无人直升机姿态误差有限时间收敛非线性鲁棒控制方法

摘要

本发明属于小型单旋翼无人直升机飞行控制领域。为实现能够使无人直升机姿态跟踪控制可以在有限时间内收敛。为此，本发明采取的技术方案是，无人直升机姿态误差有限时间收敛非线性鲁棒控制方法，包括下列步骤：一、确定小型无人直升机动力学模型二、小型无人直升机姿态控制定义η_d(t)＝[φ_d(t),θ_d(t),ψ_d(t)]^T为姿态角的参考给定向量，其中φ_d(t)、θ_d(t)、ψ_d(t)分别为滚转角给定、俯仰角给定、偏航角给定，且有L_∞代表有界数列空间，是对η_d(t)求一阶时间导数，是对η_d(t)求二阶时间导数；为了书写方便，变量不带时间t，如将η_d(t)直接写为η_d；定义姿态跟踪误差为：e＝η_d-η。本发明主要应用于小型单旋翼无人直升机飞行控制。

主权项

一种无人直升机姿态误差有限时间收敛非线性鲁棒控制方法，其特征是，包括下列步骤：一、确定小型无人直升机动力学模型小型无人直升机在飞行过程中，本身可以完成俯仰、滚转以及偏航三个方向的转动，因此涉及大地坐标系{O_I,x_I,y_I,z_I}和机体坐标系{O_B,x_B,y_B,z_B}，I’代表惯性坐标系,B代表机体坐标系，原点O_I固连于地面任意一点，x_I指向地理北极，y_I指向地理东方，z_I满足右手定则，沿其法线方向向下；原点O_B是直升机中心，x_B位于直升机纵向对称面内，指向机头，z_B位于直升机纵向对称面内，指向机腹，y_B指向机身右侧，与x_B、z_B坐标轴构成右手系；从机体坐标系{B}到大地坐标系{I}的旋转矩阵R和集总矩阵S为：$R=\left[\begin{array}{ccc}c\theta c\psi & s\phi s\theta c\psi -c\phi s\psi & c\psi s\theta c\phi +s\phi s\psi \\ c\theta s\psi & s\theta s\phi s\psi +c\phi c\psi & c\phi s\theta s\psi -s\phi c\psi \\ -s\theta & s\phi c\theta & c\phi c\theta \end{array}\right],$$S=\left[\begin{array}{ccc}1& \sin \left(\phi \right)\tan \left(\theta \right)& \cos \left(\phi \right)\tan \left(\theta \right)\\ 0& \cos \left(\phi \right)& -\sin \left(\phi \right)\\ 0& \sin \left(\phi \right)/\cos \left(\theta \right)& \cos \left(\phi \right)/\cos \left(\theta \right)\end{array}\right],$其中正、余弦函数cos(*),sin(*)可以简写为c*,s*，tan(*)为正切函数，*代表任意的欧拉角，为φ、ψ、θ中的任意的一个，为了避免直升机特技飞行和保证S矩阵非奇异，假设：条件1:欧拉角满足:|φ|<π/2,|θ|<π/2，其中||为绝对值符号；当挥舞角a、b很小时有:sina≈a,sinb≈b,cosa≈1,cosb≈1成立，动力学模型具体表达式如下：$M\left(\eta \right)\stackrel{··}{\eta }+C(\eta ,\stackrel{·}{\eta })\stackrel{·}{\eta }+{\tau }_d^I=S^{-T}[A\left(T_M\right)D\delta +B\left(T_M\right)],---\left(1\right)$其中，M(η)∈R^3×3代表惯性矩阵，'∈'代表‘属于’关系，R^3×3代表3行3列的实数空间，代表科氏力矩阵，代表在大地坐标系下时变的扰动，R^3×1代表3行1列的实数空间，且满足为常数；η＝[φ,θ,ψ]^T为姿态角，φ、θ、ψ分别为滚转角、俯仰角、偏航角，为机体轴系角速度向量，分别为对滚转角φ求一阶时间导数得到的滚转角速度、对俯仰角θ求一阶时间导数得到的俯仰角速度、对偏航角ψ求一阶时间导数得到的偏航角速度，δ＝[δ_lon,δ_lat,δ_ped]^T代表控制输入向量，δ_lat、δ_lon、δ_ped为标准化横滚、俯仰舵机输入、偏航角速率反馈控制输入；T_M＝mg,T_M为主旋翼产生的推力，下标'M'表示与主旋翼桨叶有关，m为直升机质量，g为重力加速度；A(T_M)∈R^3×3、B(T_M)∈R^3×1与无人直升机旋翼动力学特性相关，且有：B(T_M)＝[0,0,Q_M]^T,T^1.5_M表示对主旋翼推力T_M求1.5的阶数幂，$A\left(T_M\right)=\left[\begin{array}{ccc}-Q_M& K_{\beta }+H_M{T}_M& -H_T\\ K_{\beta }+H_M{T}_M& Q_M& 0\\ 0& 0& D_T\end{array}\right],$H_M为主旋翼桨毂在直升机重心上方位置，D_T、H_T为尾桨桨毂在直升机重心后方和上方位置，下标'T'表示与尾桨桨叶有关，K_β是主旋翼刚度系数，C^M、D^M是与反扭矩相关系数，上标‘M’表示与主旋翼桨叶有关，C^M为主旋翼桨叶升力曲线斜率，D^M为主旋翼桨叶的净垂向空速；矩阵D是与无人机旋翼挥舞动力学相关的常数矩阵，其为：D＝diag(A_cC_lon+A_lon,B_dD_lat+B_lat,K_ped)，A_c表示旋翼挥舞动力学纵向耦合效应系数、C_lon表示稳定杆纵向周期桨距偏转角对δ_lon的比值、A_lon表示主旋翼纵向周期桨距偏转角对δ_lon的比值，B_d表示旋翼挥舞动力学横向耦合效应系数、D_lat表示稳定杆横向周期桨距偏转角对δ_lat的比值、B_lat表示主旋翼横向周期桨距偏转角对δ_lat的比值，K_ped为偏航方向比例系数，S^‑T为集总矩阵S的逆再求转置矩阵，上标‘‑T’写为‘‑1’与‘T’的乘积形式，‘‑1’为求矩阵的逆矩阵，‘T’为求矩阵的转置；进一步的惯性矩阵M(η)∈R^3×3具体形式为：$M\left(\eta \right)=\left[\begin{array}{ccc}{J}_x& 0& -{\mathrm{s\theta J}}_x\\ 0& J_y{c}^2\phi +J_z{s}^2\phi & J_{y}s\phi c\phi c\theta -J_{z}s\phi c\phi c\theta \\ -{\mathrm{s\theta J}}_x& J_{y}s\phi c\phi \theta -J_{z}s\phi c\phi c\theta & J_y{s}^2\theta +J_y{s}^2{\mathrm{\phi c}}^2\theta +J_z{s}^2{\mathrm{\phi c}}^2\theta \end{array}\right]$科氏力矩阵为；$C(\eta ,\stackrel{·}{\eta })=\left[\begin{array}{ccc}0& C_{1,2}& C_{1,3}\\ C_{2,1}& C_{2,2}& C2,3\\ C_{3,1}& C_{3,2}& C_{3,3}\end{array}\right]$其中：C_1，2为矩阵的第一行第二列元素，具体为；$C_{1,2}=\stackrel{·}{\theta }(J_y-J_z)s\phi c\phi +\stackrel{·}{\psi }(J_z-J_y)(-s^2{\mathrm{\phi c}}^2\theta +c\phi c\theta )-\stackrel{·}{\psi }{J}_{x}c\theta ,$C_1，3为矩阵的第一行第三列元素，具体为；$C_{1,3}=\stackrel{·}{\psi }(J_z-J_y)s\phi c\phi c\theta ,$C_2，1为矩阵的第二行第一列元素，具体为；$C_{2,1}=\stackrel{·}{\theta }(J_z-J_y)s\phi c\phi +\stackrel{·}{\psi }(J_{x}c\theta -J_y{s}^2\theta c\theta +J_y{c}^2\phi c\theta -J_z{c}^2\phi c\theta +J_z{s}^2\phi c\theta ),$C_2，2为矩阵的第二行第二列元素，具体为；$C_{2,2}=\stackrel{·}{\phi }(J_z-J_y)c\phi s\phi ,$C_2，3为矩阵的第二行第三列元素，具体为；$C_{2,3}=\stackrel{·}{\psi }(J_{x}c\theta s\theta +J_z{\mathrm{s\theta c}}^2\phi c\theta +J_y{\mathrm{s\theta c}}^2\phi c\theta ),$C_3，1为矩阵的第三行第一列元素，具体为；$C_{3,1}=-\stackrel{·}{\theta }{J}_{x}c\theta +\stackrel{·}{\psi }(J_y-J_z){\mathrm{s\phi c\phi c}}^2\theta ,$C_3，2为矩阵的第三行第二列元素，具体为；$\begin{array}{c}{C}_{3,2}=\stackrel{·}{\psi }(J_z-J_y)s\phi c\phi s\theta +\stackrel{·}{\phi }(J_z{s}^2\phi c\theta -J_z{c}^2\phi c\theta +J_y{c}^2\phi c\theta -J_y{s}^2\theta c\theta )\\ +\stackrel{·}{\psi }(J_{x}s\theta c\theta -J_y{s}^2\phi c\theta s\theta -J_z{c}^2\phi s\theta c\theta ),\end{array}$C_3，3为矩阵的第三行第三列元素，具体为；$C_{3,3}=\stackrel{·}{\phi }(J_y-J_z){\mathrm{s\phi c\phi c}}^2\theta +\stackrel{·}{\theta }(J_{x}s\theta c\theta -J_y{s}^2\phi s\theta c\theta -J_z{c}^2\phi s\theta c\theta ),$J_x为滚转方向转动惯量，J_y为俯仰方向转动惯量，J_z为偏航方向转动惯量；同时，此动力学模型具有如下性质：性质1：惯性矩阵M(η)是正定对称的，且满足:$m_1{||\xi ||}^2\le {\xi }^{T}M\left(\eta \right)\xi \le m_2{||\xi ||}^2,\forall \xi \in R^{3\times 1},$其中，m₁和m₂为正常数，|| ||是2范数符号，是‘任意’的意思；二、小型无人直升机姿态控制定义η_d(t)＝[φ_d(t),θ_d(t),ψ_d(t)]^T为姿态角的参考给定向量，其中φ_d(t)、θ_d(t)、ψ_d(t)分别为滚转角给定、俯仰角给定、偏航角给定，且有L_∞代表有界数列空间，是对η_d(t)求一阶时间导数，是对η_d(t)求二阶时间导数；为了书写方便，变量不带时间t，如将η_d(t)直接写为η_d；定义姿态跟踪误差为：e＝η_d‑η,  (2)其中，η＝[φ,θ,ψ]^T为姿态角，e＝[e_φ,e_θ,e_ψ]^T为姿态跟踪误差向量，e_φ为滚转方向误差，e_θ为俯仰方向误差，e_ψ为偏航方向误差，e_i＝i_d‑i,i＝φ、θ、ψ为欧拉角中的一个，用e_i表示滚转、俯仰、偏航通道误差；定义滤波误差向量s(t)：$s=\stackrel{·}{e}+ke,---\left(3\right)$其中，k＝diag(k_φ,k_θ,k_ψ),k_i>0，diag()代表对角阵的意思，k_φ为滚转方向增益，k_θ为俯仰方向增益，k_ψ为偏航方向增益，为姿态跟踪误差向量，e＝[e_φ,e_θ,e_ψ]^T的一阶时间导数，滤波误差向量s＝[s_φ,s_θ,s_ψ]^T，s_φ为滚转方向滤波误差，s_θ为俯仰方向滤波误差，s_ψ为偏航方向滤波误差，用s_i表示滚转、俯仰、偏航通道滤波误差，根据式(3)的结构可知，s(t)与e(t)具有相同的收敛性；利用性质1，并对其求一阶时间导数可得：$\stackrel{·}{s}=({\stackrel{··}{\eta }}_d+k\stackrel{·}{e})+M{\left(\eta \right)}^{-1}C(\eta ,\stackrel{·}{\eta })\stackrel{·}{\eta }+w\left(t\right)-M{\left(\eta \right)}^{-1}{S}^{-T}AD\delta -M{\left(\eta \right)}^{-1}{S}^{-T}B,---\left(4\right)$其中，w(t)＝[w_φ(t),w_θ(t),w_ψ(t)]^T，M(η)^‑1为矩阵M(η)的逆矩阵，上标‘‑1’代表矩阵的逆，w_φ(t)为运算后滚转方向扰动，w_θ(t)为运算后俯仰方向扰动，w_ψ(t)为运算后偏航方向扰动，用w_i(t)表示滚转、俯仰、偏航通道扰动，并做如下假设：条件2：$w_i\left(t\right),{\stackrel{·}{w}}_i\left(t\right)\in