一种消除频谱泄漏的高准确度正弦信号测量方法

摘要

一种消除频谱泄漏的高准确度正弦信号测量装置，它由模拟信号预处理单元、数据采集单元、数字信号处理单元、测量结果显示单元、通信接口单元组成，模拟信号预处理单元和数据采集单元通过多路信号线连接，数字信号处理单元通过SPI总线分别与数据采集单元、测量结果显示单元、通信接口单元连接。其测量方法的步骤是：一、对待测信号连续采样，得到序列S1、S2；二、对S1进行快速傅立叶变换，提取峰值频谱和经过递推得到S2的峰值频谱；三、运用S1和S2峰值频谱算出待测信号的频率；四、根据S1和S2的峰值频谱相角信息算出待测信号的相位；五、解关于正、负频率频谱幅度方程组得到待测信号幅值的测量值；六、去除频谱泄漏的影响，得到直流分量精确测量值。

主权项

1.一种消除频谱泄漏的高准确度正弦信号测量方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：步骤一：对正弦信号连续采样，得到N点数字序列S1，以及将其延迟一个采样周期后的数字序列S2；S1：n=0,1,…,N-1S2：n=0,1,…,N-1N为采样点数，A为正弦信号的幅度，D为直流分量，f为正弦信号频率，T为采样周期，为采样频率；$\omega =2\pi \frac{f}{f_S}=2\pi \frac{q+\theta }{N}$为归一化数字频率；$q=\mathrm{0,1},···,\left[\frac{N}{2}\right],$$-\frac{1}{2}<\theta \le \frac{1}{2},$采样满足Nyquist采样定理；其中[]表示整数部分；步骤二：对序列S1进行快速傅立叶变换即FFT，提取峰值频谱，并经过一步递推得到序列S2的峰值频谱；S1的频谱$X_1\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}{x}_1\left(n\right)·\exp (-j\frac{2\pi }{N}\mathrm{nk})$    k=0,1,…,N-1上式写成(1)其中：第一项为正频率成分频谱；第二项为负频率成分频谱；第三项$X_D\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{DN},& k=0\\ 0,& k=1,···,N-1\end{array}\right.,$为直流分量频谱，前两项共同构成了交流成分的频谱；交流成分峰值频谱为S2的峰值频谱X₂(q)不需要对序列S2作FFT运算，只需利用S1的峰值频谱X₁(q)经过一步递推得到$X_2\left(q\right)=\exp \left(j\frac{2\pi }{N}q\right)[X_1\left(q\right)-x_1\left(0\right)+x_2(N-1)]---\left(3\right)$S1交流峰值频谱用正、负频率成分频谱表示为X₁(q)=A₁·exp(jα₁)+A₂·exp(-jβ₁)             (4)其中正、负频率成分频谱幅值分别为A₁、A₂，对应的相位分别α₁、(-β₁)；S2交流峰值频谱用正、负频率成分频谱表示为X₂(q)=A₁·exp(jα₂)+A₂·exp(-jβ₂)        (5)其中正、负频率成分频谱幅值分别为A₁、A₂，对应的相角分别α₂、(-β₂)；$A_1=\frac{A}{2}·\frac{\sin \mathrm{\pi \theta }}{\sin \frac{\mathrm{\pi \theta }}{N}}$$A_2=\frac{A}{2}·\frac{\sin \mathrm{\pi \theta }}{\sin \frac{\pi (2q+\theta )}{N}}$α₂=α₁+ωβ₂=β₁+ω由上得出$\lambda ={\beta }_1-{\alpha }_1={\beta }_2-{\alpha }_2=2\pi \frac{N-1}{N}q$当频谱峰值下标确定时，λ为一个已知量；步骤三：综合运用S1和S2峰值频谱的幅度和相角之间的耦合关系精确计算出待测信号的频率；S1和S2正、负频率成分的幅度和相角之间不是彼此独立的，而是存在耦合关系的；令$\lambda ={\beta }_1-{\alpha }_1=2\pi \frac{N-1}{N}q,$$k_A=\frac{A_1}{A_2}$则对S1有$U_1=\frac{\mathrm{Re}[X_1\left(q\right)·\exp \left(j\frac{\lambda }{2}\right)]}{\mathrm{Im}[X_1\left(q\right)·\exp \left(j\frac{\lambda }{2}\right)]}=\frac{A_1-A_2}{A_1+A_2}·\mathrm{tg}\frac{{\alpha }_1+{\beta }_1}{2}---\left(6\right)$$\mathrm{tg}\frac{{\alpha }_1+{\beta }_1}{2}=U_1\frac{A_1+A_2}{A_1-A_2}=U_1\frac{k_A+1}{k_A-1}---\left(7\right)$同理，对S2有$U_2=\frac{\mathrm{Re}[X_2\left(q\right)·\exp \left(j\frac{\lambda }{2}\right)]}{\mathrm{Im}[X_2\left(q\right)·\exp \left(j\frac{\lambda }{2}\right)]}=\frac{A_1-A_2}{A_1+A_2}·\mathrm{tg}\frac{{\alpha }_2+{\beta }_2}{2}---\left(8\right)$$\mathrm{tg}\frac{{\alpha }_2+{\beta }_2}{2}=U_2\frac{A_1+A_2}{A_1-A_2}=U_2\frac{k_A+1}{k_A-1}---\left(9\right)$由式(7)和式(9)得到$\mathrm{tg\omega }=\mathrm{tg}(\frac{{\alpha }_2+{\beta }_2}{2}-\frac{{\alpha }_1+{\beta }_1}{2})=\frac{(k_A^2-1)(U_2-U_1)}{{(k_A-1)}^2+U_1{U}_2{\left(k_{A+1}\right)}^2}---\left(10\right)$$(U_2-U_1)\mathrm{ctg\omega }=\frac{k_A-1}{k_A+1}+\frac{k_A+1}{k_A-1}{U}_1{U}_2---\left(11\right)$由$k_A=\frac{A_1}{A_2}=\frac{\sin \frac{\pi (2q+\theta )}{N}}{\sin \frac{\pi \theta }{N}}---\left(12\right)$将式(11)整理为$(U_2-U_1)\frac{1-t{g}^2\frac{q+\theta }{N}\pi }{2\mathrm{tg}\frac{q+\theta }{N}\pi }=\frac{\mathrm{tg}\frac{\mathrm{q\pi }}{N}}{\mathrm{tg}\frac{q+\theta }{N}\pi }+\frac{\mathrm{tg}\frac{q+\theta }{N}\pi }{\mathrm{tg}\frac{\mathrm{q\pi }}{N}}{U}_1{U}_2---\left(13\right)$令$p=\mathrm{tg}\frac{\mathrm{q\pi }}{N},$$y=\mathrm{tg}\frac{q+\theta }{N}\pi$式(13)即为$(U_2-U_1)\frac{1-y^2}{2y}=\frac{p}{y}+\frac{y}{p}{U}_1{U}_2---\left(14\right)$得到$y=\sqrt{\frac{p(U_2-U_1-2p)}{2U_1{U}_2+p(U_2-U_1)}}---\left(15\right)$频谱峰值处频率点对应的归一化数字频率${\omega }_q=\frac{2\pi }{N}q---\left(16\right)$正弦信号归一化数字频率测量值$\hat{\omega }=2\mathrm{arctgy}---\left(17\right)$正弦信号频率精确测量值$\hat{f}=\frac{\hat{\omega }}{2\pi }{f}_S$则θ的精确测量值$\hat{\theta }=\frac{N}{2\pi }(\hat{\omega }-{\omega }_q)---\left(18\right)$步骤四：根据S1和S2的峰值频谱相角信息用几何向量方法精确计算出待测信号的相位；记δ₁=Arg[X₁(q)],δ₂=Arg[X₂(q)]，则$\mathrm{tg}({\delta }_1+{\beta }_1)=\frac{A_1\sin ({\alpha }_1+{\beta }_1)}{A_2+A_1\cos ({\alpha }_1+{\beta }_1)}=\frac{k_A\sin ({\alpha }_1+{\beta }_1)}{1+k_A\cos ({\alpha }_1+{\beta }_1)}---\left(19\right)$$\mathrm{tg}({\delta }_2+{\beta }_2)=\frac{A_1\sin ({\alpha }_2+{\beta }_2)}{A_2+A_1\cos ({\alpha }_2+{\beta }_2)}=\frac{k_A\sin ({\alpha }_2+{\beta }_2)}{1+k_A\cos ({\alpha }_2+{\beta }_2)}---\left(20\right)$由式(19)和式(20)，消去k_A得sin(2α₁+λ+ω)sin(δ₂-δ₁)=sin(δ₁+δ₂+λ)sinω            (21)即上式揭示了S1和S2交流分量频谱峰值的相角与信号的频率、相位的关系；正弦信号相位精确测量值步骤五：运用几何向量方法，通过解关于正、负频率频谱幅度的二元一次方程组得到待测信号幅值的精确测量值；由(4)式得出$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left[X_1\left(q\right)\right]=\left|\right|X_1\left(q\right)\left|\right|\cos {\delta }_1=A_1\cos \alpha +A_2\cos \beta \\ \mathrm{Im}\left[X_1\left(q\right)\right]=\left|\right|X_1\left(q\right)\left|\right|\sin {\delta }_1=A_1\sin \alpha -A_2\sin \beta \end{array}\right.---\left(24\right)$解得$\left\{\begin{array}{c}{A}_1=\left|\right|X_1\left(q\right)\left|\right|\frac{\sin ({\beta }_1+{\delta }_1)}{\sin ({\alpha }_1+{\beta }_1)}\\ A_2=\left|\right|X_1\left(q\right)\left|\right|\frac{\sin ({\alpha }_1-{\delta }_1)}{\sin ({\alpha }_1+{\beta }_1)}\end{array}\right.---\left(25\right)$峰值频谱中正、负频率成分的相角精确计算值为由$A_1=\frac{A}{2}·\frac{\sin \mathrm{\pi \theta }}{\sin \frac{\mathrm{\pi \theta }}{N}}$得到交流分量幅度精确测量值$\hat{A}=2\frac{\sin ({\hat{\beta }}_1+{\delta }_1)\sin \frac{\hat{\omega }-{\omega }_q}{2}}{\sin ({\hat{\alpha }}_1+{\beta }_1)\sin \frac{N(\hat{\omega }-{\omega }_q)}{2}}\left|\right|X_1\left(q\right)\left|\right|---\left(26\right)$步骤六：去除频谱泄漏对直流分量频谱的影响，得到直流分量的精确测量值；由(1)式考虑直流分量的精确测量值