一种平面闭环连杆机构运动过程的模拟方法

摘要

本发明公开了一种平面闭环连杆机构运动过程的模拟方法，第一步，确定平面闭环连杆机构的驱动变量及其初值和终值，并给出驱动变量增量的大小。第二步，计算平面闭环连杆机构所在构形的自由度，判断是否处于运动路径的分歧点处。如果自由度为1，则进行第三步；否则，进行第五步。第三步，运用奇异值分解法得到一个增量步后平面闭环连杆机构的预测构形。第四步，判断预测构形的误差是否为零，对预测构形进行修正。第五步，运用二阶法选择出分歧点运动路径。该发明不仅可以模拟平面闭环连杆机构正常的运动过程，而且可以跨越运动路径的分歧点，并且根据设计者的意愿，选择不同的出分歧点路径，可广泛用于各种平面闭环连杆机构的运动过程分析。

主权项

1.一种平面闭环连杆机构运动过程的模拟方法，其特征在于，包括以下步骤：第一步，将相邻杆件的夹角中的任意一个θ_i设为驱动变量，并给出其初值和终值，驱动变量θ_i的增量△θ_i取为终值与初值差值的1／10000至1／100的任何值，i为连杆机构的杆件编号，分别为1、2、3、…、n，n为平面闭环连杆机构杆件的数量，第二步，利用一阶法计算平面闭环连杆机构所在构形的自由度，判断是否处于运动路径的分歧点，如果自由度为1，则进行第三步；如果自由度大于等于2，则进行第五步，所述计算平面闭环连杆机构所在构形的自由度采用以下方法确定：建立平面闭环连杆机构的运动过程的模拟模型，所述的模拟模型为：I＝T₁T₂T₃…T_i…T_n          (式1)式1中n为平面闭环连杆机构杆件的数量，矩阵I为单位矩阵，T为转换矩阵，则T_i为第i个连杆对应的转换矩阵，表示为：$T_i=\left[\begin{array}{cccc}{\cos \theta }_i& -{\sin \theta }_i& 0& a_i{\cos \theta }_i\\ \sin {\theta }_i& \cos {\theta }_i& 0& a_i\sin {\theta }_i\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$             (式2)其中α_i为杆件i的长度，连接杆件i的节点为节点i和节点门1，θ_i为节点i相邻杆件的夹角，i分别为1、2、3、…、n，将平面闭环连杆机构的初始构形代入式1，得到：I=T₁⁰T₂⁰T₃⁰…T_i⁰…T_n⁰              (式3)其中T_i⁰为第i个节点在初始构形时对应的转换矩阵，向式3输入一个增量△θ_i，平面闭环连杆机构在运动后构形应满足：I=T₁¹T₂¹T₃¹…T_i¹…T_n¹         (式4)其中T_i¹为第i个节点在运动后构形时对应的转换矩阵，矩阵T₁¹,T₂¹,…,T_i¹,…T_n¹所对应的相邻杆件的夹角分别为θ₁¹,θ₂¹,…θ_i¹,…θ_n¹,对上式中的三角函数进行一阶泰勒展开，如下式所示：$\begin{array}{c}\sin {\theta }_i^1=\sin ({\theta }_i^0+{}_{\Delta }\theta _i^0)\approx \sin {\theta }_i^0+\cos {\theta }_i^0\left({}_{\Delta }\theta _i^0\right)\\ \cos {\theta }_i^1=\cos ({\theta }_i^0+{}_{\Delta }\theta _i^0)\approx \cos {\theta }_i^0-{\sin \theta }_i^0\left({}_{\Delta }\theta _i^0\right)\end{array}$        (式5)其中为相邻杆件的夹角θ_i的增量，i＝1、2、3、…、n，将式5代入转换矩阵式2和平面闭环连杆机构的运动过程的模拟模型式4，从而得到平面闭环连杆机构相邻杆件的夹角的增量的一阶方程，将所述有关平面闭环连杆机构相邻杆件的夹角的增量的一阶方程的系数矩阵的非零元素整理为矩阵M，其阶数为n×k，k为每个增量系数矩阵中的非零元素的个数，则一阶方程写为：$M^T{\left[\begin{array}{cccccc}{}_{\Delta }\theta _1^0& {}_{\Delta }\theta _2^0& ···& {}_{\Delta }\theta _i^0& ···& {}_{\Delta }\theta _n^0\end{array}\right]}^T=\left[0\right]$          (式6)其中[0]表示元素都为零的矩阵，上式进一步简化为：M^T_△θ＝[0]           (式7)系数矩阵M的列数减去矩阵M的秩即为平面闭环连杆机构的自由度，第三步，运用奇异值分解法得到一个增量步后平面闭环连杆机构的预测构形：对系数矩阵M进行奇异值分解，得到：M＝USV^T         (式8)式8中U是n×n阶的矩阵，S是n×k阶的半正定对角矩阵，而V是k×k阶的矩阵，从而得到平面闭环连杆机构角度增量预测值的向量：$\Delta \bar{\theta }=\frac{1}{U_{n1}}{U}_n$           (式9)式中：U_n为矩阵U的最后一列向量，U_n1为矩阵U的最后一列中的第一个元素，平面闭环连杆机构相邻杆件夹角的预测值为相邻杆件夹角的初始值加上所求得的增量的预测值为向量中第i个元素，则有${\bar{\theta }}_i={{\theta }_i}^0+{}_{\Delta }\bar{\theta }_i$           (式10)第四步，如果预测构形的误差为零，则第三步给出的预测构形的角度值即为一个增量步后所有相邻杆件的夹角，并储存所述的相邻杆件的夹角值，当所述的相邻杆件的夹角中驱动变量的值小于其终值时，将所述的相邻杆件的夹角作为下一个增量步相邻杆件夹角的初始值，返回第二步，否则，将所有增量步储存的相邻杆件夹角的变化曲线作为连杆机构的运动轨迹，输出运动轨迹，如果误差不为零，则对相邻杆件夹角的预测值进行如下修正：设为的修正值，为修正后的相邻杆件的夹角值，则有$\begin{array}{c}\sin {\bar{\theta }}_i^1=\sin ({\bar{\theta }}_i+{}_{\Delta }\theta _i^{*})\approx \sin {\bar{\theta }}_i+\cos {\bar{\theta }}_i\left({}_{\Delta }\theta _i^{*}\right)\\ \cos {\bar{\theta }}_i^1=\cos ({\bar{\theta }}_i+{}_{\Delta }\theta _i^{*})\approx \cos {\bar{\theta }}_i-\sin {\bar{\theta }}_i\left({}_{\Delta }\theta _i^{*}\right)\end{array}$         (式12)利用式12得到角度修正值的一阶方程，利用最小二乘法求得角度的修正值，则修正后的相邻杆件的夹角值为：${\theta }_i^1={\bar{\theta }}_i+{}_{\Delta }\theta _i^{*}$            (式13)并储存所述的修正后的相邻杆件的夹角值，当所述的修正后的相邻杆件的夹角中驱动变量的值小于其终值时，将所述的修 正后的相邻杆件的夹角作为下一个增量步相邻杆件夹角的初始值，返回第二步，否则，将所有增量步储存的相邻杆件夹角的变化曲线作为连杆机构的运动轨迹，输出运动轨迹，第五步，运用二阶法选择出分歧点运动路径：对第二步中的系数矩阵M进行奇异值分解，得到：M＝USV^T             (式14)式14中U是n×n阶的矩阵，S是n×k阶的半正定对角矩阵，而V是k×k阶的矩阵，从而得到平面闭环连杆机构角度增量的向量△θ：△θ＝U_jβ             (式15)式中：U_j为矩阵U_m中的第j列，U_m为矩阵U所对应的最后m列，j＝1，2，…，m，系数向量β＝[β₁，β₂，…，β_m]^T，m＝机构的自由度数值，对式4中的三角函数进行二阶泰勒展丌：$\begin{array}{c}\sin {\theta }_i^1=\sin ({\theta }_i^0+{}_{\Delta }\theta _i^0)\approx \sin {\theta }_i^0+\cos {\theta }_i^0\left({}_{\Delta }\theta _i^0\right)-\frac{1}{2}\sin {\theta }_i^0{\left({}_{\Delta }\theta _i^0\right)}^2\\ \cos {\theta }_i^1=\cos ({\theta }_i^0+{}_{\Delta }\theta _i^0)\approx \cos {\theta }_i^0-{\sin \theta }_i^0\left({}_{\Delta }\theta _i^0\right)-\frac{1}{2}\cos {\theta }_i^0{\left({}_{\Delta }\theta _i^0\right)}^2\end{array}$       (式16)并代入式4，减去式3后得到角度增量的二阶方程，对二阶方程系数矩阵进行整理，得到二阶方程的矩阵的表示形式：△θ^TW△θ＝[0]         (式17)其中：△θ为平面闭环连杆机构角度增量的向量，W为二阶方程的系数矩阵，将式15代入式17得到：${\beta }^T{U}_j^T{\mathrm{WU}}_j\beta =\left[0\right]$       (式18)由式18求得系数向量β，从而选择不同的运动路径，将系数向量β代入式15即求得平面闭环连杆机构角度增量值△θ_j，则一个增量步后所有相邻杆件的夹角为相邻杆件夹角的初始值θ_i⁰加上所求得的增量的△θ_j，并储存所述的相邻杆件的夹角值，当所述的相邻杆件的夹角中驱动变量的值小于其终值时，将所述的相邻杆件的夹角作为下一个增量步相邻杆件夹角的初始值，返回第二步，否则，将所有增量步储存的相邻杆件夹角的变化曲线作为连杆机构的运动轨迹，输出运动轨迹。