面向实时控制应用的过约束重型并联机床动力学建模方法

摘要

本发明公开了一种面向实时控制应用的过约束重型并联机床动力学建模方法，属于机床制造技术领域；该方法包括，根据机床的结构求出各个主动关节的位置，速度和加速度；以及各构件质心的位置，速度和加速度，建立动平台和各个主动关节的速度关系；采用牛顿-欧拉方法建立过约束重型并联机床中各构件的力平衡方程和力矩方程，根据过约束重型并联机床的结构参数和支链的杆件轴向变形情况，建立其变形与动平台输出误差之间的协调方程，最后，结合力平衡方程、力矩方程以及协调方程，建立动力学模型。本发明考虑重型并联机床中刚度较差连杆的变形，不仅克服了传统的刚体动力学模型精度低的问题，而且建立的动力学模型满足控制系统的实时计算要求。

主权项

一种面向实时控制应用的过约束重型并联机床动力学建模方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：1)根据过约束重型并联机床的结构，通过运动学分析，求出机床各个主动关节的位置，速度和加速度；以及各构件质心在机床不同坐标系中的位置，速度和加速度，同时还根据雅可比矩阵建立动平台和各个主动关节的速度关系；2)根据对过约束重型并联机床各个构件进行受力分析的情况，采用牛顿‑欧拉方法建立过约束重型并联机床中各个构件的力平衡方程和力矩方程；3)根据过约束重型并联机床的结构参数和支链的杆件轴向变形情况，建立过约束重型并联机床支链中的轴向变形和动平台的输出误差的协调方程；4)最后，将力平衡方程、力矩方程和输出误差协调方程联立建立动力学模型，并求出模型中的参数；所述步骤1)具体包括：11)建立固定在机床机架上的固定坐标系O‑XY，O点为机床两个立柱与地面的接触点C₁、C₃的中点；X轴水平向右，Y轴垂直向上；建立在动平台上的固定坐标系O′‑xy，动平台的中心位置记为O′，x轴水平向右，y轴垂直向上；在关节点B_i建立以B_iA_i方向为x′轴的动坐标系B_i‑x′y′以及与固定坐标系O‑XY平行的动坐标系B_i‑xy；根据图中的几何位置关系得到：r+a_i＝b_i+q_ie₂+ln_i i＝1,2,3,4  (1)其中，r＝[x y]^T为O′点在O‑XY坐标系中的位置矢量，a_i是A_i点在O′‑xy坐标系中的位置矢量，a_i＝[a_ix a_iy]^T，b_i表示从点O到C_i的矢量，q_i表示关节点B_i在坐标系O‑XY中的Y坐标，e₂＝[0 1]^T，l和n_i分别表示连杆A_iB_i的长度和单位矢量；连杆A₅B₅的限制方程表示为r+a₅＝b₅+(l₅₁+l₅₂)n₅  (2)其中，a₅为A₅在O′‑xy坐标系的位置矢量，b₅为从点O到点B₅的矢量，l₅₁和l₅₂分别为构件51和构件52的长度，构件51和构件52分别为构件B₅C和构件CA₅，n₅为连杆A₅B₅的单位矢量；12)表达式(1)的两边同时对时间求一阶导数，得出各滑块的速度为：${\stackrel{.}{q}}_i=\frac{{n_i}^T\stackrel{.}{r}}{n_{\mathrm{iy}}},i=\mathrm{1,2,3,4},{\stackrel{.}{q}}_5=0---\left(3\right)$其中，为O′点在O‑XY坐标系中的速度矢量，连杆A_iB_i和A₅B₅的角速度分别为：其中，n_ix和n_iy分为n_i在X和Y轴上的分量，i＝1,2,3,4,5；构件51及构件52的质心在O‑XY坐标系中的速度分别表示为：${\stackrel{.}{r}}_{g51}=\frac{l_{51}{\omega }_5}{2}\left[\begin{array}{c}-n_{5y}\\ n_{5x}\end{array}\right]---\left(4\right)$${\stackrel{.}{r}}_{g52}=\frac{{\stackrel{.}{l}}_{52}}{2}{n}_5+(l_{51}+\frac{l_{52}}{2}){\omega }_5\left[\begin{array}{c}{-n}_{5y}\\ n_{5x}\end{array}\right]---\left(5\right)$13)表达式(1)的两边同时对时间求二阶导数，得出各滑块的加速度为：${\stackrel{..}{q}}_i=\frac{n_i\stackrel{..}{r}+{\omega }_i^2{l}_i}{n_{\mathrm{iy}}},i=\mathrm{1,2,3,4},{\stackrel{..}{q}}_5=0---\left(6\right)$其中，为O′点在O‑XY坐标系中的加速度矢量，连杆A_iB_i和A₅B₅的角加速度分别为：${ϵ}_i=\frac{\stackrel{..}{r}-{\stackrel{..}{q}}_i{e}_2}{l}·\left[\begin{array}{c}{-n}_{\mathrm{iy}}\\ n_{\mathrm{ix}}\end{array}\right],$${ϵ}_5=\frac{\stackrel{..}{r·}{\left[\begin{array}{cc}{-n}_{5y}& n_{5x}\end{array}\right]}^T-{2\stackrel{.}{l}}_{52}{\omega }_5}{l_{51}+l_{52}};$构件51和构件52的质心在坐标系O‑XY中的加速度分别为：${\stackrel{..