应用改进微分变换法计算欧拉-伯努利梁固有频率的方法

摘要

本发明涉及应用改进微分变换法计算欧拉-伯努利梁固有频率的方法。首先，以微分变换法为基础推导改进后的微分变换方法；然后建立相应的振动微分方程，将改进后的微分变换法应用于两端自由支撑的均质欧拉-伯努利梁的自由振动问题，将控制微分方程转化为代数方程，将边界条件变为便于计算的代数频率方程；最后进行相应的代数运算，得到微分方程任意阶固有频率与模态振型。本发明应用改进的微分变换法求解均质欧拉-伯努利梁的自由振动问题，通过迭代以收敛级数的形式得到非线性问题的近似解，得到了四阶固有频率与模态振型等闭式解，泰勒展开幂级数的解可以在更大的时间区间收敛、计算过程更加快速、准确。

主权项

1.应用改进微分变换法计算欧拉-伯努利梁固有频率的方法，其特征在于包括以下步骤：步骤1，推导欧拉-伯努利梁自由振动的微分方程，并应用振型叠加法进行变量分离；已知欧拉-伯努利梁自由振动的微分方程为：$\mathrm{EI}\frac{{\partial }^{4}y(x,t)}{{\partial x}^4}+\mathrm{\rho A}\frac{{\partial }^{2}y(x,t)}{{\partial t}^2}=0---\left(1\right)$其中，A为梁的横截面面积，E为杨氏模量，I为梁的惯性矩，ρ单位体积质量，y(x,t)为任意振动模式梁的横向位移；应用振型叠加法进行变量分离得：y(x,t)＝Y(x)Q(t)   (2)其中，Y(x)为梁的振型函数，Q(t)为关于时间t的函数，假设Q(t)的角频率为ω，则有：$\mathrm{EI}\frac{{\partial }^{4}Y\left(x\right)}{{\partial x}^4}+\mathrm{\rho A}{\omega }^{2}Y\left(x\right)=0---\left(3\right)$步骤2，变量无量纲化处理，计算得到相应的无量纲化边界条件；假设L表示横梁的长度，按下式进行无量纲化处理：ξ=x/L,$\bar{Y}=Y/L,$$y=L^2\sqrt{\mathrm{\rho A}/\mathrm{\lambda EI}}---\left(4\right)$将式(4)带入式(3)得：$y\left(\xi \right)=\frac{1}{{\lambda }^2}\frac{{\partial }^{4}y\left(\xi \right)}{\partial {\xi }^4}---\left(5\right)$已知边界条件为：x＝0时，$y(x,t)=\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}=0;$x＝L时，$y(x,t)=\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}=0;$对应的无量纲化的边界条件为：$\left\{\begin{array}{ccc}y\left(\xi \right)=\frac{\partial y\left(\xi \right)}{\partial \xi }=0& \mathrm{at}& \xi =0\\ y\left(\xi \right)=\frac{\partial y\left(\xi \right)}{\partial \xi }=0& \mathrm{at}& \xi =L/L=1\end{array}\right.---\left(6\right)$步骤3，将改进的微分变化法应用到横梁自由振动的偏微分方程；已知对于形如的原函数，其微分转换函数为微分变换中，k为非负整数，f(x)为原函数，F(k)为逆函数；根据公式(5)和改进后的微分变换得：$Y(k+4)=\frac{k!{\lambda }^{2}Y\left(k\right)}{(k+4)!}---\left(7\right)$在ξ＝0，W(0)＝0,W(1)＝0,ξ＝1时，边界条件变为：$\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}Y\left(k\right)=0,$$\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}k(k-1)Y\left(k\right)=0---\left(8\right)$假设Y(2)＝c且Y(3)＝d；当k=0时，可得Y(4)＝0；依次类推，得到k=1，2，……，12时相应的值，根据公式(6)、(7)得到简化方程：$\left\{\begin{array}{cc}Y\left(4k\right)=0& k=\mathrm{0,1,2},···,\\ Y(4k+1)=0& k=\mathrm{0,1,2},···,\\ Y(4k+2)=\frac{2!{\lambda }^{2k}c}{(4k+2)!}& k=\mathrm{1,2},···,\\ Y(4k+3)=\frac{3!{\lambda }^{2k}d}{(4k+3)!}& k=\mathrm{1,2},···,\end{array}\right.---\left(9\right)$将式(9)带入式(8)得：$\left\{\begin{array}{c}\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}Y\left(k\right)=\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{2!{\lambda }^{2k}c}{(4k+2)!}+\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{3!{\lambda }^{2k}d}{(4k+3)!}=0\\ \underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}k(k-1)Y\left(k\right)=\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{2!{\lambda }^{2k}c}{\left(4k\right)!}+\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{3!{\lambda }^{2k}d}{(4k+1)!}=0\end{array}\right.---\left(10\right)$由式(10)得：$\left\{\begin{array}{c}c/d=-\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{3!{\lambda }^{2k}}{(4k+3)!}/\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{2!{\lambda }^{2k}}{(4k+2)!}\\ c/d=-\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{3!{\lambda }^{2k}}{(4k+1)!}/\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{2!{\lambda }^{2k}}{\left(4k\right)!}\end{array}\right.---\left(11\right)$式中λ可以由式(10)解得，f^k(λ)是与k相关的关于λ的多项式，k是属于[0,∞)的变量；由式(9)解得频率方程为：$f^{\left(k\right)}\left(\lambda \right)=\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{3!{\lambda }^{2k}}{(4k+3)!}\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{2!{\lambda }^{2k}}{\left(4k\right)!}-\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{2!{\lambda }^{2k}}{(4k+2)!}\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{3!{\lambda }^{2k}}{(4k+1)!}=0---\left(12\right)$解式(11)可得为i阶无量纲固有频率的估计值，与k相关，如果存在足够小的ε使成立，则为特征值λ_i；对于给定的λ可以根据式(7)和改进后的微分变换求得特征值与描述梁的瞬态挠度形状的模态函数，特征方程为：$y_i\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{{\lambda }_i^{2k}}{(4k+2)!}{x}^{(4k+2)}-\frac{\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{{\lambda }_i^{2k}}{(4k+2)!}}{\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{{\lambda }_i^{2k}}{(4k+3)!}}\underset{k=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{{\lambda }_i^{2k}}{(4k+3)!}{x}^{(4k+3)}---\left(13\right)$