用于数控机床的三角函数二阶连续可导加减速算法

摘要

一种用于数控机床的三角函数二阶连续可导加减速算法，本发明在分析三角函数的特性基础上，结合通用S型加减速曲线算法的优势，提出了改进型的三角函数算法，对于其速度规划进行了详细的阐述，并对于没有匀速运动过程的最高速度的求解提出一种类举式的推算方法，并依据三角函数加减速的运算特性，给出具体求解过程。随后给出其加减速过程的八种情况的仿真结果，验证了方法的可靠，尤其算法在频繁的速度变化中，只进行未含有匀加、减速过程的加减速方式，实现了加加速的连续可导，具有更优的性能表现。

主权项

1.一种用于数控机床的三角函数二阶连续可导加减速算法，其特征在于：定义：j(t)为加加速度；a(t)为加速度；v(t)为速度；s(t)为位移；t为时间；a_ramax为实际采用的最大加速度；j_max表示机床允许的最大的加加速度值；π为圆周率；a_max表示机床允许的最大加速度值；(1)依据正弦曲线及其导数的特性，进行推导可得知，在进行加速运动过程中，其相关公式如下所示：$j\left(t\right)=\frac{\pi }{t_{\mathrm{am}}}·a_{\mathrm{ra}\max }·\cos \frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{am}}}---(3-1);$$a\left(t\right)=a_{\mathrm{ra}\max }·\sin \frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{am}}}---(3-2);$$v\left(t\right)=v_s+a_{\mathrm{ra}\max }·\frac{t_{\mathrm{am}}}{\pi }{a}_{\mathrm{ra}\max }·\frac{t_{\mathrm{am}}}{\pi }\frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{am}}}---(3-3);$$s\left(t\right)=v_{s}t+\frac{a_{\mathrm{ra}\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }\frac{a_{\mathrm{ra}\max }{t^2}_{\mathrm{am}}}{{\pi }^2}\frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{am}}}(3-4);$其中，t∈[0t_am]；其具体约束关系如下：$t_{\mathrm{am}}=\frac{\pi a_{\mathrm{ra}\max }}{j_{\max }}$a_ramax∈[0a_max](3-5)；同时将t＝t_am带入公式(3-5)，得到：$v=v_s+a_{\mathrm{ra}\max }·\frac{t_{\mathrm{am}}}{\pi }+a_{\mathrm{ra}\max }·\frac{t_{\mathrm{am}}}{\pi }---(3-6);$从而推出：$v-v_s={2a}_{\mathrm{ra}\max }·\frac{t_{\mathrm{am}}}{\pi }---(3-7);$又因为公式(3-5)，故此：$a_{\mathrm{ra}\max =}\sqrt{\frac{(v-v_s)j_{\max }}{2}}\le a_{\max }$$t_{\mathrm{am}}=\pi \sqrt{\frac{(v-v_s)}{{2j}_{\max }}}---(3-8);$由上式可知，当时，采用上述的加速方式进行加速运算；当所述加速运动过程的终点速度v与加速运动过程的初始速度v_s之差大于时，则采用如下公式：加加速度：$j\left(t\right)=\frac{\pi }{t_{\mathrm{am}}}{a}_{\max }\cos \left(\frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{am}}}\right)$$0\le t\le \frac{t_{\mathrm{am}}}{2}---(3-9);$j(t)＝0$0\le t\le \frac{v-v_s}{a_{\max }}-\frac{{2t}_{\mathrm{am}}}{\pi }---(3-10);$$j\left(t\right)=\frac{\pi }{t_{\mathrm{am}}}{a}_{\max }\cos \left(\frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{am}}}\right)$$\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}\le t\le t_{\mathrm{am}}---(3-11);$即在所述加速运动过程中，当所述加速度达到最大时，保持一段时间；加速度：$a\left(t\right)=a_{\max }\sin \frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{am}}}$$0\le t\le \frac{t_{\mathrm{am}}}{2}---(3-12);$a(t)＝a_max$0\le t\le \frac{v-v_s}{a}-\frac{{2t}_{\mathrm{am}}}{\pi }---(3-13);$$a\left(t\right)=a_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{am}}}\right)$$\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}\le t\le t_{\mathrm{am}}---(3-14);$速度：$v\left(t\right)=v_s-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }\cos \frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{am}}}+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }$$0\le