一种测量结晶器热面热流密度、温度的方法

摘要

本发明涉及一种测量结晶器热面热流密度、温度的方法；属于连铸技术领域。本发明通过在连铸结晶器内合理的安装两组热电偶采集温度数据，再利用二维传热反问题将采集的结晶器壁内的温度数据转化成结晶器热面热流密度、温度。本发明具有较高的工业应用价值，能更加精确计算得到结晶器热面热流密度、温度。

主权项

一种测量结晶器热面热流密度、温度的方法，其特征在于包括下述步骤：步骤一沿结晶器拉坯方向方向，在结晶器壁内纵剖面内，选取垂直结晶器热面的、高度为H、宽度为d₂的矩形区域ABCD，所述矩形区域的竖直边分别为AB边、CD边，且AB边位于结晶器热面上，CD边位于结晶器壁内；选取矩形区域ABCD后；在CD边上设置一组热电偶，并将该组热电偶计为第一组热电偶，且第一组热电偶位于同一条竖直线上；在在第一组热电偶与其所对应的结晶器热面间设有第二组热电偶；所述H≤结晶器的高度；所述d₂≤结晶器的壁厚；步骤二连铸时，以一定的采集频率f测量、存储结晶器壁内，时间[t₁,t₂]热电偶温度；步骤三采用二维传热反问题把[t₁,t₂]时间段，结晶器壁测量的温度转换为结晶器热面热流密度、温度与结晶器壁内的温度；其过程如下：a确定计算域Ω选取矩形区域ABCD为数学计算域，并记为Ω，同时令B为原点O；所述Ω有四个边界，其上、下边界AD、BC分别记为和其左、右边界AB、CD分别记为和b反算法求解传热数学模型反问题目的是：为Ω的三个边界寻找边界热流密度函数和使得正问题方程封闭、而且使得正问题中计算出热电偶所在位置处(x_m,y_m)的温度值等于热电偶的测量值Y_m；于是传热反问题简化为目标函数的最小化过程；所述目标函数的表达式为式(1)：$s\left[Q({\partial \Omega }_{\mathrm{1,2,3}},t)\right]=\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}{\int }_{t_1}^{t_2}{\{Y_m-T_m[t;Q({\partial \Omega }_{\mathrm{1,2,3}},t)\left]\right\}}^2\mathrm{dt}---\left(1\right)$式(1)中：M为矩形区域ABCD不包括CD边在内，所设置热电偶的数目，Y_m和分别为热电偶所在位置处(x_m,y_m)测量的温度值和通过正问题计算的温度值；${\partial \Omega }_1=\left\{(x,y)\right|0\le x\le d_2,y=H\},{\partial \Omega }_2=\{(x,y)|x=\mathrm{0,0}\le y\le H\},{\partial \Omega }_3=\left\{(x,y)\right|0\le x\le d_2,y=0\},$$Q\left({\partial \Omega }_{\mathrm{1,2,3}}\right)=Q\left({\partial \Omega }_1\right)\cup Q\left({\partial \Omega }_2\right)\cup Q\left({\partial \Omega }_3\right);$然后采用共轭梯度法求解目标函数的最小值，其过程如下：第1步令迭代步数i＝0,在时间段[t₁,t₂]内，假设边界的热流密度函数和为常数函数，其值都为常数，所述常数选自0‑2×10⁶中任意一个数值；第2步求解计算域Ω内的传热过程，将待求解的问题转为求解传热偏微分的初边界(正)问题；把假设的j＝1 to 3带入下列正问题T(x,y,t)偏微分方程：$\begin{array}{cc}\mathrm{c\rho }\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}\left(k\frac{\partial T}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(k\frac{\partial T}{\partial y}\right),& (x,y)\in \Omega ,t\in [t_1,t_2]\end{array}---\left(2a\right)$$\begin{array}{cc}k\frac{\partial T}{\partial y}=Q({\partial \Omega }_1,t)& \mathrm{at}{\partial \Omega }_1\end{array}---\left(2b\right)$$\begin{array}{cc}-k\frac{\partial T}{\partial x}=Q({\partial \Omega }_2,t)& \mathrm{at}{\partial \Omega }_2\end{array}---\left(2c\right)$$\begin{array}{cc}-k\frac{\partial T}{\partial y}=Q({\partial \Omega }_3,t)& \mathrm{at}{\partial \Omega }_3\end{array}---\left(2d\right)$$\begin{array}{cc}T(x,y,t)=f({\partial \Omega }_4,t)& \mathrm{at}{\partial \Omega }_4\end{array}---\left(2e\right)$T(x,y,t)＝T_ini                  for t＝t₁.