一种考虑微凸体的弹塑性变形和空气介质热阻的接触热阻建模方法

摘要

一种考虑微凸体的弹塑性变形和空气介质热阻的接触热阻建模方法，该方法考虑了微凸体弹塑性变形和空气介质热阻对接触热阻的影响。该方法根据微凸体的弹性变形、弹塑性变形和完全塑性变形计算结合面实际接触面积和接触载荷，然后分别计算收缩热阻和空气介质热阻，两者并联计算出总接触热阻，最后使用Matlab编写计算程序得到接触热阻和载荷的关系。本发明的特点在于考虑了微凸体的弹塑性变形和空气介质热阻的影响，弹塑性变形产生的收缩热阻占总收缩热阻的15％，载荷较小时空气介质热阻影响较大，不能忽略。本发明提供的方法可为电主轴热态分析的边界条件接触热阻的计算提供理论依据。

主权项

一种考虑微凸体的弹塑性变形和空气介质热阻的接触热阻建模方法，其特征在于：1)首先用改进的M‑B模型对单个微凸体进行弹性变形、弹塑性变形和塑性变形分析，得到每个变形阶段的接触面积、接触载荷以及临界接触面积；三个变形阶段的积分和就能得到实际接触面积和接触载荷2)用截锥体接触模型来建立收缩热阻模型；考虑空气的热传导建立空气介质热阻模型，两者并联得到接触热阻模型；3)按照计算流程编写Matlab程序计算接触热阻随载荷变化曲线图；具体而言，单个微凸体的接触示意中，δ为微凸体顶端变形量，r′为微凸体接触截面积的半径，r为微凸体的接触半径，R为微凸体顶端的曲率半径；步骤(1)结合面实际接触面积和接触载荷的计算1.1弹性变形当a′＞a′_c1时，微凸体发生弹性变形，单个微凸体的实际接触面积a_ε、弹性接触载荷ΔF_ε(a′)和平均接触压力ΔP_ε(a′)可以表示为，$\left\{\begin{array}{c}{a}_e=\frac{a^{\prime }}{2}\\ {\mathrm{\Delta F}}_e\left(a^{\prime }\right)=\frac{4{\mathrm{Er}}^3}{3R}=\left[\frac{2^{(11-2D)/2}{G}^{(D-2)}{\left(ln\gamma \right)}^{1/2}E}{3{\pi }^{(4-D)/2}}\right]a^{\prime (4-D)/2}\\ {\mathrm{\Delta P}}_e\left(a^{\prime }\right)=\frac{{\mathrm{\Delta F}}_e}{a_e}=\left[\frac{2^{(13-2D)/2}{G}^{(D-2)}{\left(ln\gamma \right)}^{1/2}E}{3{\pi }^{(4-D)/2}}\right]a^{\prime (2-D)/2}\end{array}\right.---\left(1\right)$式中，E为当量弹性模量且下角标A、B分别表示相互接触的两个表面，E_A、E_B、ν_A、ν_B分别表示两个接触材料的弹性模量和泊松比；γ为大于1的常数，对于服从正态分布的随机表面，通常取γ＝1.5；G为分形粗糙度参数，反映z(x)大小的特征尺度系数，G越大则表面越粗糙；D为轮廓分形维数，定性反映表面轮廓在所有尺度上的不规则性；1.2弹塑性变形当a′_c2＜a′≤a′_c1时，微凸体发生弹塑性变形，单个微凸体的实际接触面积a_εp、弹塑性接触载荷ΔF_εp(a′)和平均接触压力ΔP_εp(a′)可以表示为$\left\{\begin{array}{c}{a}_{ep}=\frac{a^{\prime }(1+f(a^{\prime }\left)\right)}{2}\\ {\mathrm{\Delta F}}_{ep}\left(a^{\prime }\right)=\frac{a^{\prime }(1+f(a^{\prime }\left)\right)}{2}\left[kH{\left(\frac{a_{c1}^{\prime }}{a^{\prime }}\right)}^{\frac{D-2}{2}}(1+f(a^{\prime })+Hf(a^{\prime }\left)\right)\right]\\ {\mathrm{\Delta P}}_{ep}\left(a^{\prime }\right)=kH{\left(\frac{a_{c1}^{\prime }}{a^{\prime }}\right)}^{\frac{D-2}{2}}(1+f(a^{\prime }\left)\right)+Hf\left(a^{\prime }\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$式中，$f\left(a^{\prime }\right)=\frac{3}{{109}^2}{[{\left(\frac{a_{c1}^{\prime }}{a^{\prime }}\right)}^{(D-2)}-1]}^2-\frac{3}{{109}^3}{[{\left(\frac{a_{c1}^{\prime }}{a^{\prime }}\right)}^{(D-2)}-1]}^3;$k为平均接触压力系数；H为软材料的微硬度，a′_c2为微凸体由弹塑性变形向完全塑性变形过渡的临界接触面积$a_{c2}^{\prime }=\frac{a_{c1}^{\prime }}{{110}^{1/(D-2)}};$1.3完全塑性变形当a′≤a′_c2时，微凸体发生完全塑性变形，单个微凸体的实际接触面积a_p、塑性接触载荷ΔF_p(a′)和平均接触压力ΔP_p(a′)可以表示为$\left\{\begin{array}{c}{a}_p=a^{\prime }\\ {\mathrm{\Delta F}}_p\left(a^{\prime }\right)={\mathrm{Ha}}^{\prime }\\ {\mathrm{\Delta P}}_p\left(a^{\prime }\right)=H\end{array}\right.---\left(3\right)$当单个微凸体的最大截面积a′_L＞a′_c，联合方程(1)(2)(3)，总接触面积A_r为$\begin{array}{c}{A}_r=A_e+A_{ep}+A_p={\int }_{a_{c1}^{\prime }}^{a_L^{\prime }}{a}_{e}n\left(a^{\prime }\right){\mathrm{da}}^{\prime }+{\int }_{a_{c2}^{\prime }}^{a_{c1}^{\prime }}{a}_{ep}n\left(a^{\prime }\right){\mathrm{da}}^{\prime }+{\int }_{a_s^{\prime }}^{a_{c2}^{\prime }}{a}_{p}n\left(a^{\prime }\right){\mathrm{da}}^{\prime }\\ =\frac{D-1}{6-2D}{\psi }^{\left(3-D\right)/2}{a}_L^{\prime }\left[\frac{{\int }_{a_{c2}^{\prime }}^{a_{c1}^{\prime }}{a}^{\prime \left(1-D\right)/2}f\left(a^{\prime }\right){\mathrm{da}}^{\prime }}{a_L^{\prime \left(3-D\right)/2}}+1+{\left(\frac{a_{c2}^{\prime }}{a_L^{\prime }}\right)}^{\left(3-D\right)/2}-2{\left(\frac{a_S^{\prime }}{a_L^{\prime }}\right)}^{\left(3-D\right)/2}\right]\end{array}---\left(4\right)$式中，n(a')为三维微凸体横截面积分布函数其中拓展域因子ψ可以通过计算得到；a′_S为微凸体的最小截面积a′_S＝0；a′_L与等效粗糙表面的总截面积的关系为${A_r}^{\prime }={\int }_{a_s^{\prime }}^{a_L^{\prime }}n\left(a^{\prime }\right)a^{\prime }{\mathrm{da}}^{\prime }=\frac{D-1}{3-D}{\psi }^{(3-D)/2}[1-{\left(\frac{a_S^{\prime }}{a_L^{\prime }}\right)}^{(3-D)/2}]a_L^{\prime }---\left(5\right)$$a_L^{\prime }=\frac{3-D}{D-1}{A}_r^{\prime }/{\psi }^{(3-D)/2}---\left(6\right)$总的接触载荷F为$F=F_e+F_{ep}+F_p={\int }_{a_{c1}^{\prime }}^{a_L^{\prime }}{\mathrm{\Delta F}}_e\left(a^{\prime }\right)n\left(a^{\prime }\right){\mathrm{da}}^{\prime }+{\int }_{a_{c2}^{\prime }}^{a_{c1}^{\prime }}{\mathrm{\Delta F}}_{ep}\left(a^{\prime }\right)n\left(a^{\prime }\right){\mathrm{da}}^{\prime }+{\int }_{a_s^{\prime }}^{a_{c2}^{\prime }}{\mathrm{\Delta F}}_p\left(a^{\prime }\right)n\left(a^{\prime }\right){\mathrm{da}}^{\prime }---\left(7\right)$当D≠2.5时$\begin{array}{c}F={\mathrm{H\psi }}^{\left(3-D\right)/2}\{\left[\frac{2^{\left(11-2D\right)/2}{G}^{\left(D-2\right)}{\left(\ln \gamma \right)}^{1/2}\left(E/H\right)}{3{\pi }^{\left(4-D\right)/2}}\right]\times \frac{D-1}{5-2D}{\left(a_L^{\prime }\right)}^{\left(4-D\right)/2}\left[1-{\left(\frac{a_{c1}^{\prime }}{a_L^{\prime }}\right)}^{\left(5-2D\right)/2}\right]+\\ \frac{D-1}{4}{\left(a_L^{\prime }\right)}^{\left(D-1\right)/2}{\int }_{a_{c2}^{\prime }}^{a_{c1}^{\prime }}{a}^{\prime (1-D)/2}(1+f(a^{\prime }\left)\right)\times [k{\left(\frac{a_{c1}^{\prime }}{a^{\prime }}\right)}^{(2-D)/2}(1+f(a^{\prime }\left)\right)+f\left(a^{\prime }\right)]{\mathrm{da}}^{\prime }+\frac{D-1}{3-D}{a}_L^{\prime }\\ \left[{\left(\frac{a_{c1}^{\prime }}{a_L^{\prime }}\right)}^{\left(3-D\right)/2}-{\left(\frac{a_S^{\prime }}{a_L^{\prime }}\right)}^{\left(3-D\right)/2}\right]\}\end{array}---\left(8\right)$当D＝2.5时$\begin{array}{c}F={\mathrm{H\psi }}^{1/4}\{2{\pi }^{-3/4}{\left(\ln \gamma \right)}^{1/2}{G}^{1/2}\left(E/H\right){\left(a_L^{\prime }\right)}^{3/4}\times \ln \left(\frac{a_L^{\prime }}{a_{c1}^{\prime }}\right)+\frac{3}{8}{\left(a_L^{\prime }\right)}^{1/4}\times {\int }_{a_{c2}^{\prime }}^{a_{c1}^{\prime }}{a}^{\prime -3/4}\left(1+f\left(a^{\prime }\right)\right)\\ \times \left(k{\left(\frac{a_{c1}^{\prime }}{a^{\prime }}\right)}^{1/4}\right(1+f\left(a^{\prime }\right))+f\left(a^{\prime }\right)){\mathrm{da}}^{\prime }+3a_L^{\prime }\left[{\left(\frac{a_{c1}^{\prime }}{a_L^{\prime }}\right)}^{1/4}-{\left(\frac{a_S^{\prime }}{a_L^{\prime }}\right)}^{1/4}\right]\}\end{array}---\left(9\right)$步骤(2)接触热阻的计算热流通过接触界面传递时只通过那些离散的接触点，接触界面之间充满介质；当外在载荷较小时，介质热阻较大，不应该忽略，本方法以空气介质，因此接触热阻R主要包括热流流过粗糙接触表面时热流线发生收缩产生的收缩热阻R_c和空气介质热阻R_g，他们是并联关系，其公式如下：$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_c}+\frac{1}{R_g}---\left(10\right)$2.1收缩热阻的建模单个微凸体在弹性、弹塑性和完全塑性变形阶段的收缩热导h_ce、h_cep、和h_cp分别为$\left\{\begin{array}{c}{h}_{ce}=\frac{2\lambda {\left(a^{\prime }\right)}^{1/2}}{\sqrt{2\pi }{[1-{\left(A_r^{*}\right)}^{1/2}]}^{3/2}}\\ h_{cep}=\frac{2\lambda {\left[a^{\prime }(1+f(a^{\prime }\left)\right)\right]}^{1/2}}{\sqrt{2\pi }{[1-{\left(A_r^{*}\right)}^{1/2}]}^{3/2}}\\ h_{cp}=\frac{2\lambda {\left(a^{\prime }\right)}^{1/2}}{\sqrt{\pi }{[1-{\left(A_r^{*}\right)}^{1/2}]}^{3/2}}\end{array}\right.