t\le \frac{t_{\mathrm{am}}}{2}---(3-15);$$v\left(t\right)=v_s+\frac{a_{\max }{t}_m}{\pi }+a_{\max }t$$0\le t\le \frac{v-v_s}{a}-\frac{{2t}_{\mathrm{am}}}{\pi }---(3-16);$$v\left(t\right)=v-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }\left(\frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{am}}}\right)$$\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}\le t\le t_{\mathrm{am}}---(3-17);$$s\left(t\right)=v_{s}t+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }\frac{a_{\max }{t^2}_{\mathrm{am}}}{{\pi }^2}\sin \frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{am}}}$$0\le t\le \frac{t_{\mathrm{am}}}{2}---(3-18);$位移：$s\left(t\right)v_{s}t\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }\frac{1}{2}{a}_{\max }{t}^2$$0\le t\le \frac{v-v_s}{a}-\frac{2t_{\mathrm{am}}}{\pi }---(3-19);$$s\left(t\right)=v(t-\frac{t_{\mathrm{am}}}{2})-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }(t-\frac{t_{\mathrm{am}}}{2})+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}^2}{{\pi }^2}-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}^2}{{\pi }^2}\sin \frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{am}}}$$\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}\le t\le t_{\mathrm{am}}---(3-20);$总共的运行时间：$t_{a\_\mathrm{total}}=t_m+\frac{v-v_s}{a}-\frac{2t_m}{\pi }$带入计算为：$t_{a\_\mathrm{total}}=\frac{v-v_s}{a_{\max }}+(\pi -2)\frac{a_{\max }}{j_{\max }}---(3-21);$其中：t_am表示整个加速运行时间；a_ramax为实际采用的最大加速度；v_s表示加速运动过程的初始速度；v表示加速运动过程的终点速度；(2)减速运动过程是加速运动过程的反过程，下式均为数据型，不含方向矢量，其相关公式如下所示：加加速度：$j\left(t\right)=-\frac{\pi }{t_{\mathrm{dm}}}{a}_{\max }\cos \left(\frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{dm}}}\right)$$0\le t\le \frac{t_{\mathrm{dm}}}{2}---(3-22);$j(t)＝0$0\le t\le \frac{v-v_e}{a_{\max }}-\frac{2t_{\mathrm{dm}}}{\pi }---(3-23);$$j\left(t\right)=-\frac{\pi }{t_{\mathrm{dm}}}{a}_{\max }\cos \left(\frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{dm}}}\right)$$\frac{t_m}{2}\le t\le t_m---(3-24);$加速度：$a\left(t\right)=-a_{\max }\sin \frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{dm}}}$$0\le t\le \frac{t_{\mathrm{dm}}}{2}---(3-25);$a(t)＝-a_max$0\le t\le \frac{v-v_e}{a_{\max }}-\frac{2t_{\mathrm{dm}}}{\pi }---(3-26);$$a\left(t\right)=-a_{\max }\sin \left(\frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{dm}}}\right)$$\frac{t_{\mathrm{dm}}}{2}\le t\le t_{\mathrm{dm}}---(3-27);$速度：$v\left(t\right)=v+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}}{\pi }\cos \frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{dm}}}-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}}{\pi }$$0\le t\le \frac{t_{\mathrm{dm}}}{2}---(3-28);$$v\left(t\right)=v-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}}{\pi }-a_{\max }t$$0\le t\le \frac{v-v_e}{a_{\max }}-\frac{2t_{\mathrm{dm}}}{\pi }---(3-29);$$v\left(t\right)=v_e+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}}{\pi }+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}}{\pi }\cos \left(\frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{dm}}}\right)$$\frac{t_{\mathrm{dm}}}{2}\le t\le t_{\mathrm{dm}}---(3-30);$位移：$s\left(t\right)=\mathrm{vt}-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}}{\pi }t+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}^2}{{\pi }^2}\sin \frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{dm}}}$$0\le t\le \frac{t_{\mathrm{dm}}}{2}---(3-31);$$s\left(t\right)\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}}{\pi }\frac{1}{2}{a}_{\max }{t}^2$$0\le t\le \frac{v-v_e}{a_{\max }}-\frac{2t_{\mathrm{dm}}}{\pi }---(3-32);$$s\left(t\right)v_e(t-\frac{t_{\mathrm{dm}}}{2})\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}}{\pi }(t-\frac{t_{\mathrm{dm}}}{2})-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}^2}{{\pi }^2}+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}^2}{{\pi }^2}\sin \frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{dm}}}$$\frac{t_{\mathrm{dm}}}{2}\le t\le t_{\mathrm{dm}}---(3-33);$其中：t_dm表示整个减速运行时间；a_rdmax表示实际采用的最大减速度；v表示运动过程的初始速度、v_e表示运动过程的终点速度；其中：$t_{\mathrm{dm}}=\frac{\pi a_{\max }}{j_{\max }}---(3-34);$当其不含匀减速部分，即时，减速算法进一步简化为：$j\left(t\right)=-\frac{\pi }{t_{\mathrm{dm}}}·a_{\mathrm{rd}\max }·\cos \frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{dm}}}$$a\left(t\right)=-a_{\mathrm{rd}\max }·\sin \frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{dm}}}$$v\left(t\right)=v-a_{\mathrm{rd}\max }·\frac{t_{\mathrm{dm}}}{\pi }+a_{\mathrm{rd}\max }·\frac{t_{\mathrm{dm}}}{\pi }·\cos \frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{dm}}}---(3-35);$$\begin{array}{cc}s\left(t\right)=\mathrm{vt}-\frac{a_{\mathrm{rd}\max }{t}_m}{\pi }t+\frac{a_{\mathrm{rd}\max }{t}_{\mathrm{dm}}^2}{{\pi }^2}\sin \frac{\mathrm{t\pi }}{t_{\mathrm{dm}}}& t\in \left[0t_{\mathrm{dm}}\right]\end{array}$由上述减速相关公式可以得知：$a_{\mathrm{rd}\max }=\sqrt{\frac{(v-v_e)j_{\max }}{2}}\le a_{\max }---(3-36);$$t_{\mathrm{dm}}=\frac{{\mathrm{\pi a}}_{\mathrm{rd}\max }}{j_{\max }}=\pi \sqrt{\frac{(v-v_e)}{2j_{\max }}}---(3-37);$由上述分析可以得知，整个加减速过程中共存在以下八种情况：(1)加减速过程中均不含有匀速过程，且含有匀速运行过程；(2)加减速过程中均含有匀速过程，且含有匀速运行过程；(3)加减速过程中只有加速度过程中含有匀速过程，且含有匀速运行过程；(4)加减速过程中只有减速度过程中含有匀速过程，且含有匀速运行过程；(5)加减速过程中均没有匀速过程且不含有匀速运行过程；(6)加减速过程中只有减速度过程中含有匀速过程，且不含有匀速运行过程；(7)加减速过程中只有加速度过程中含有匀速过程，且不含有匀速运行过程；(8)加减速过程均含有匀速加减过程，且不含有匀速运行过程；一、整个运动过程中含有匀速运行过程当时，加速过程中不存在匀速过程；反之，则加速过程中存在匀速过程；减速过程是一个与加速度过程相逆的过程，算法一致；对于上述两种情况，由于v，v_s，a_max，j_max已知，故可以求知运行的距离s_a，s_d，而后与整个过程的距离s对比；若s-s_d-s_a≤0，则整个过程不存在匀速运行过程；反之，则存在匀速运行过程，其距离s_y为：s_y＝s-s_d-s_a，其运行时间t_y为：$t_y=\frac{s-s_d-s_a}{v}---(3-38);$二、整个运动过程中未含有匀速运行过程设在整个加减速运动过程中的最大运行速度即取v_s，v_e中的较大的一个速度进行只有加速过程/减速过程未含有匀加速过程/匀减速过程，处于匀加速过程/匀减速过程的临界状态，另一个速度的变化过程中含有匀加速过程或匀减速过程，而后依据位移公式可以得知此种情况下的运行距离：s_{max_1}，而后分以下几种情况：(1)s_{max_1}＜s表示这样获取的速度小于实际可达的最大速度；其加速过程、减速过程均含有匀速过程；假设其匀速加速过程、匀速减速过程的新增运行时间为Δt_{max_1}，并且，v_s＜v_e，则依据位移公式可以得知：$t_{\mathrm{am}}=\frac{{\mathrm{\pi