(2f)式(2a)‑(2f)中：c为结晶器的热容，其单位为J/kg；ρ结晶器的密度，其单位为kg/m³；t为时间，其单位为s；k为结晶器的导热系数，其单位为J/(m·s·K)；T_ini为反应计算域Ω内t₁时刻温度分布的函数(函数自变量为x,y)；为t时刻边界的温度，其值由边界上热电偶测量；或者对相邻的两个热电偶温度进行空间线性插值计算他们之间没有热电偶地方的温度，即：$f({\Omega }_4,t)=\left\{\begin{array}{cc}Y(y_m,t),& \left(2g\right)\\ \frac{Y(y_m,t)-Y(y_{m-1},t)}{y_m-y_{m-1}}(y-y_{m-1}),& \left(2h\right)\end{array}\right.$式(2g)是指有热电偶时，边界Ω₄的温度，其值为热电偶位置(d₂,y_m)处t时刻温度测量值Y(y_m,t)，且d₂为第一组热电偶到结晶器热面的距离；式(2h)是指无热电偶时，边界Ω₄的温度，其值为由边界Ω₄上相邻的两个热电偶Y(y_m,t)和Y(y_m‑1,t)的温度对空间进行线性插值计算得到；求解正问题，得到计算域Ω在时间段[t₁,t₂]内的结晶器壁内的温度变化；同时也计算出结晶器热面温度和结晶器内热电偶所在位置处的温度值$T_m[t;Q^i({\partial \Omega }_{\mathrm{1,2},3},t)];$第3步.把第2步计算的热电偶所在位置的温度值代入方程(1)求解得目标函数值并判断下面收敛标准是否成立，$s\left[Q({\partial \Omega }_{\mathrm{1,2,3}},t)\right]\le ϵ---\left(3\right)$式(3)中：由于热电偶测量时含有误差；所述热电偶本身测量误差的标准差为σ，故可以依据Discrepancy Principle计算收敛容差，得ε＝Mσ²(t₂‑t₁)；如果满足，则认为时间段[t₁,t₂]内结晶器热面热流密度为第2步计算得到的结晶器壁温度变化和结晶器热面温度变化为真实值；否则，进入第4步；第4步.把第二步计算的热电偶所在位置的温度值代入下列伴随问题偏微分方程，计算得伴随问题λ(x,y,t)：$\begin{array}{c}[\frac{\partial }{\partial x}\left(k\frac{\partial \lambda }{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(k\frac{\partial \lambda }{\partial y}\right)]+\underset{m=1}{\overset{M_i}{\Sigma }}2\left\{T_m\right[t;Q({\partial \Omega }_{\mathrm{1,2},3},t)]-Y_m\}\delta (x-x_m)\delta (y-y_m)=-\mathrm{\rho c}\frac{\partial \lambda }{\partial t}\\ (x,y)\in \Omega ,t\in (t_1,t_2]\end{array}---\left(4a\right)$$\begin{array}{cc}k\frac{\partial \lambda }{\partial y}=\underset{m=1}{\overset{M_1}{\Sigma }}2\left\{T_m\right[t;Q({\partial \Omega }_{\mathrm{1,2,3}},t)]-Y_m\}\delta (x-x_m)\delta (y-y_m)& \mathrm{at}{\partial \Omega }_1\end{array}---\left(4b\right)$$\begin{array}{cc}-k\frac{\partial \lambda }{\partial x}=0& \mathrm{at}{\partial \Omega }_2\end{array}---\left(4c\right)$$\begin{array}{cc}-k\frac{\partial \lambda }{\partial y}=\underset{m=1}{\overset{M_3}{\Sigma }}2\left[T_m\right[t;Q({\partial \Omega }_{\mathrm{1,2,3}},t)]-Y_m]\delta (x-x_m)\delta (y-y_m)& \mathrm{at}{\partial \Omega }_3\end{array}---\left(4d\right)$$\begin{array}{cc}\lambda (x,y,t)=0& \mathrm{at}{\partial \Omega }_4\end{array}---\left(4e\right)$λ(x,y,t)＝0              for t＝t₂.