---\left(11\right)$当a′_L＞a′_c时，结合面总的收缩热导H_c为$\begin{array}{c}{H}_c=H_{ce}+H_{cep}+H_{cp}={\int }_{a_{c1}^{\prime }}^{a_L^{\prime }}{h}_{ce}\left(a^{\prime }\right)n\left(a^{\prime }\right){\mathrm{da}}^{\prime }+{\int }_{a_{c2}^{\prime }}^{a_{c1}^{\prime }}{h}_{cep}\left(a^{\prime }\right)n\left(a^{\prime }\right){\mathrm{da}}^{\prime }+{\int }_{a_S^{\prime }}^{a_{c2}^{\prime }}{h}_{cp}\left(a^{\prime }\right)n\left(a^{\prime }\right){\mathrm{da}}^{\prime }\\ =\frac{\sqrt{2/\pi }\left(D-1\right)\lambda }{\left(2-D\right){\left[1-{\left(A_r^{*}\right)}^{1/2}\right]}^{3/2}}{\psi }^{\left(3-D\right)/2}{\left(a_L^{\prime }\right)}^{\left(D-1\right)/2}\times [{a_L^{\prime }}^{\left(2-D\right)/2}-{a_{c1}^{\prime }}^{\left(2-D\right)/2}+\sqrt{2}{a_{c2}^{\prime }}^{\left(2-D\right)/2}-\sqrt{2}{a_S^{\prime }}^{\left(2-D\right)/2}\\ +{\int }_{a_{c2}^{\prime }}^{a_{c1}^{\prime }}{\left(a^{\prime }\right)}^{-D/2}{\left(1+f\left(a^{\prime }\right)\right)}^{1/2}{\mathrm{da}}^{\prime }]\end{array}---\left(12\right)$接触热阻与接触热导互为倒数关系，因此总的收缩热阻R_c为$R_c=\frac{1}{H_c}---\left(13\right)$2.2空气介质热阻的建模间隙中空气的对流传热可以忽略；接触表面的间隙厚度通常是微米级的，在这样小的间隙内，气体的对流无法进行，因而在接触界面间隙内的气体传热时，忽略气体的对流对传热的影响；另外高温环境下热辐射对传热的影响较大，常温下热辐射的影响忽略不计，研究表明：对于金属之间的接触问题，当温度低于900K时，辐射传热在总的结合面传热中的份额小于2％；因此常温下，空隙间的气体辐射换热可以忽略，只需考虑空气的热传导；空气介质热阻R_g可表示为$R_g=\frac{2d+M}{(A_a-A_r)k_g}---\left(14\right)$式中k_g空隙中空气介质的导热系数，常温下空气导热系数k_g＝0.026[W/(m·℃)]；M是气体系数，其计算公式为其中γ空气的比热容比，常温下空气的比热容比γ＝1.4；p_r空气的普朗特数，p_r＝0.69；Λ空气分子平均自由程，Λ＝4.72；α₁和α₂分别是空气和不同固体接触界面的热调节系数，其表达式为$\alpha =\exp \left[-0.57\left(\frac{T_s-T_0}{T_0}\right)\right]\left(\frac{M_g^{*}}{6.8+M_g^{*}}\right)+\frac{2.4\mu }{{\left(1+\mu \right)}^2}\left\{1-\exp \left[-0.57\left(\frac{T_s-T_0}{T_0}\right)\right]\right\};$其中μ＝M_g/M_s，M_g和M_s分别是气体和固体的分子质量；T₀是参考温度T₀＝273K；T_S是环境温度T_s＝295K；d为间隙厚度，且$d=\sqrt{2}{\mathrm{\sigma erfc}}^{-1}\left(\frac{2F}{{\mathrm{HA}}_r}\right),$σ为均方差，$\sigma =\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2},$σ₁和σ₂是两个接触材料的均方差；上述模型可使用matlab编程来实现。