L_{\infty },$且|w_i(t)|≤δ_i1,$\left|{\stackrel{·}{w}}_i\left(t\right)\right|\le {\delta }_{i2},{\delta }_{i1},{\delta }_{i2}$为常数；基于式(4)的开环动态方程，设计控制器为：$\delta =D^{-1}{A}^{-1}{S}^{T}M\left(\eta \right)\left(\alpha {\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}sign\right(s)-M{\left(\eta \right)}^{-1}{S}^{-T}B+{\stackrel{··}{\eta }}_d+k\stackrel{·}{e}+f_0^t\frac{\beta }{2}sign(s\left(\tau \right))d\tau +M{\left(\eta \right)}^{-1}C(\eta ,\stackrel{·}{\eta }\left)\stackrel{·}{\eta }\right)---\left(5\right)$其中，sign(x)为标准符号函数，将式(5)代入式(4)中，即可得到如下闭环系统：$\stackrel{·}{s}=w\left(t\right)-\alpha {\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}sign\left(s\right)-{\int }_0^t\frac{\beta }{2}sign\left(s\right(\tau \left)\right)d\tau ---\left(6\right)$上述中，β＝diag(β_φ,β_θ,β_ψ)，β_φ为滚转方向自适应律，β_θ为俯仰方向自适应律，β_ψ为偏航方向自适应律，用β_i表示滚转、俯仰、偏航通道方向自适应律，α＝diag(α_φ,α_θ,α_ψ)，α_φ为滚转方向律，α_θ为俯仰方向律，α_ψ为偏航方向律，用α_i表示滚转、俯仰、偏航任一通道自适应律，sign(s)＝[sign(s_φ),sign(s_θ),sign(s_ψ)]^T，sign(s_φ)为滚转方向滤波误差符号函数，sign(s_θ)为俯仰方向滤波误差符号函数，sign(s_ψ)为偏航方向滤波误差符号函数，${\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}sign\left(s\right)={[{\left|s_{\phi }\right|}^{\frac{1}{2}}sign\left(s_{\phi }\right),{\left|s_{\theta }\right|}^{\frac{1}{2}}sign\left(s_{\theta }\right),{\left|s_{\psi }\right|}^{\frac{1}{2}}sign\left(s_{\psi }\right)]}^T;$设计自适应律为：${\stackrel{·}{\alpha }}_i\left(t\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{\omega }_{i1}\sqrt{\frac{\gamma i1}{2}}sign\left(\right|s_i|-{\mu }_i),& if& {\alpha }_i\left(t\right)>a_{im}\\ {\gamma }_{i0},& if& {\alpha }_i\left(t\right)\le {\alpha }_{im}\end{array}\right.---\left(7\right)$β_i(t)＝2ε_iα_i(t),其中，ω_i1,γ_i1,γ_i0,μ_i,ε_i,α_im为正的自适应律增益，均为常数，引入μ_i是构造一个观测器，当|s_i|≤μ_i，α_i,β_i减小，直到系统|s_i|>μ_i，然后α_i,β_i增大，迫使其回到μ_i内，依此循环；自适应律α_i(t),β_i(t)是有界的，并且有|α_i|≤α_i^*、|β_i|≤β_i^*、α_i^*,β_i^*是正常数。