一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数计算方法

摘要

本发明涉及一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数的计算方法，运用复数运算的泰勒展式得到高精度的正弦/余弦函数值；所述方法包括：设计三个子模块，分别是，相位细分模块，初值计算模块和迭代求解模块；其中，相位细分模块将需要求取三角函数相位值分为N份，N为正整数；初值计算模块计算得出细分后相位的三角函数值，并作为迭代初值；迭代求解模块将初值代入计算方程式进行迭代计算，迭代次数越多，所得正弦/余弦值计算精度越高；最后，运用欧拉公式可将迭代结果转换为对应待求相位的正弦/余弦值。

主权项

1.一种基于欧拉公式的高精度正弦/余弦函数的计算方法，其特征在于，该方法包括下述步骤：步骤一，相位细分；将待求相位η细分为2^N份，所述待求相位η的取值范围是[0,2π]，细分后的相位τ₀为：τ₀＝η/2^N    (1)步骤二，初值计算；针对细分后的相位代入欧拉公式进行复数值的计算，所述复数值的计算采用了泰勒展开式，理论上可以展开成无穷多项，但在实现时，考虑到高次幂对复数值的贡献很小，故取前五项参与运算：$\cos {\tau }_0+i\sin {\tau }_0=e^{i{\tau }_0}\approx 1+i{\tau }_0+\frac{{\left(i{\tau }_0\right)}^2}{2}+\frac{{\left(i{\tau }_0\right)}^3}{6}+\frac{{\left(i{\tau }_0\right)}^4}{24}---\left(2\right)$(2)中，令$T_0=i{\tau }_0+\frac{{\left(i{\tau }_0\right)}^2}{2}+\frac{{\left(i{\tau }_0\right)}^3}{6}+\frac{{\left(i{\tau }_0\right)}^4}{24},$得T₀就是所述的迭代初值。步骤三，迭代求解；所述迭代次数为步骤一中定义的N，迭代结果进行变换后得到待求相位η的正弦/余弦值，根据(1)可知，η＝2^N×τ₀，所述变换依据欧拉公式进行；迭代过程中每次参与迭代相位值都是前次参与迭代相位值的2倍，迭代公式基于多项式的平方公式，第i+1(i＝0,1,2,3，...N-1)次迭代的相位τ_i+1的复数值与第i次迭代相位τ_i的复数值具有相同的表现形式：$\left\{\begin{array}{c}{e}^{i{\tau }_i}=1+T_i\\ e^{i{\tau }_{i+1}}=e^{i(2\times {\tau }_i)}={(1+T_i)}^2=1+2T_i+T_i^2=1+T_{i+1}\end{array}\right.---\left(3\right)$所述迭代公式为T_i+1＝2T_i+T_i²        (4)所得正弦/余弦计算值为$\left\{\begin{array}{c}\cos \eta =\mathrm{img}\left(e^{\mathrm{i\eta }}\right)=\mathrm{img}\left(e^{i{\tau }_N}\right)=\mathrm{img}(1+T_N)\\ \sin \eta =\mathrm{real}\left(e^{\mathrm{i\eta }}\right)=\mathrm{real}\left(e^{i{\tau }_N}\right)=\mathrm{real}(1+T_N)\end{array}\right.---\left(5\right)$