(4f)式(4a)‑(4d)中：δ(.)为Dirac delta算子；把伴随问题λ(x,y,t)带入梯度公式(5)中，计算得目标函数的梯度$▿s\left[Q({\partial \Omega }_j,t)\right],$$▿s\left[Q({\partial \Omega }_j,t)\right]=\lambda ({\partial \Omega }_j,t).j=1\mathrm{to}3---\left(5\right)$第5步.把第4步的计算的j＝1 to 3带入共轭系数公式(6)中，计算得共轭系数(j＝1 to 3)：${\gamma }_j^i=\max (0,{\gamma }_{j,\mathrm{DY}}^i,{\gamma }_{j,\mathrm{HS}}^i)$当i＝1时，${\gamma }_j^i=0.$       (6)式(6)中：${\gamma }_{j,\mathrm{DY}}^i=\frac{{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_{{\Omega }_j}{\{▿s[Q^i({\partial \Omega }_j,t)\left]\right\}}^2{\mathrm{d\Omega }}_j\mathrm{dt}}{{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_{{\Omega }_j}{d}^{i-1}({\partial \Omega }_j,t)\{▿s[Q^i({\partial \Omega }_j,t)]-▿s[Q^{i-1}({\partial \Omega }_j,t)\left]\right\}{\mathrm{d\Omega }}_j\mathrm{dt}}$${\gamma }_{j,\mathrm{HS}}^i=\frac{{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_{{\Omega }_j}▿s\left[Q^i({\partial \Omega }_j,t)\right]\{▿s[Q^i({\partial \Omega }_j,t)]-▿s[Q^{i-1}({\partial \Omega }_j,t)\left]\right\}{\mathrm{d\Omega }}_j\mathrm{dt}}{{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_{{\Omega }_j}{d}^{i-1}({\partial \Omega }_j,t)\{▿s[Q^i({\partial \Omega }_j,t)]-▿s[Q^{i-1}({\partial \Omega }_j,t)\left]\right\}{\mathrm{d\Omega }}_j\mathrm{dt}}$第6步.把第4步的计算梯度和第5步计算的共轭系数代入搜索方向公式(7)中，计算搜索方向$d^i({\partial \Omega }_j,t)=▿s\left[Q^i({\partial \Omega }_j,t)\right]+{\gamma }_j^i{d}^{i-1}({\partial \Omega }_j,t)---\left(7\right)$第7步.解灵敏度问题偏微分方程$\begin{array}{cc}\mathrm{\rho c}\frac{\partial \mathrm{\Delta T}}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}\left(k\frac{\partial \mathrm{\Delta T}}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(k\frac{\partial \mathrm{\Delta T}}{\partial y}\right),& (x,y)\in \Omega ,t\in [t_1,t_2]\end{array}---\left(8a\right)$$\begin{array}{cc}k\frac{\partial \mathrm{\Delta T}}{\partial y}=\mathrm{\Delta Q}({\partial \Omega }_1,t)& \mathrm{at}{\partial \Omega }_1\end{array}---\left(8b\right)$$\begin{array}{cc}-k\frac{\partial \mathrm{\Delta T}}{\partial x}=\mathrm{\Delta Q}({\partial \Omega }_2,t)& \mathrm{at}{\partial \Omega }_2\end{array}---\left(8c\right)$$\begin{array}{cc}-k\frac{\partial \mathrm{\Delta T}}{\partial y}=\mathrm{\Delta Q}({\partial \Omega }_3,t)& \mathrm{at}{\partial \Omega }_3\end{array}---\left(8d\right)$$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta T}(x,y,t)=0& \mathrm{at}{\partial \Omega }_4\end{array}---\left(8e\right)$ΔT(x,y,t)＝0        for t＝t₁.                  (8f)以第6步计算的搜索方向为已知条件，联立式(8a)‑(8f)，并令$\mathrm{\Delta Q}({\partial \Omega }_1,t)=d^i({\partial \Omega }_1,t)$和$\mathrm{\Delta Q}({\partial \Omega }_2,t)=\mathrm{\Delta Q}({\partial \Omega }_3,t)=0,$计算以第6步计算的搜索方向为已知条件，联立式(8a)‑(8f)，并令$\mathrm{\Delta Q}({\partial \Omega }_2,t)=d^i({\partial \Omega }_2,t)$和$\mathrm{\Delta Q}({\partial \Omega }_1,t)=\mathrm{\Delta Q}({\partial \Omega }_3,t)=0,$计算以第6步计算的搜索方向为已知条件，联立式(8a)‑(8f)，并令$\mathrm{\Delta Q}({\partial \Omega }_3,t)=d^i({\partial \Omega }_3,t)$和$\mathrm{\Delta Q}({\partial \Omega }_1,t)=\mathrm{\Delta Q}({\partial \Omega }_2,t)=0$计算第8步.把第7步的计算的热电偶所在位置处(x_m,y_m)的灵敏度(j＝1 to 3)值代入下面搜索步长方程，计算搜索步长(j＝1 to 3)；$\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}{\int }_{t_1}^{t_2}\left[\begin{array}{ccc}{\left({\mathrm{\Delta T}}_{1,m}^i\right)}^2& {\mathrm{\Delta T}}_{1,m}^i{\mathrm{\Delta T}}_{2,m}^i& {\mathrm{\Delta T}}_{1,m}^i{\mathrm{\Delta T}}_{3,m}^i\\ {\mathrm{\Delta T}}_{2,m}^i{\mathrm{\Delta T}}_{1,m}^i& {\left({\mathrm{\Delta T}}_{2,m}^i\right)}^2& {\mathrm{\Delta T}}_{2,m}^i{\mathrm{\Delta T}}_{3,m}^i\\ {\mathrm{\Delta T}}_{3,m}^i{\mathrm{\Delta T}}_{1,m}^i& {\mathrm{\Delta T}}_{3,m}^i{\mathrm{\Delta T}}_{2,m}^i& {\left({\mathrm{\Delta T}}_{3,m}^i\right)}^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\beta }_1^i\\ {\beta }_2^i\\ {\beta }_3^i\end{array}\right]\mathrm{dt}=\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}{\int }_{t_1}^{t_2}\left[\begin{array}{c}(T_m^i-Y_m^i){\mathrm{\Delta T}}_{1,m}^i\\ (T_m^i-Y_m^i){\mathrm{\Delta T}}_{2,m}^i\\ (T_m^i-Y_m^i){\mathrm{\Delta T}}_{3,m}^i\end{array}\right]\mathrm{dt}---\left(9\right)$第9步.把第6步的计算搜索方向和第8步的计算搜索步长代入下面热流密度更新公式，计算新的j＝1 to 3；$\begin{array}{cc}{q}^{i+1}({\partial \Omega }_j,t)=Q^i({\partial \Omega }_j,t)-{\beta }_j^i{d}^i({\partial \Omega }_j,t)& \mathrm{for\; j}=1\mathrm{to}3\end{array}---\left(10\right)$第10步.令i＝i+l返回第2步，依次循环；直至满足第3步条件，即认为第9步计算得到的热流密度为真实的结晶器热面热流密度，以及第2步计算得到的结晶器壁温度变化和结晶器热面温度变化为真实值。