一种海洋环境与声场不确实性的表征和传递的快速计算方法

摘要

本发明涉及声学领域，具体涉及一种海洋环境与声场不确实性的表征和传递的快速计算方法，解决的问题是不确实环境参量和不确实声压场的随机谱表征，以及不确实性如何从环境参量传递到声压场。本发明对不确实环境参量和不确实声压场分别建立以已知量为中心的领域空间，并对不确实量作概率密度函数描述，根据概率密度函数作不确实量的多项式混沌展开随机谱表征，进一步将多项式混沌随机谱表征与确定波方程相结合，导出嵌入不确实性的随机波方程，获得不确实性系数的偏微分方程组，最后得到由不确实性系数加权的多项式混沌基函数线性叠加构成的不确实声压场。本发明有益的效果：得到的不确实声压场与MonteCarlo得到的结果完全一致，其计算速度提高了10倍以上。

主权项

1.一种海洋环境与声场不确实性的表征和传递的快速计算方法，其特征在于：一、海洋环境不确实性和声场不确实性的表征：(1)海洋环境不确实性表征用向量b表征环境参量，用b₀表示我们利用测量或反演方法获得的已知环境参量，作为不确实环境参量的均值，不确实环境参量采用参量不确实性域来表征，它表示了环境参量落在b₀附近的一个领域之中，用概率密度函数p(b)表征不确实环境参量的分布，表征了环境参量不确实性的范围，下面对不确实环境参量作多项式混沌展开随机谱表征；步骤一：将不确实性环境参量空间表示成随机变量b；步骤二：将不确实环境参量b分解为确实性部分和随机扰动部分：b(r，z)＝b₀+δb(r，z)    (1)其中b₀为确定性部分，δb为随机扰动部分，r，z分别表示距离和深度；步骤三：根据环境参量b的概率概率密度分布p(b)，对随机扰动部分作多项式混沌展开：$\mathrm{\delta b}(r,z;\theta )=\underset{s=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}{\alpha }_s(r,z){\Lambda }_s\left(\xi \left(\theta \right)\right),---\left(2\right)$式中Λ_s(ξ(θ))是对应环境参量b概率密度分布的随机多项式混沌基函数，θ为随机参量空间α_s(r，z)是随机扰动环境参量投影到随机多项式混沌基函数得到的确定性系数；步骤四：对无穷多阶多项式混沌展开作有限截取对不同分布的环境参量利用对应的多项式混沌基函数展开，展开的阶数是有限的；步骤五：多项式混沌项数确定随机环境参量b由多个元素构成，b＝[b₁b₂...b_n]，根据最小均方误差准则，n维随机变量b所必需的多项式项数为(n+S)！/n！S！；其中S为多项式混沌的阶数；环境参量b选取为水层的声速梯度，则b(r，z，θ)＝c(r，z，θ)＝c₀(z)+δc(r，z，θ)    (3)(2)声场不确实性表征①确实的环境参量b₀驱动声传播模型产生确实的声场p₀；②不确实环境参量空间对应不确实声场空间③用概率密度函数p(p)表征不确实声场的分布；④表征了声场不确实性的范围；同样，对不确实声场也作多项式混沌展开随机谱表征；步骤一：不确实声场作多项式混沌展开：$p(r,z;\theta )=\underset{q=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}{\gamma }_q(r,z){\Lambda }_q\left(\xi \left(\theta \right)\right)---\left(4\right)$步骤二：对无穷多阶多项式混沌展开作有限截取根据最小均方误差准则，对无穷多阶多项式混沌展开作有限阶Q的截取：$p(r,z;\theta )\approx \underset{q=0}{\overset{Q}{\Sigma }}{\gamma }_q(r,z){\Lambda }_q\left(\xi \left(\theta \right)\right)---\left(5\right)$式中p(r，z；θ)为预测的随机声压场；二、环境参量不确实性到声场不确实性的传递方法：将环境参量与预测声场的多项式随机谱表征与确实性波方程相结合，得到嵌入不确实性的随机波方程，实现环境参量不确实性到声场不确实性的传递，具体步骤如下：(1)确定性波方程到随机波方程步骤一：基于简正波传播模型的确定性波方程${▿}^{2}p+{\kappa }^{2}p=0---\left(6\right)$式中表示拉普拉氏算子，κ是波数，κ＝ω/c(z)，ω为角频率；步骤二：随机扰动声速作二项式展开对随机扰动声速作二项式展开，并保留一阶项，则不确实声速的波数可近似为，${\tilde{\kappa }}^2=\frac{{\omega }^2}{c_0^2{(1+\mathrm{\delta c})}^2}\approx {\kappa }^2(1-\frac{2\mathrm{\delta c}(r,z;\theta )}{c_0\left(z\right)})---\left(7\right)$步骤三：确定性波方程推广到随机波方程将近似的波数代入到确定性波方程，将确定性波方程推广到随机波方程：$\frac{{\partial }^{2}p(r,z;\theta )}{{\partial r}^2}+\frac{{\partial }^{2}p(r,z;\theta )}{{\partial z}^2}+{\kappa }^{2}p-{2\kappa }^2\frac{\mathrm{\delta c}(r,z;\theta )}{c_0(r,z)}p=0---\left(8\right)$将式(3)和式(4)代入(8)式，并对等式两边同时乘以Λ₁(ξ(θ))，然后通过系总平均将各项投影到基空间，可得$\underset{q=0}{\overset{Q}{\Sigma }}\frac{{\partial }^2{\gamma }_q(r,z)}{{\partial r}^2}<{\Lambda }_q{\Lambda }_1>+\underset{q=0}{\overset{Q}{\Sigma }}\frac{{\partial }^2{\gamma }_q(r,z)}{{\partial z}^2}<{\Lambda }_q{\Lambda }_1>+{\kappa }^2\underset{q=0}{\overset{Q}{\Sigma }}{\gamma }_q(r,z)<{\Lambda }_q{\Lambda }_1>$(9)$-\frac{2{\kappa }^2}{c_0\left(z\right)<{\Lambda }_1^2>}\underset{q=0}{\overset{Q}{\Sigma }}\underset{s=0}{\overset{Q}{\Sigma }}{\alpha }_s(r,z){\gamma }_q(r,z)<{\Lambda }_q{\Lambda }_s{\Lambda }_1>=0$将混沌基函数的正交性应用于上述方程，得到一组声场不确实性系数的耦合差分方程，$\underset{q=0}{\overset{Q}{\Sigma }}\frac{\partial {\gamma }_1^2(r,z)}{{\partial r}^2}+\underset{q=0}{\overset{Q}{\Sigma }}\frac{{\partial }^2{\gamma }_1(r,z)}{{\partial z}^2}+{\kappa }^2\underset{q=0}{\overset{Q}{\Sigma }}{\gamma }_1(r,z)-\frac{{2\kappa }^2}{c_0\left(z\right)<{\Lambda }_1^2>}\underset{q=0}{\overset{Q}{\Sigma }}\underset{s=0}{\overset{Q}{\Sigma }}{\alpha }_s(r,z){\gamma }_q(r,z)<{\Lambda }_q{\Lambda }_s{\Lambda }_1>=0---\left(10\right)$以高斯分布随机声速进行下面公式的推导，δc(r，z，θ)＝α₀He₀+α₁He₁+…＝σξ，ξ是均值为0，方差为1的高斯随机变量；将δc代入(10)式给出第1个不确实系数的耦合方程：$\frac{{\partial }^2{\gamma }_1(r,z)}{{\partial r}^2}+\frac{{\partial }^2{\gamma }_1(r,z)}{{\partial z}^2}+{\kappa }^2{\gamma }_1(r,z)-\frac{{2\kappa }^2\sigma }{c_0<{\mathrm{He}}_1^2>}\underset{q=0}{\overset{\infty }{\Sigma }}{\gamma }_q(r,z)<H{e}_q\xi {\mathrm{He}}_1>=0---\left(11\right)$利用Hermite基函数的回归特性和正交性，计算耦合项的系总平均，得到系数γ₁的偏微分回归方程：$\frac{{\partial }^2{\gamma }_1(r,z)}{{\partial r}^2}+\frac{{\partial }^2{\gamma }_1(r,z)}{{\partial z}^2}+{\mathrm{D\gamma }}_1(r,z)-E\sqrt{l}{\gamma }_{l-1}(r,z)-E\sqrt{l+1}{\gamma }_{l+1}(r,z)=0---\left(12\right)$式中D≡κ²，E≡2κ²σ/c₀；用向量-矩阵形式，上述偏微分方程可化简为$\frac{{\partial }^2\gamma }{{\partial r}^2}+\frac{{\partial }^2\gamma }{{\partial z}^2}+\mathrm{A\gamma }=0---\left(13\right)$式中，A为环境参量不确实性到声场不确实性的耦合方程，A是对称的三角阵；(2)求解随机波方程得到不确实声场步骤一：耦合矩阵A特征值分解$A=\underset{q=1}{\overset{Q}{\Sigma }}{\lambda }_q{g}_q{g}_q^T---\left(14\right)$式中，上标T表示转置，G＝[{g₁}，{g₂}，…]为耦合矩阵A的特征向量矩阵，GG^-1＝I，(13)式可以表示为$\frac{{\partial }^2{G}^{-1}\gamma }{{\partial r}^2}+\frac{{\partial }^2{G}^{-1}\gamma }{{\partial z}^2}+G^{-1}{\mathrm{AGG}}^{-1}\gamma =0---\left(15\right)$令上式可以简化为$\frac{{\partial }^2\hat{\gamma }}{{\partial r}^2}+\frac{{\partial }^2\hat{\gamma }}{{\partial z}^2}+\Omega \hat{\gamma }=0---\left(16\right)$式中，Ω＝G^-1AG为对角阵，对角阵元素为特征值λ₁，λ₂，…，利用特征值和特征向量分解技术，得到第1个确定系数的波方程$\frac{{\partial }^2{\hat{\gamma }}_1}{{\partial r}^2}+\frac{{\partial }^2{\hat{\gamma }}_1}{{\partial z}^2}+{\lambda }_1{\hat{\gamma }}_1=0,---\left(17\right)$步骤二：确定系数求解等式(17)与标准波方程(6)有相同的形式，因而求解过程与标准的波方程求解过程是一样的；的解表示为${\hat{\gamma }}_u(r,z)=\frac{i}{\sqrt{8\mathrm{\pi r}}}{e}^{-i\frac{\pi }{4}}{a}_{u0}\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}\frac{{\psi }_m\left(z_s\right){\psi }_m\left(z\right)}{\sqrt{k_{\mathrm{rm}}}}{e}^{{\mathrm{ik}}_{\mathrm{rm}}r}---\left(18\right)$式中k_rm、ψ_m(z)分别是水平波数和模深度函数，由简正波传播模型求解得到，a_u0表示矩阵A的特征向量的逆的第一列中的第u个元素，在声速梯度不确实情况下，模深度函数没有受到不确实声速的影响，但声速梯度不确实导致了水平波数的不确实，其中k_zm是深度波数，根据γ₁与的关系式，系数γ₁是的线性组合${\gamma }_1=\underset{u=0}{\overset{Q}{\Sigma }}{g}_{1u}{\hat{\gamma }}_u(r,z)---\left(19\right)$步骤三：Q个多项式混沌基函数的确定性系数加权累加得到不确实性声场最后，在远场近似下的不确实性声场可表示为：$p(r,z;\theta )=\underset{q=0}{\overset{Q}{\Sigma }}\left[\underset{u=0}{\overset{Q}{\Sigma }}{g}_{\mathrm{qu}}{\hat{\gamma }}_u(r,z)\right]{\Lambda }_q\left(\xi \left(\theta \right)\right)$(20)$=\underset{q=0}{\overset{Q}{\Sigma }}\left[\underset{u=0}{\overset{Q}{\Sigma }}{g}_{\mathrm{qu}}\left(\frac{i}{\sqrt{8\mathrm{\pi r}}}{e}^{-i\frac{\pi }{4}}{a}_{u0}\underset{m=1}{\overset{M}{\Sigma }}\frac{{\psi }_m\left(z_s\right){\psi }_m\left(z\right)}{\sqrt[4]{{\lambda }_u-k_{\mathrm{zm}}^2}}{e}^{i\sqrt{{\lambda }_u-k_{\mathrm{zm}}^2}r}\right)\right]{\Lambda }_q\left(\xi \left(\theta \right)\right)$若SSP是确实的，则上式中只有γ₀是不等于0的，此时式(20)收敛到声速确知时的声场简正模表达式；步骤四：不确实性声场的均值和相关函数由多项式混沌展开的不确实声场是随机声场，其均值可表示为$<p(r,z;\theta )>={\hat{\gamma }}_0(r,z)---\left(21\right)$相关函数为$R_{\mathrm{pp}}(r_1,z_1;r_2,z_2)=\underset{q=1}{\overset{Q}{\Sigma }}{\hat{\gamma }}_q*(r_1,z_1){\hat{\gamma }}_q(r_2,z_2)---\left(22\right).$