a}}_{\max }}{j_{\max }}$$t_{\mathrm{ay}}=\frac{v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}-v_s}{a_{\max }}-\frac{{2t}_m}{\pi }=\frac{v_e+\frac{{2a}_{\max }^2}{j_{\max }}-v_s}{a_{\max }}-\frac{2\frac{{\mathrm{\pi a}}_{\max }}{j_{\max }}}{\pi }=\frac{v_e-v_s}{a_{\max }}---(3-39);$$t_{\mathrm{dm}}=\frac{{\mathrm{\pi a}}_{\max }}{j_{\max }}$t_dy＝0$s_{\max \_1\_a1}=v_s\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}^2}{{\pi }^2}\sin \frac{\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}\pi }{t_{\mathrm{am}}}=v_s\frac{{\mathrm{\pi a}}_{\max }}{{2j}_{\max }}+\frac{{\mathrm{\pi a}}_{\max }^3}{{2j}_{\max }^2}-\frac{a_{\max }^3}{j_{\max }^2}$$s_{\max \_1\_\mathrm{ay}1}=v_s\frac{v_e-v_s}{a_{\max }}+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }\frac{v_e-v_s}{a_{\max }}+\frac{1}{2}{a}_{\max }{\left(\frac{v_e-v_s}{a_{\max }}\right)}^2$$=v_s\frac{v_e-v_s}{a_{\max }}+\frac{{\mathrm{\pi a}}_{\max }^2}{j_{\max }}\frac{v_e-v_s}{a_{\max }}+\frac{1}{2}{a}_{\max }{\left(\frac{v_e-v_s}{a_{\max }}\right)}^2$$s_{\max \_1\_a2}=(v_e+\frac{{2a}_{\max }^2}{j_{\max }})\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}^2}{{\pi }^2}-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}^2}{{\pi }^2}\sin \frac{t_{\mathrm{am}}\pi }{t_{\mathrm{am}}}$$=(v_e+\frac{{2a}_{\max }^2}{j_{\max }})\frac{{\mathrm{\pi a}}_{\max }}{{2j}_{\max }}-\frac{{\mathrm{\pi a}}_{\max }^3}{{2j}_{\max }^2}+\frac{a_{\max }^2}{j_{\max }^2}$$s_{\max \_1\_d1}=(v_e+\frac{{2a}_{\max }^2}{j_{\max }})\frac{t_{\mathrm{dm}}}{2}-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}}{\pi }\frac{t_{\mathrm{dm}}}{2}+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}^2}{{\pi }^2}\sin \frac{\frac{t_{\mathrm{dm}}}{2}\pi }{t_{\mathrm{dm}}}$$=(v_e+\frac{{2a}_{\max }^2}{j_{\max }})\frac{{2a}_{\max }}{j_{\max }}-\frac{\pi a_{\max }^3}{2j_{\max }^2}+\frac{a_{\max }^3}{j_{\max }^2}$ (3-40)；$s_{\max \_1\_d2}=v_e\frac{t_{\mathrm{dm}}}{2}+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}}{\pi }\frac{t_{\mathrm{dm}}}{2}-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}^2}{{\pi }^2}+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{dm}}^2}{{\pi }^2}\sin \frac{t_{\mathrm{dm}}\pi }{t_{\mathrm{dm}}}$$=v_e\frac{{\mathrm{\pi a}}_{\max }}{{2j}_{\max }}+\frac{{\mathrm{\pi a}}_{\max }^3}{{2j}_{\max }^2}-\frac{a_{\max }^3}{j_{\max }^2}$$S_{\max \_1}=S_{\max \_1\_a1}+S_{\max \_1\_\mathrm{ay}1}+S_{\max \_1\_a2}+S_{\max \_1\_d1}+S_{\max \_1\_d2}$$=(v_s+\frac{{\mathrm{\pi a}}_{\max }^2}{j_{\max }})\frac{v_e-v_s}{a_{\max }}+(v_s+{3v}_e+\frac{{4a}_{\max }^2}{j_{\max }})\frac{{\mathrm{\pi a}}_{\max }}{{2j}_{\max }}+\frac{1}{2}{a}_{\max }{\left(\frac{v_e-v_s}{a_{\max }}\right)}^2---(3-41);$当增加Δt_{max_1}之后，最大速度变为其各个阶段运行增加的位移为：$S_{\max \_1\_\mathrm{ay}1z}=v_s{\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}+\frac{a_{\max }{t}_m}{\pi }{\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}+\frac{1}{2}{a}_{\max }{\left({\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}\right)}^2$(3-42)；$=v_s{\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}+\frac{a_{\max }^2}{j_{\max }}{\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}+\frac{1}{2}{a}_{\max }{\left({\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}\right)}^2$$s_{\max \_1\_\mathrm{dy}1z}=(v_e+\frac{{2a}_{\max }^2}{j_{\max }}){\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}-\frac{a_{\max }{t}_m}{\pi }{\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}\frac{1}{2}{a}_{\max }{\left({\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}\right)}^2$(3-43)；$=(v_e+\frac{{2a}_{\max }^2}{j_{\max }}){\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}-\frac{a_{\max }^2}{j_{\max }}{\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}-\frac{1}{2}{a}_{\max }{\left({\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}\right)}^2$$s_{\max \_1\_\mathrm{ad}1z}=(v_e+\frac{{2a}_{\max }^2}{j_{\max }}+a_{\max }{\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1})({\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}+t_{\mathrm{am}})-(v_e+\frac{{2a}_{\max }^2}{j_{\max }})t_{\mathrm{am}}$$+(v_e+\frac{{2a}_{\max }^2}{j_{\max }}+a_{\max }{\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1})({\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}+t_{\mathrm{dm}})-(v_e+\frac{{2a}_{\max }^2}{j_{\max }})t_{\mathrm{dm}}---(3-44);$$=2(v_e+\frac{{2a}_{\max }^2}{j_{\max }}){\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}+a_{\max }({{2\mathrm{\Delta t}}^2}_{\max \_1}+{\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}{t}_{\mathrm{am}}+{\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}{t}_{\mathrm{dm}})$$S_{\max \_\mathrm{lz}}=S_{\max \_l\_\mathrm{aylz}}+S_{\max \_l\_\mathrm{dylz}}+S_{\max \_l\_\mathrm{adlz}}$$=(v_s+v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }})\Delta t_{\max \_1}+2(v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }})\Delta t_{\max \_1}$(3-45)；$+a_{\max }(2\Delta t_{\max \_1}^2+\Delta t_{\max \_1}{t}_{\mathrm{am}}+\Delta t_{\max \_1}{t}_{\mathrm{dm}})$$=2a_{\max }\Delta t_{\max \_1}^2+(v_s+3v_e+\frac{4a_{\max }^2}{j_{\max }}+t_{\mathrm{am}}+t_{\mathrm{dm}})\Delta t_{\max \_1}$又S_{max_1z}+S_{max_1}＝S，故$2a_{\max }\Delta t_{\max \_1}^2+(v_s+3v_e+\frac{4a_{\max }^2}{j_{\max }}+t_{\mathrm{am}}+t_{\mathrm{dm}})\Delta t_{\max \_1}+$(3-46)；$(v_s+\frac{\pi a_{\max }^2}{j_{\max }})\frac{v_e-v_s}{a_{\max }}+(v_s+3v_e+\frac{4a_{\max }^2}{j_{\max }})\frac{\pi a_{\max }}{2j_{\max }}+\frac{1}{2}{a}_{\max }{\left(\frac{v_e-v_s}{a_{\max }}\right)}^2-s=0$令：A＝2a_max$B=v_s+3v_e+\frac{4a_{\max }^2}{j_{\max }}+t_{\mathrm{am}}+t_{\mathrm{dm}}---(3-47);$$C=(v_s+\frac{\pi a_{\max }^2}{j_{\max }})\frac{v_e{-v}_s}{a_{\max }}+(v_s+3v_e+\frac{4a_{\max }^2}{j_{\max }})\frac{\pi a_{\max }}{2j_{\max }}+\frac{1}{2}{a}_{\max }{\left(\frac{v_e-v_s}{a_{\max }}\right)}^2-s$由此可以得到Δt_{max_1}的唯一解，$\Delta t_{\max \_1}=\frac{-B+\sqrt{B^2-4\mathrm{AC}}}{2A}---(3-48);$进而可以得到：${v=v}_e+\frac{{2a}_{\max }^2}{j_{\max }}+{\mathrm{\Delta t}}_{\max \_1}{a}_{\max };$(2)s_{max_1}＝s表示所选的速度正好满足要求，不需要进行进一步的处理；(3)s_{max_1}＞s表示所选的速度过大，需要进行进一步的处理：在这样的情况下，改取：表示所有的加减速过程中均没有匀加速过程/匀减速过程出现；依据计算获取s_{max_2}而后与s进行比较；I、s_{max_2}＜s表示其中一段具有匀加速运行过程/匀减速运行过程，而另一个速度的运行过程则没有匀加速运行过程/匀减速运行过程；设其加速过程、减速过程的新增运行时间均为Δt_{max_2}，并且v_s＜v_e则依据位移公式可以得知：$t_{\mathrm{am}}=\frac{\pi a_{\max }}{j_{\max }}$$t_{\mathrm{ay}}=\frac{v_s+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}-v_s}{a_{\max }}-\frac{2t_m}{\pi }=\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }{a}_{\max }}-\frac{2\pi a_{\max }}{\pi j_{\max }}=0---(3-49);$$t_{\mathrm{dm}}=\frac{\pi a_{\mathrm{rd}\max }}{j_{\max }}$t_dy＝0又由于：$a_{\mathrm{rd}\max }=\sqrt{\frac{(v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }})j_{\max }}{2}}$所以：$t_{\mathrm{dm}}=\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}$则各个过程的位移：$s_{\max \_2\_a}=v_s{t}_{\mathrm{am}}+\frac{a_{\mathrm{ra}\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }{t}_{\mathrm{am}}-\frac{a_{\mathrm{ra}\max }{t}_{\mathrm{am}}^2}{{\pi }^2}\sin \frac{t_{\mathrm{am}}\pi }{t_{\mathrm{am}}}$(3-50)；$=v_s\frac{\pi a_{\max }}{j_{\max }}+\frac{\pi a_{\max }^3}{j_{\max }^2}$$s_{\max \_2\_d}=(v_s+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }})t_{\mathrm{dm}}-\frac{a_{\mathrm{rd}\max }{t}_{\mathrm{dm}}}{\pi }{t}_{\mathrm{dm}}+\frac{a_{\mathrm{rd}\max }{t}_{\mathrm{dm}}^2}{{\pi }^2}\sin \frac{t_{\mathrm{dm}}\pi }{t_{\mathrm{dm}}}$$=(v_s+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }})\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}-\pi j_{\max }{\left(\sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}\right)}^3---(3-51);$$S_{\max \_2}=S_{\max \_2\_a}+S_{\max \_2\_d}$$=v_s\frac{\pi a_{\max }}{j_{\max }}+\frac{\pi a_{\max }^3}{j_{\max }^2}+(v_s+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }})\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}-\pi j_{\max }{\left(\sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}\right)}^3---(3-52);$设其加减速过程分别增加相同的时间Δt_{max_2}，同时为了能够保证方程可解和运算快捷，对于其在增加的时间段内增加的距离的计算选取加减过程独立运算，即期望速度不一致，其分别增加各自过程的期望速度，进而扩大增加的距离，在进行时间求解时将会获取较小的时间，进而获取其比实际期望速度较小的数值，这样就保证了下次可以以此进行递推和方程的可解；具体运算如下：$v_{\max \_2n}=v_s+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}+a_{\max }\Delta t_{\max \_2}$$t_{\mathrm{am}}=\frac{\pi a_{\max }}{j_{\max }}$t_ay＝Δt_{max_2}(3-53)；$t_{\mathrm{dm}}=\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}+\Delta t_{\max \_2}}$t_dy＝0由公式$t_m=\frac{\pi a_{r\max }}{j_{\max }},$则$a_{\mathrm{rd}\max }=\frac{(\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}+\Delta t_{\max \_2})j_{\max }}{\pi },$但由位移公式可知，当时，相当于扩大减速时的位移；$S_{\max \_2\_\mathrm{an}}=S_{\max \_2\_a1}+S_{\max \_2\_\mathrm{ay}}+S_{\max \_2\_a2}$$=v_s\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}^2}{{\pi }^2}\sin \frac{\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}\pi }{t_{\mathrm{am}}}+v_s\Delta t_{\max \_2}+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }\Delta t_{\max \_2}$$+\frac{1}{2}{a}_{\max }\Delta t_{\max \_2}^2+(v_s+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}+a_{\max }\Delta t_{\max \_2})\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}}{\pi }\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}$$+\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}^2}{{\pi }^2}-\frac{a_{\max }{t}_{\mathrm{am}}^2}{{\pi }^2}\sin \frac{\frac{t_{\mathrm{am}}}{2}\pi }{t_{\mathrm{am}}}$$=\frac{1}{2}{a}_{\max }\Delta t_{\max \_2}^2+(v_s+\frac{a_{\max }^2}{j_{\max }}+\frac{\pi a_{\max }^2}{2j_{\max }})\Delta t_{\max \_2}+v_s\frac{\pi a_{\max }}{j_{\max }}+\frac{\pi a_{\max }^3}{j_{\max }^2}---(3-54);$$S_{\max \_2\_\mathrm{az}}=S_{\max \_2\_\mathrm{an}}-S_{\max \_2\_a}$$=\frac{1}{2}{a}_{\max }\Delta t_{\max \_2}^2+(v_s+\frac{a_{\max }^2}{j_{\max }}+\frac{\pi a_{\max }^2}{2j_{\max }})\Delta t_{\max \_2}---(3-55);$$S_{\max \_2\_\mathrm{dn}}=v_{\max \_2n}{t}_{\mathrm{dm}}-\frac{a_{\mathrm{rd}\max }{t}_{\mathrm{dm}}}{\pi }{t}_{\mathrm{dm}}+\frac{a_{\mathrm{rd}\max }{t}_{\mathrm{dm}}^2}{{\pi }^2}\sin \frac{t_{\mathrm{dm}}\pi }{t_{\mathrm{dm}}}$$=(v_s+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}+a_{\max }\Delta t_{\max \_2})(\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}+\Delta t_{\max \_2})$$-\frac{\sqrt{\frac{(v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }})}{2}}}{\pi }{(\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}+\Delta t_{\max \_2})}^2$$=\Delta {t^2}_{\max \_2}(-\frac{j_{\max }\sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}}{\pi }+a_{\max })$$+(v_s+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}+a_{\max }\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}})$$-2j_{\max }{\left(\sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}\right)}^2)\Delta t_{\max \_2}$$+(v_s+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }})\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}$$-\pi