}{r}}_{g51}=\frac{l_{51}{ϵ}_5}{2}\left[\begin{array}{c}{-n}_{5y}\\ n_{5x}\end{array}\right]-\frac{l_{51}{\omega }_5^2{n}_5}{2}---\left(7\right)$${\stackrel{..}{r}}_{g52}=\frac{l_{52}}{2}{n}_5+{\stackrel{.}{l}}_{52}{\omega }_5\left[\begin{array}{c}{-n}_{5y}\\ n_{5x}\end{array}\right]+(l_{51}+\frac{l_{52}}{2}){\omega }_5\left[\begin{array}{c}{-n}_{5y}\\ n_{5x}\end{array}\right]-(l_{51}+\frac{l_{52}}{2}){\omega }_5^2{n}_5---\left(8\right)$所述步骤2)具体包括：21)连杆A_iB_i的力平衡方程如公式(9)所示：$F_{\mathrm{Bi}}+F_{\mathrm{Ai}}+m_{i}g-m_i{\stackrel{..}{r}}_{\mathrm{gi}}=0,i=\mathrm{1,2,3,4}---\left(9\right)$其中，m_i是A_iB_i杆的质量，F_Ai是连杆A_iB_i作用在动平台上的力，且是杆件A_iB_i质心加速度矢量，g＝[0 g]^T，且g为重力加速度,F_B1和F_B2是滑块B₁B₂作用在连杆A₁B₁和A₂B₂的约束力，F_B3和F_B4是滑块B₃B₄作用在连杆A₃B₃和A₄B₄的约束力，并且连杆A_iB_i的力矩方程如公式(10)所示：$F_{\mathrm{Ai}}.l\left[\begin{array}{c}{-n}_{\mathrm{iy}}\\ n_{\mathrm{ix}}\end{array}\right]-m_i(g+{\stackrel{..}{q}}_i).r_{\mathrm{cxi}}-m_i{\stackrel{..}{r}}_{\mathrm{ci}}·\left[\begin{array}{c}{-r}_{\mathrm{cyi}}\\ r_{\mathrm{cxi}}\end{array}\right]-J_i{ϵ}_i=0,i=\mathrm{1,2,3,4}---\left(10\right)$其中，J_i是连杆A_iB_i基于B_i‑xy坐标系的转动惯量，r_ci是连杆A_iB_i在B_i‑xy坐标系下的位置矢量，r_cxi和r_cyi分别是x轴和y轴的分量；连杆A₅B₅的力平衡方程和力矩方程分别如公式(11)和(12)所示：$F_{A5}+F_{B5}+m_{51}(g-{\stackrel{..}{r}}_{g51})+m_{52}(g-{\stackrel{..}{r}}_{g52})=0---\left(11\right)$$F_{A5}.(l_{51}+l_{52})\left[\begin{array}{c}{-n}_{5y}\\ n_{5x}\end{array}\right]-m_{51}g.r_{\mathrm{cx}51}-m_{51}{\stackrel{..}{r}}_{g51}\left[\begin{array}{c}{-r}_{\mathrm{cy}51}\\ r_{\mathrm{cx}51}\end{array}\right]-m_{52}g.r_{\mathrm{cx}52}-m_{52}{\stackrel{..}{r}}_{g52}\left[\begin{array}{c}{-r}_{\mathrm{cy}52}\\ r_{\mathrm{cx}52}\end{array}\right]-(J_{51}+J_{52}){ϵ}_5=0---\left(12\right)$其中，J₅₁和J₅₂分别是连杆B₅C和CA₅相对于坐标系B₅‑xy的惯性矩，m₅₁和m₅₂分别为构件51和构件52的质量，F_A5和F_B5表示动平台和横梁作用在连杆A₅B₅上作用力，r_cx51和r_cy51分别表示构件B₅C质心在坐标系B₅‑xy中位置矢量沿x和y的分量；21)动平台的力平衡方程公如公式(13)所示：$F_e=M(g-\stackrel{..}{r})-\underset{i=1}{\overset{5}{\Sigma }}{F}_{\mathrm{Ai}}=0---\left(13\right)$其中，M为动平台的质量，F_e为施加在动平台上的外力；设动平台的质心相对于坐标系O′‑xy的位置矢量为R_c＝[R_cx R_cy]^T，则动平台的欧拉方程如公式(14)所示：$-M·g·R_{\mathrm{cx}}-M\stackrel{..}{r}\left[\begin{array}{c}{-R}_{\mathrm{cy}}\\ R_{\mathrm{cx}}\end{array}\right]+M_e-\underset{i=1}{\overset{5}{\Sigma }}(F_{\mathrm{Ai}}·\left[\begin{array}{c}{-A}_{\mathrm{iy}}\\ A_{\mathrm{ix}}\end{array}\right])=0---\left(14\right)$其中，M_e是施加在平台上的力矩，A_ix和A_iy是点O′到A_i的矢量沿F_Aix'和F_Aiy'方向的分量；所述步骤3)建立过约束重型并联机床支链中的轴向变形和动平台的输出误差的协调方程如下：连杆A_iB_i的轴向变形如公式(15)：${\delta }_i={\int }_0^l{F}_u\mathrm{du}=\frac{{-n}_i}{{\mathrm{ES}}_i}(F_{\mathrm{Bi}}l+m_i\mathrm{gl}/2-m_i{\stackrel{..