{\tilde{K}}_m)z\left(k\right)---\left(28\right)$那么可以用下面的定理给出求解状态反馈模态依赖镇定控制器增益的线性矩阵不等式，具体如下：定理2：对于给定的标量|α_m|＜1,m∈Ι,μ≥1,如果分别存在M个对称正定矩阵G_m,V_m,m∈Ι,以及M个矩阵R_m,m∈Ι，使得$\forall \sigma \left(k\right)=m\in I,\forall \sigma (k-1)=n\in I,m\ne n:$$\left[\begin{array}{cccc}-G_m& 0& \frac{1}{\sqrt{(1+{\alpha }_m)}}{G}_m^T{\Phi }_m^T+R_m^T{\Gamma }_{m,0}^T& \frac{1}{\sqrt{(1+{\alpha }_m)}}{R}_m^T\\ *& -V_m& \frac{1}{\sqrt{(1+{\alpha }_m)}}{V}_m^T{\Gamma }_{m,1}^T& 0\\ *& *& -G_m& 0\\ *& *& *& -V_m\end{array}\right]<0,\forall m\in I---\left(29\right)$$\underset{m=1}{\overset{M}{\Pi }}{(1+{\alpha }_m)}^{p\left(m\right)}<\lambda <1---\left(30\right)$G_m‑μG_n≤0   (31)V_m‑μV_n≤0   (32)那么对于切换信号的平均驻留时间满足(14)的情况下，闭环网络控制系统切换控制模型(8)全局渐进稳定，并且得到的模态依赖反馈控制器的增益为：K_m＝R_mG_m^‑1,m∈Ι   (33)步骤六、子系统能量衰减率取值范围的确定：切换系统(8)既可能包含稳定的子系统，也可能包含不稳定的子系统，因此，一方面为了保证整个系统的稳定性，稳定子系统的衰减率要大到一定程度才能削减在不稳定子系统中增加的能量；另一方面，稳定子系统的衰减率也不能太大，因为系统衰减率的增大意味着需要要求很高的控制器镇定，这将会给控制器增益的求解带来困难。那么定理1中提到的子系统能量衰减率的取值范围设计下面的最优化问题，采用LMI求解：Maximum εSubject to$\left[\begin{array}{cccc}-G_m& 0& {\mathrm{ϵG}}_m^T{\Phi }_m^T+{\mathrm{ϵR}}_m^T{\Gamma }_{m,0}^T& {\mathrm{ϵR}}_m^T\\ *& -V_m& {\mathrm{ϵV}}_m^T{\Gamma }_{m,1}^T& 0\\ *& *& -G_m& 0\\ *& *& *& -V_m\end{array}\right]<0,\forall m\in I$                                (34)G_m＞0,V_m＞0,G_m≤μG_n,$V_m\le {\mathrm{\mu V}}_n,\forall m,n\in I,m\ne n$ε＞1其中$ϵ=\frac{1}{\sqrt{(1+{\alpha }_m)}},m\in I.$为了用Matlab LMI工具箱求解，将上式化成下面的标准形式：Minimize ωSubject to$\left[\begin{array}{cccc}-G_m& 0& G_m^T{\Phi }_m^T+R_m^T{\Gamma }_{m,0}^T& R_m^T\\ *& -V_m& V_m^T{\Gamma }_{m,1}^T& 0\\ *& *& -M_m& 0\\ *& *& *& -N_m\end{array}\right]<0,\forall m\in I,$G_m≤μG_n,$V_m\le {\mathrm{\mu V}}_n,\forall m,n\in I,m\ne n$0＜ω＜1,   (35)G_m,V_m,M_m,N_m＞0,Y_m＜ωG_m,M_m＜ωY_mZ_m＜ωV_m,N_m＜ωZ_m步骤七、在matlab中采用LMI工具箱求解具有随机时延和丢包的网络控制系统的模态依赖反馈控制器的增益和子系统能量衰减率的边界，完成网络控制系统控制器的设计，保证在所求子系统能量衰减范围内镇定控制器的有效性。