j_{\max }{\left(\sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}\right)}^3---(3-56);$$S_{\max \_2\_\mathrm{dz}}=S_{\max \_2\_\mathrm{dn}}-S_{\max \_2\_d}$$=\Delta t_{\max \_2}^2(-\frac{j_{\max }\sqrt{\frac{v_s-v_e+2a_{\max }^2}{j_{\max }}}}{\pi }+a_{\max })---(3-57);$$+(v_s+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}+a_{\max }\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}-2j_{\max }{\left(\sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}\right)}^2)\Delta t_{\max \_2}$$S_{\max \_2\_\mathrm{dz}}=S_{\max \_2\_\mathrm{az}}-S_{\max \_2\_\mathrm{dz}}$$=\frac{1}{2}{a}_{\max }\Delta t_{\max \_2}^2+(v_s\frac{a_{\max }^2}{j_{\max }}+\frac{\pi a_{\max }^2}{2j_{\max }})\Delta t_{\max \_2}$$+\Delta t_{\max \_2}^2(-\frac{j_{\max }\sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}}{\pi }+a_{\max })$$+(v_s+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}+a_{\max }\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}-2j_{\max }{\left(\sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}\right)}^2)\Delta t_{\max \_2}$$=(-\frac{j_{\max }\sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}}{\pi }+\frac{3}{2}{a}_{\max })\Delta t_{\max \_2}^2$$+(2v_s+\frac{(3+\frac{\pi }{2})a_{\max }^2}{j_{\max }}\frac{(3+\frac{\pi }{2})a_{\max }^2}{j_{\max }}+a_{\max }\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}---(3-58);$$-2j_{\max }{\left(\sqrt{\frac{v_s-v_e+2a_{\max }^2}{2j_{\max }}}\right)}^2)\Delta t_{\max \_2}$又因为：S_{max_2z}＝S-S_{max_2}，则可以简化为：$A=-\frac{j_{\max }\sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}}{\pi }+\frac{3}{2}{a}_{\max }$$B=2v_s+\frac{(3+\frac{\pi }{2})a_{\max }^2}{j_{\max }}+a_{\max }\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}-2j_{\max }{\left(\sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}\right)}^2---(3-59);$C＝-S+S_{max_2}由式可知：$B=2v_s+\frac{(3+\frac{\pi }{2})a_{\max }^2}{j_{\max }}+a_{\max }\pi \sqrt{\frac{v_s+v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}-2j_{\max }{\left(\sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}\right)}^2>0,$该方程具有唯一正解；而后依据获得的Δt_{max_2}值，求得速度为：$v=v_e+a_{\mathrm{rd}\max }·\frac{t_{\mathrm{dm}}}{\pi }-a_{\mathrm{rd}\max }·\frac{t_{\mathrm{dm}}}{\pi }·\cos \frac{t_{\mathrm{dm}}\pi }{t_{\mathrm{dm}}}$$=v_d+2\frac{{(\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}+\Delta t_{\max \_2})}^2{j}_{\max }}{{\pi }^2}$并且：$v_d+2\frac{{(\pi \sqrt{\frac{v_s-v_e+\frac{2a_{\max }^2}{j_{\max }}}{2j_{\max }}}+\Delta t_{\max \_2})}^2{j}_{\max }}{{\pi }^2}<v_n<v_s+2\frac{a_{\max }^2}{j_{\max }}---(3-60);$则再根据位移公式求出在此速度下的位移s_{max_3}，由推导公式可以得知：s_{max_3}＜s，故再重复迭代，直至s-s_{max_n}＜e，迭代截止，从而获取理想的目标速度，e为计算距离时最终允许的误差；II、若x_{max_2}＞s，则v_{max_3}＝max(v_s，v_e)，当s_{max_3}＜s，则表示整个加减速运动过程中，均不存在匀速的加减速出现；若s_{max_2}＝s，则表示所选速度刚好满足要求。