一种TTI介质稳定的qP波逆时偏移方法

摘要

一种TTI介质稳定的qP波逆时偏移方法，它涉及地震勘探资料处理技术领域，它的发明内容为：在现有TTI介质较稳定qP波方程基础上导出带正则化项的qP波方程，然后进行自适应的正则化参数选择：其中，θ、φ分别为地层的倾角和方位角。它在现有稳定qP传播算子基础上，对qP波方程加入正则化项，在不增加过多计算量和储存量情况下，得到更加稳定的qP波方程，使得TTI介质RTM对模型的适应性更广，增加了算法的实用性；利用地层倾角和方位角信息，自动确定正则化系数的大小，无需人工过多干预，使得正则化方程在处理实际资料时更加稳健。

主权项

一种TTI介质稳定的qP波逆时偏移方法，其特征在于它的主要技术内容为：(A)、带正则化项TTI介质中qP波方程；(a)由弹性波方程导出qP波方程对于TTI介质中做声学近似后的弹性波方程为：$\rho \frac{\partial v_x}{\partial t}=d1\left({\sigma }_{11}\right)+d3({\sigma }_{33}-{\sigma }_{11})$(1)其中微分算子的定义为：对于TTI介质中声学近似后的方程(1)，为了计算效率，忽略其中有关角度的导数项，那么(1)变为：$\rho \frac{\partial v_x}{\partial t}=d1\left({\sigma }_{11}\right)$$\rho \frac{{\partial v}_y}{\partial t}=d2\left({\sigma }_{11}\right)$    $\left(3\right)$$\rho \frac{\partial v_z}{\partial t}=d3\left({\sigma }_{33}\right)$${\partial }_t\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{C}_{11}& C_{13}\\ C_{13}& C_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{d}^{T}1\left(v_x\right)+d^{T}2\left(v_y\right)\\ d^{T}3\left(v_z\right)\end{array}\right]$在密度为1的假设下，其对应的二阶方程可以写为：$\frac{{\partial }^2{\sigma }_H}{\partial t^2}=v_p^2[(1+2ϵ)(d{1}^{T}d1\left({\sigma }_H\right)+d{2}^{T}d2\left({\sigma }_H\right))+\sqrt{(1+2\delta )}d{3}^{T}d3\left({\sigma }_H\right)]$    $\left(4\right)$$\frac{{\partial }^2{\sigma }_v}{\partial t^2}=v_p^2[\sqrt{(1+2\delta )}(d{1}^{T}d1\left({\sigma }_H\right)+d{2}^{T}d2\left({\sigma }_H\right))+d{3}^{T}d3\left({\sigma }_H\right)]$(b)由频散关系导出qP波方程；Flecter(2009)提出利用如下的频散关系导出对应的有限横波方程：${\omega }^4=[(v_{\mathrm{px}}^2+v_{\mathrm{sz}}^2)(k_x^{\prime 2}+k_y^{\prime 2})+(v_{\mathrm{pz}}^2+v_{\mathrm{sz}}^2)k_z^{\prime 2}]{\omega }^2-v_{\mathrm{px}}^2{v}_{\mathrm{sz}}^2{(k_x^{\prime 2}+k_y^{\prime 2})}^2-$    $\left(5\right)$$v_{\mathrm{pz}}^2{v}_{\mathrm{sz}}^2{k}_z^{\prime 4}+[v_{\mathrm{pz}}^2(v_{\mathrm{pn}}^2-v_{\mathrm{px}}^2)-v_{\mathrm{sz}}^2(v_{\mathrm{pn}}^2+v_{\mathrm{pz}}^2)](k_x^{\prime 2}+k_y^{\prime 2})k_z^{\prime 2}$引入适当的中间波场变量后，其对应的有限横波方程为：$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}=[v_p^2(1+2ϵ)H_2+v_{\mathrm{sz}}^2{H}_1]p+[v_p^2-v_{\mathrm{sz}}^2]H_{1}q$    $\left(6\right)$$\frac{{\partial }^{2}q}{\partial t^2}=[(1+2\delta )v_p^2-v_{\mathrm{sz}}^2]H_{2}p+(v_p^2{H}_1+v_{\mathrm{sz}}^2{H}_2)q$其中，$H_1={\sin }^2\theta {\cos }^2\phi \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+{\sin }^2\theta {\sin }^2\phi \frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+{\cos }^2\theta \frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+$${\sin }^2\theta \sin 2\phi \frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}+\sin 2\theta \sin \phi \frac{{\partial }^2}{\partial y\partial z}+\sin 2\theta \cos \phi \frac{{\partial }^2}{\partial x\partial z}$$H_2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}-H_1$(c)带正则化项的稳定的qP波方程在各向同性声波方程求解过程中，Liu(2008)提出了一种抗频散的优化方程，通过修改声波方程对应的频散关系，得到抗频散方程，其基本思想如下：对于各向同性介质中声波方程：$\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^{2}p}{{\partial }^{2}t}={▿}^{2}p---\left(7\right)$平面波解得形式为：$p=a{e}^{i(\mathrm{\omega t}\pm \overrightarrow{k}x)---\left(8\right)}$对于带正则化项各向同性介质中声波方程：$\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^{2}p}{{\partial }^{2}t}={▿}^{2}p+\frac{\sigma }{v}\frac{\partial }{\partial t}{▿}^{2}p---\left(9\right)$其对应的平面波解为：$p=e^{-\frac{\sigma }{2}{k}^2{c}_{0}t}{e}^{i\left[\sqrt{1-\frac{{\sigma }^2{k}^2}{4}}\right]\mathrm{\omega t}\pm \overrightarrow{k}x]}---\left(10\right)$注意到：$1-\frac{{\sigma }^2{k}^2}{4}\approx 1---\left(11\right)$则(10)可以写作：$p=e^{-\frac{\sigma }{2}{k}^2{c}_{0}t}{e}^{i[\mathrm{\omega t}\pm \overrightarrow{k}x]}---\left(12\right)$在求解TTI介质中qP波方程时候，引入正则化项，对不稳定解中无用的高波数成分做适当的衰减，得到更加稳定的方程。对于Flecter提出的有限横波方程，加入如下的正则化项：为了描述简洁，将(6)重写为：$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}=G_p^{1}p+G_p^{2}q$    $\left(13\right)$$\frac{{\partial }^{2}q}{\partial t^2}=G_q^{1}p+G_q^{2}q$加入正则化项后，(9)可以变为：$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}=G_p^{1}p+G_p^{2}q+\sigma \frac{\partial }{\partial t}(G_p^{1}p+G_p^{2}q)$    $\left(14\right)$$\frac{{\partial }^{2}q}{\partial t^2}=G_q^{1}p+G_q^{2}q+\sigma \frac{\partial }{\partial t}(G_q^{1}p+G_q^{2}q)$其中σ是正则化系数，可以验证，求解(14)比求解(13)波场中高波数的不稳定成分更少，从而能使得TTI介质RTM在处理实际资料时适用性更强。对于方程(4)也可以采用类似的思想构建其带正则化项的形式。(B)自适应的正则化参数选择：从(14)可以看出，正则化参数的选取对最终波场计算结果有很大的影响，为了能够使得算法在处理实际资料时更加稳健，利用如下的方式自适应的计算正则化系数：$\sigma =\max \{\mathrm{sqrt}\left({▿}^2\theta \left(\overrightarrow{x}\right)\right),\mathrm{sqrt}\left({▿}^2\phi \left(\overrightarrow{x}\right)\right)---\left(15\right)$其中，θ、φ分别为地层的倾角和方位角。