一种三维输出概率密度函数的动态建模与控制器设计方法

摘要

本发明公开了随机分布控制理论领域中的一种三维输出概率密度函数的动态建模与控制器设计方法。该方法包括以下步骤：步骤1：构建基于平方根B样条模型的三维输出PDF动态模型；步骤2：利用实际系统中采集到的输入输出数据通过递归最小二乘算法建立三维输出PDF的输入输出模型；步骤3：选用瞬时平方根性能指标设计控制器，通过最优化瞬时平方根性能指标设计控制器的控制量，实现系统输出PDF分布形状跟踪给定输出PDF分布的形状；本发明设计了常规优化控制器，通过优化平方根性能指标，实现输出PDF分布对给定输出PDF的跟踪。本发明丰富了三维输出PDF控制理论，为具有三维输出分布特性的工业过程提供了新的方法。

主权项

1.一种三维输出概率密度函数的动态建模与控制器设计方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：步骤1：构建基于平方根B样条模型的三维输出PDF动态模型；所述构建基于平方根B样条模型的三维输出PDF动态模型包括以下步骤：步骤S1：根据二维B样条函数构建三维输出PDF的瞬时平方根B样条模型；用两个一维B样条函数张量积表示二维B样条函数如下：$B_{j,i}(x,r)=B_{j_x{i}_x}\left(x\right)B_{j_r{i}_r}\left(r\right)$其中，由如下递推公式得到：$B_{1,i_x}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x\in [x_{i_x},x_{i_x+1})\\ 0,& x\notin [x_{i_x},x_{i_x+1})\end{array}\right.$$B_{j_x,i_x}\left(x\right)=\frac{x-x_{i_x}}{x_{i_x+j_x-1}-x_{i_x}}{B}_{j_x-1,i_x}\left(x\right)+\frac{x_{i_x+j_x}-x}{x_{i_x+j_x}-x_{i_x+1}}{B}_{j_x-1,i_x+1}\left(x\right)$由如下递推公式得到：$B_{1,i_r}\left(r\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& r\in {[r}_{i_r},r_{i_r+1})\\ 0,& r\notin [r_{i_r},r_{i_r+1})\end{array}\right.$$B_{j_r,i_r}\left(r\right)=\frac{r-r_{i_r}}{r_{i_r+j_r-1}-r_{i_r}}{B}_{j_r-1,i_r}\left(r\right)+\frac{r_{i_r+j_r}-r}{r_{i_r+j_r}-r_{i_r+1}}{B}_{j_r-1,i_r+1}\left(r\right)$其中，B_j,i(x,r)为二维B样条基函数；为一维B样条基函数；为一维B样条基函数；x,r分别为在空间上定义的变量，x∈[a₁,b₁]、r∈[a₂,b₂]；a₁为设定区间内设定的下限值；b₁为设定区间内设定的上限值；[a₁,b₁]为包括a₁和b₁的一个区间；a₂为设定区间内设定的下限值；b₂为设定区间内设定的上限值；[a₂,b₂]为包括a₂和b₂的一个区间；j表示二维B样条的阶次；i表示二维B样条基函数个数；j_x为X轴上选取的基函数的阶次；i_x为X轴上选取的基函数的个数；j_r为R轴上选取的基函数的阶次；i_r为R轴上选取的基函数的个数；为1阶第i_x个B样条函数；为j_x-1阶第i_x个B样条函数；为j_x-1阶第i_x+1个B样条基函数；为节点值，且有$x_{j_x+1}<···<a_1=x_0<···<x_{m_x+1}=b_1<···<x_{m_x+j_x};$m_x为区间[a₁,b₁]内的有效节点数，j_x-1为区间左右两侧的外节点数；为包括和的一个区间；为1阶第i_r个B样条函数；为j_r-1阶第i_r个B样条函数；为j_r-1阶第i_r+1个B样条基函数；为节点值，且有$r_{j_r+1}<···<a_2=r_0<···<r_{m_r+1}=b_2<···<r_{m_r+j_r};$m_r为区间[a₂,b₂]内的有效节点数，j_r-1为区间左右两侧的外节点数；为包括和的一个区间；将二维B样条函数B_j,i(x,r)，省略B样条的阶次j，即二维B样条函数B_j,i(x,r)记为B_i(x,r)；基于二维平方根B样条函数得到三维输出PDF的瞬时平方根B样条模型为：$\sqrt{\gamma (x,r,u_k)}=C_0(x,r)V_k+B_n(x,r){\omega }_n\left(V_k\right)$其中，γ(x,r,u_k)为三维输出概率密度函数；n为选择的二维B样条函数个数，k为采样时刻；C₀(x,r)=[B₁(x,r),B₂(x,r),…,B_n-1(x,r)]，其中，C₀(x,r)为1×(n-1)维基函数变换向量；B_i(x,r)为二维B样条函数；V_k=[ω₁(u_k),ω₂(u_k),…,ω_n-1(u_k)]^T，其中，V_k为k时刻对应的(n-1)×1维权值向量；ω_i(u_k)为依赖于u_k的权值，u_k为k时刻对应的控制作用；B_n(x,r)为二维B样条函数；ω_n(V_k)为第n个基函数对应的权值；步骤S2：在步骤S1的基础上，加入权值的动态变化部分，得到基于平方根B样条模型三维输出PDF动态模型；假定加入的权值动态部分为：V_k=AV_k-1+Bu_k-1其中，A为表示系统动态关系的(n-1)×(n-1)维参数矩阵,B为表示系统动态关系的(n-1)×1维参数矩阵；V_k-1为k-1时刻对应的n-1维权值向量，u_k-1为k-1时刻对应的控制量；基于平方根B样条模型的三维输出PDF动态模型为：$V_k={\mathrm{AV}}_{k-1}+{\mathrm{Bu}}_{k-1}\sqrt{\gamma (x,r,u_k)}=C_0(x,r)V_k+B_n(x,r){\omega }_n\left(V_k\right)$步骤S3：系统的权值向量V_k与第n个基函数对应的权值存在非线性关系，分析得到三维输出PDF动态模型权值之间的动态解耦；所述三维输出PDF动态模型权值之间的解耦公式为：$\left[\begin{array}{c}{V}_k\\ {\omega }_n\left(V_k\right)\end{array}\right]=Q^{-1}\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right]$其中，其中，C₁为k时刻输出概率密度函数均方根与基函数变换矩阵乘积的积分；其中，C₂为k时刻输出概率密度函数均方根与第n个二维基函数B_n(x,r)的积分；$Q=\left[\begin{array}{cc}{\Sigma }_0& {{\Sigma }_1}^T\\ {\Sigma }_1& {\Sigma }_2\end{array}\right],$其中，Q为Σ₀、Σ₁、Σ₂变换形式，当基函数选定后并已知实际系统的输入输出数据时，Q为已知量；其中，Σ₀为基函数变换向量C₀(x,r)的平方值在其定义域内的积分；其中，Σ₁为基函数变换向量C₀(x,r)与第n个基函数乘积在其定义域范围的积分；其中，Σ₂为第n个基函数B_n(x,r)平方在其定义域范围的积分；a₁为X轴设定区间内设定的下限值；b₁为X轴设定区间内设定的上限值；a₂为R轴设定区间内设定的下限值；b₂为R轴设定区间内设定的上限值；Σ₁^T为Σ₁的转置矩阵；步骤S4：分析三维输出PDF动态模型满足自然约束具备的条件为：||V_k||_Σ≤1其中，||V_k||_Σ=V_k^TΣV_k，以上两式中，V_k为k时刻对应的n-1维权值向量；V_k^T为V_k的转置矩阵；Σ为Σ₀、Σ₁和Σ₂的变换向量；步骤2：利用实际系统中采集到的输入输出数据通过递归最小二乘算法建立三维输出PDF的输入输出模型；建立的三维输出PDF的输入输出模型为：$f(x,r,u_k)=\underset{i=1}{\overset{n-1}{\Sigma }}{a}_{i}f(x,r,u_{k-i})+\underset{j=0}{\overset{n-2}{\Sigma }}{C}_0(x,r)D_j{u}_{k-j-1}$其中，$f(x,r,u_k)=\sqrt{\gamma (x,r,u_k)}-B_n(x,r){\omega }_n\left(V_k\right);$以上两式中，f(x,r,u_k)为k时刻对应的输出概率密度函数的变换形式；a_i为k-i时刻对应的f(x,r,u_k-i)的系数；f(x,r,u_k-i)为k-i时刻对应的输出概率密度函数的变换形式；u_k-i为k-i时刻对应的控制作用；u_k-j-1为k-j-1时刻对应的控制作用；D_j=[d_j1,…,d_ji,…,d_j(n-1)]^T为需要辨识的参数；d_ji为与C₀(x,r)中的项相对应的系数；步骤3：选用瞬时平方根性能指标设计控制器，通过最优化瞬时平方根性能指标设计控制器的控制量，实现系统输出PDF分布形状跟踪给定分布输出PDF分布的形状；所述选择的瞬时平方根性能指标为：$J={\int }_{a_2}^{b_2}{\int }_{a_1}^{b_1}{(\sqrt{\gamma (x,r,u_{k+1})}-\sqrt{g(x,r)})}^2\mathrm{dxdr}+{{\mathrm{Ru}}_k}^2$其中，J为瞬时平方根性能指标值；γ(x,r,u_k+1)为三维输出概率密度函数；g(x,r)为给定三维输出PDF分布函数；R为控制作用的约束常量；a₁为X轴设定区间内设定的下限值；b₁为X轴设定区间内设定的上限值；a₂为R轴设定区间内设定的下限值；b₂为R轴设定区间内设定的上限值；通过最优化瞬时平方根性能指标得到控制量如下：$u_k=-\frac{{\int }_{a_2}^{b_2}{\int }_{a_1}^{b_1}\left(C_0(x,r)D_0\hat{g}(x,r)\right)\mathrm{dxdr}}{{\int }_{a_2}^{b_2}{\int }_{a_1}^{b_1}{\left(C_0(x,r)D_0\right)}^2\mathrm{dxdr}+R}$其中，$\hat{g}(x,r)=\underset{i=2}{\overset{n-1}{\Sigma }}(a_{i}f(x,r,k-i+1)+C_0(x,r)D_{i-1}{u}_{k-i+1})+a_{1}f(x,r,k)+B_n(x,r){\omega }_n\left(V_k\right)-\sqrt{g(x,r)};$其中，为已知量与参数的变换形式；f(x,r,k-i+1)为k-i+1时刻对应的输出概率密度函数的变换形式；D₀为辨识出的参数值；所述控制量u_k是通过对g中f(x,r,k)f(x,r,k-1)…f(x,r,k-n+2)ω_n(V_k)和u_k-1u_k-2…u_k-n+2值的调整，实现系统输出PDF分布形状跟踪给定输出PDF分布的形状。