一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法

摘要

一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法，主要步骤如下：1、将原图片表示成矩阵形式，得到带有约束条件的优化问题；2、通过分析，将优化问题转化为迭代优化问题；3、使用TNNR-ADMM算法、TNNR-APGL算法或TNNR-ADMMAP算法求解上述迭代优化问题，优化得到的矩阵Xl即为最后恢复得到的图像X。本发明的有益效果在于：在核范数的基础上提出了矩阵的截断核范数，该范数能更好地逼近矩阵的秩；基于截断核范数的正则项能够更好地控制矩阵低秩特性，更加符合自然图像具有的低秩的本质属性；提出了TNNR-ADMM算法、TNNR-APGL算法和TNNR-ADMMAP算法，优化效率更高、更准确。

主权项

1.一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法，其特征在于：包括如下顺序步骤：第一步、将原图片表示成矩阵形式，记为矩阵集合Ω为没有损坏的像素点的集合，将最后恢复得到的图片记为：矩阵辅助矩阵：m图片长的像素数，n为图片宽的像素数，r为小于m或n的整数，然后将关于图片矩阵X的截断核范数σ_i(X)分裂成两项之和，式中σ₁(X)≥σ₂(X)≥…σ_i(X)≥…≥σ_min{m，s=n}(X)为X的奇异值，得到如下带有约束条件的优化问题：${\left|\right|X\left|\right|}_{*}-{\max }_{{\mathrm{AA}}^T}=I,{\mathrm{BB}}^T=I^{\mathrm{Tr}\left({\mathrm{AXB}}^T\right)},P_{\Omega }\left(X\right)=P_{\Omega }\left(M\right)\left(1\right),$式中||X||_*为矩阵X的核范数，P是投影算子，Tr为对角线元素之和，T为矩阵的转置，I为单位矩阵；第二步、通过对进行分析，我们将补全矩阵X作SVD分解，得到X=UΣV，矩阵U=(u₁,u₂,…u_m)^T,矩阵V=(v₁,v₂,…v_n)^T，最终我们得到如下结论：${\max }_{{\mathrm{AA}}^T}=I,{\mathrm{BB}}^T=I^{\mathrm{Tr}\left({\mathrm{AXB}}^T\right)}=\mathrm{Tr}\left(A_{X}X(B_X{)}^T\right),$矩阵A^*=(u₁,u₂,…u_r),矩阵B^*=(v₁,v₂,…v_r)，将公式1转化为如下优化问题：min{||X||_*-Tr(A^*X(B^*)^T)}，将上述优化问题转化为如下形式的迭代优化问题：1)当前补全矩阵X_l=U_l∑_lV_l,矩阵U_l=(u₁,u₂,…u_m),矩阵V_l=(v₁,v₂,…v_n)，更新矩阵A_l=(u₁,u₂,…u_r)^T,矩阵B_l=(v₁,v₂,…v_r)^T，式中T为矩阵转置；2)更新补全矩阵X_l+1通过X_l+1=argmin_X||X||_*-Tr(A_lXB_l^T)，s.tP_Ω(X)=P_Ω(M)(2)，式中：s.t为所需满足的约束条件，P_Ω为在Ω上的投影算子，P_Ω(X)=P_Ω(M)为X和M在Ω处的值应该相同；第三步、使用TNNR-ADMM算法、TNNR-APGL算法或TNNR-ADMMAP算法求解上述迭代优化问题（2），优化得到的补全矩阵X_l即为最后恢复得到的图像X；所述的TNNR-ADMM算法：先将公式2推导为：min_X,W||X||_*-Tr(A_lWB_l^T)，s.tX=W，P_Ω(W)=PΩ(M)(3);其增广拉格朗日方程为：$L(X,Y,W,\beta )={\left|\right|X\left|\right|}_{*}-\mathrm{Tr}\left(A_l{{\mathrm{WB}}_l}^T\right)+\frac{\beta }{2}{{\left|\right|X-W\left|\right|}_F}^2+$$\mathrm{Tr}\left(Y^T(X-W)\right),$式中：W为矩阵；T为矩阵转置；β为常数；||.||_F为矩阵的Frobenius范数，采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：1)初始化:初始补全矩阵X₁=M_Ω，式中，辅助矩阵W₁=X₁，矩阵Y₁=X₁，常数β=1；2)更新当前补全矩阵式中：Wk为矩阵，Y_k为矩阵；3)更新辅助矩阵W_k+1：$W_{k+1}=X_{k+1}+\frac{1}{\beta }({A_l}^T{B}_l+Y_k),$式中：X_k+1为更新后的补全矩阵，Yx为矩阵；4)更新辅助矩阵W_k+1：$w_{k+1}=P_{{\Omega }^c}\left(W_{k+1}\right)+P_{\Omega }\left(M\right),$式中：Ω^c为Ω的补集，即图片中除Ω之外的像素，为W_k+1在Ω^c上的投影算子；5)更新矩阵Y_k+1:Y_k+1=Y_k+β(X_k+1-W_k+1);6)重复2‐5直到||X_k+1-X_k||_F≤∈式中，||.||_F为矩阵的Frobenius范数；所述的TNNR-APGL算法：首先通过迭代优化问题中公式2的约束条件，将公式2转化为：${\min }_X{\left|\right|X\left|\right|}_{*}-\mathrm{Tr}\left(A_l{{\mathrm{XB}}_l}^T\right)+\frac{\lambda }{2}\left|\right|P_{\Omega }\left(X\right)-$$P_{\Omega }\left(M\right){{\left|\right|}_F}^2,$采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：1)初始化：常数t₁=1，初始矩阵X₁=M_Ω，矩阵Y₁=X₁；2)更新当前补全矩阵Xk+1：3)更新常数t_k+1:式中：t_k为t在第k次迭代后的值；4)更新矩阵Y_k+1：$Y_{k+1}=X_k+\frac{t_k-1}{t_{k+1}}(X_k-X_{k-1});$5)重复2‐5直到||X_k+1-X_k||_F≤∈式中，||.||_F为矩阵的Frobenius范数；所述的TNNR-ADMMAP算法：将公式3的两个约束条件X=W和P_Ω(W)=P_Ω(M)合并成一个约束条件，并引入了一个自适应的惩罚项系数，采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：将公式3重写为：式中，为线性算子：采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：1)初始化：初始补全矩阵X₁=M_Ω，矩阵W₁=X₁，常数k=10^-3，常数ρ₀=1，矩阵Y₁=X₁，常数∈=10^-3以及常数β₀=1；2)更新当前补全矩阵X_k+1：3)更新矩阵W_k+1：$W_{k+1}=\frac{1}{{2\beta }_k}{P}_{\Omega }[{\beta }_k(M-X_{k+1})-({A_l}^t{B}_l+$$(Y_k{)}_{11}+\left(Y_k{)}_{22}\right)]+X_{k+1}+\frac{1}{{\beta }_k}({A_l}^T{B}_l+(Y_k{)}_{11});$4)更新矩阵Y_k+1:5)更新常数β_k+1：β_k+1=min(β_max，ρβ_k);常数$\rho =\left\{\begin{array}{c}{\rho }_0,\mathrm{if}\frac{{\beta }_k\max \{{\left|\right|X_{k+1}-X_k\left|\right|}_F,{\left|\right|W_{k+1}-W_k\left|\right|}_F}{{\left|\right|C\left|\right|}_F}<k\\ 1,\mathrm{otherwise}\end{array}\right.;$6)重复2‐5直到||X_k+1-X_k||_F≤∈。