}{q}}_i{e}_{2}l/2),i=\mathrm{1,2,3,4}---\left(15\right)$其中，E表示连杆A_iB_i的弹性模量，δ_i表示连杆A_iB_i的轴向变形，S_i是连杆A_iB_i的横截面积，F_u表示连杆A_iB_i上到B_i距离为u点所受的力，是连杆A_iB_i质心的加速度；同样计算出连杆A₅B₅的轴向变形如公式(16)：${\delta }_5=\frac{1}{2E·S_{52}}({2F}_{A5x\prime }{l}_{52}+m_{52}{l}_{52}{n}_5(g-{\stackrel{..}{r}}_{g52}))+\frac{1}{2E·S_{51}}{m}_{51}{l}_{51}{n}_5(g-{\stackrel{..}{r}}_{g51})---\left(16\right)$其中，S₅₁和S₅₂是构件51和构件52的横截面积；考虑到杆件轴向变形，动平台具有微小的转动dγ，连杆A_iB_i的轴向变形和动平台位置误差之间关系如公式(17)：${\delta }_i=n_i(a_i^{\prime }-a_i)=n_i((T-I)a_i+{\left[\begin{array}{cc}\mathrm{dx}& \mathrm{dy}\end{array}\right]}^T)i=\mathrm{1,2,3,4,5}---\left(17\right)$式中，dx为X方向误差，dy为Y方向误差，$T=\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{d\gamma }\right)& \sin \left(\mathrm{d\gamma }\right)\\ -\sin \left(\mathrm{d\gamma }\right)& \cos \left(\mathrm{d\gamma }\right)\end{array}\right],$表示动平台发生微小转动之后点A_i在坐标系O′‑xy中的位置矢量，I为二维的单位方阵；方程(17)写成：$\left[\begin{array}{c}{\delta }_1\\ {\delta }_2\\ {\delta }_3\\ {\delta }_4\\ {\delta }_5\end{array}\right]=Q\left[\begin{array}{c}\mathrm{dx}\\ \mathrm{dy}\\ \mathrm{d\gamma }\end{array}\right]---\left(18\right)$式中，$Q=\left[\begin{array}{ccc}{n}_{1x}& n_{1y}& (n_{1x}{a}_{1y}-n_{1y}{a}_{1x})\\ n_{2x}& n_{2y}& (n_{2x}{a}_{2y}-n_{2y}{a}_{2x})\\ n_{3x}& n_{3y}& (n_{3x}{a}_{3y}-n_{3y}{a}_{3x})\\ n_{4x}& n_{4y}& (n_{4x}{a}_{4y}-n_{4y}{a}_{4x})\\ n_{5x}& n_{5y}& (n_{5x}{a}_{5y}-n_{5y}{a}_{5x})\end{array}\right];$联立方程(15)、(16)和(18)建立连杆轴向变形和动平台输出误差的协调方程组如公式(19)所示：$Q\left[\begin{array}{c}\mathrm{dx}\\ \mathrm{dy}\\ \mathrm{d\gamma }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{{2\mathrm{ES}}_1}({2F}_{A1x\prime }+m_1{\ln }_1(g-{\stackrel{..}{r}}_{g1}))\\ \frac{1}{{2\mathrm{ES}}_2}({2F}_{A2x\prime }+m_2{\ln }_2(g-{\stackrel{..}{r}}_{g2}))\\ \frac{1}{{2\mathrm{ES}}_3}({2F}_{A3x\prime }+m_3{\ln }_3(g-{\stackrel{..}{r}}_{g3}))\\ \frac{1}{{2\mathrm{ES}}_4}({2F}_{A4\prime }+m_4{\ln }_4(g-{\stackrel{..}{r}}_{g4}))\\ \frac{1}{{2\mathrm{ES}}_{52}}({2F}_{A5\prime }{l}_{52}+m_{52}{l}_{52}{n}_5(g-{\stackrel{..}{r}}_{g52}))+\frac{m_{51}{l}_{51}{n}_5(g-{\stackrel{..}{r}}_{g51})}{{2\mathrm{ES}}_{51}}\end{array}\right]---\left(19\right);$所述步骤4)具体包括：首先联立公式(13)，(14)和(19)，求出F_Aix'(i＝1,2,3,4,5)、dx、dy和dγ，然后根据公式(10)和(12)求出F_Aiy'，进一步根据公式(9)和(11)求出F_Bi，最后对滑块B₁B₂和B₃B₄进行受力分析，根据滑块以及构件B₅C的力平衡方程计算出驱动力。