基于结构模态试验的矩阵型动力学模型修正方法

摘要

本发明公布了一种基于结构模态试验的矩阵型动力学模型修正方法。它是利用多次同时改变结构质量分布和刚度后产生的新结构的模态实验结果，运用矩阵计算和代数方程求解，计算出有限元模型的质量阵和刚度阵的修正量。本发明提高了有限元模型的修正精度，简单易行。

主权项

1.一种基于结构模态试验的矩阵型动力学模型修正方法，其特征是：首先对原结构进行模态测试，得到原结构的振型Φ和频率Λ；然后分多次同时改变结构的质量分布和结构刚度，并对产生的新结构进行模态测试，得到第i次改变结构后新结构的振型Φ_aⁱ和频率Λ_aⁱ，其中i为大于等于1的自然数；测试模态数为N_e，有限元模型自由度与模态测试自由度均为N，则测试得到的原结构的频率Λ和新结构的频率Λⁱ_a规模均为N_e×N_e，原结构的振型Φ和新结构的振型Φⁱ_a规模均为N×N_e；原结构有限元模型修正后的质量矩阵M和刚度矩阵K均为未知量，规模为N×N；第i次结构质量矩阵的改变量Mⁱ_a和刚度矩阵的改变量K_aⁱ均为已知量，规模为N×N，其中N为大于1的自然数；此时原结构模态满足，MΦΛ＝KΦ                                 (1)第i次改变结构质量和刚度后，新结构模态满足，$(M+M_a^i){\Phi }_a^i{\Lambda }_a^i=(K+K_a^i){\Phi }_a^i---\left(2\right)$将式(1)转置再后乘Φⁱ_a，得到，$\Lambda {\Phi }^{T}M{\Phi }_a^i={\Phi }^{T}K{\Phi }_a^i---\left(3\right)$用Φ^T前乘式(2)得，${\Phi }^T(M+M_a^i){\Phi }_a^i{\Lambda }_a^i={\Phi }^T(K+K_a^i){\Phi }_a^i---\left(4\right)$式(3)、式(4)两式相减得，$\Lambda {\Phi }^{T}M{\Phi }_a^i-{\Phi }^{T}M{\Phi }_a^i{\Lambda }_a^i={\Phi }^T{M}_a^i{\Phi }_a^i{\Lambda }_a^i-{\Phi }^T{K}_a^i{\Phi }_a^i---\left(5\right)$由于M为原结构质量阵，未知，令：$P^i={\Phi }^{T}M{\Phi }_a^i---\left(6a\right)$$Q^i={\Phi }^T{M}_a^i{\Phi }_a^i{\Lambda }_a^i-{\Phi }^T{K}_a^i{\Phi }_a^i---\left(6b\right)$其中矩阵Pⁱ、Qⁱ的维数均为N_e×N_e；式(5)化为，$\Lambda P^i-P^i{\Lambda }_a^i=Q^i---\left(7\right)$由于Λ和Λ_aⁱ都是对角阵，式(7)可展开为N_e×N_e个代数方程，$({\lambda }_j-{\lambda }_{\mathrm{ak}}^i)P_{\mathrm{jk}}^i=Q_{\mathrm{jk}}^i---\left(8\right)$j、k为Pⁱ、Qⁱ矩阵中元素的下标，λ_j为原结构的第j个测试特征值，λ_akⁱ为第i次结构质量和刚度改变后新结构的第k个测试特征值；原结构有限元模型修正前的质量矩阵和刚度矩阵分别为M₀和K₀，为已知量，规模为N×N，原结构有限元模型质量矩阵和刚度矩阵的修正量分别为ΔM和ΔK，为未知量，规模为N×N；则有，M＝M₀+ΔM                                              (9a)K＝K₀+ΔK                                              (9b)原结构有限元模型质量矩阵的修正如下：将式(9a)代入式(6a)后得到，${\Phi }^T\mathrm{\Delta M}{\Phi }_a^i=P^i-{\Phi }^T{M}_0{\Phi }_a^i---\left(10a\right)$设$P^i-{\Phi }^T{M}_0{\Phi }_a^i=R^i---\left(10b\right)$将式(10a)行拉直后再转置，即由矩阵论知识知，等式(11a)左边为${\left[\mathrm{rvec}\left({\Phi }^T\mathrm{\Delta M}{\Phi }_a^i\right)\right]}^T=\mathrm{vec}\left[{\left({\Phi }^T\mathrm{\Delta M}{\Phi }_a^i\right)}^T\right]=\mathrm{vec}\left[{\left({\Phi }_a^i\right)}^T\Delta M^T\Phi \right]$(11b)$=[{\Phi }^T\otimes {\left({\Phi }_a^i\right)}^T]·\mathrm{vec}\left(\Delta M^T\right)=[{\Phi }^T\otimes {\left({\Phi }_a^i\right)}^T]·{\left[\mathrm{rvec}\left(\mathrm{\Delta M}\right)\right]}^T$则等式(11a)即为将等式(11c)记为Aⁱδm＝rⁱ                               (11d)其中$A^i={\Phi }^T\otimes {\left({\Phi }_a^i\right)}^T---\left(11e\right)$δm＝[ΔM₁₁…ΔM_1N|ΔM₂₁…ΔM_2N|……|ΔM_N1…ΔM_NN]^T    (11f)$r^i={[R_{11}^i...R_{1N}^i|R_{21}^i...R_{2N}^i|......|R_{N1}^i...R_{\mathrm{NN}}^i]}^T---\left(11g\right)$其中Aⁱ矩阵维数为N_e²×N²；分G次改变原结构的质量和刚度，并对所产生的新结构进行模态测试，然后将得到的G个方程(11d)联立求解得：$\left\{\begin{array}{c}{A}^1\\ A^2\\ ·\\ ·\\ ·\\ A^G\end{array}\right\}\mathrm{\delta m}=\left\{\begin{array}{c}{r}^1\\ r^2\\ ·\\ ·\\ ·\\ r^G\end{array}\right\}---\left(12a\right)$将求得的列向量δm矩阵化为N×N的矩阵ΔMΔM＝[unvec_N×N(δm)]^T                                       (12b)即$\mathrm{\Delta M}={\left[\begin{array}{cccc}\delta m_1& \delta m_{N+1}& ···& \delta m_{(N-1)\times N+1}\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ \delta m_N& \delta m_{2N}& ···& \delta m_{N^2}\end{array}\right]}^T---\left(12c\right)$原结构有限元模型刚度矩阵的修正包括如下两种方法：(1)ΔK＝(M₀+ΔM)ΦΛΦ^T(ΦΦ^T)^-1-K₀；(2)用Λ^-1前乘式(3)可得，${\Lambda }^{-1}{\Phi }^{T}K{\Phi }_a^i={\Phi }^{T}M{\Phi }_a^i---\left(14\right)$用(Λⁱ_a)^-1后乘式(4)可得，将式(14)、式(15)两式相减得，${\Lambda }^{-1}{\Phi }^{T}K{\Phi }_a^i-{\Phi }^{T}K{\Phi }_a^i{\left({\Lambda }_a^i\right)}^{-1}={\Phi }^T{K}_a^i{\Phi }_a^i{\left({\Lambda }_a^i\right)}^{-1}-{\Phi }^T{M}_a^i{\Phi }_a^i---\left(16\right)$设$S^i={\Phi }^T{K}_a^i{\Phi }_a^i{\left({\Lambda }_a^i\right)}^{-1}-{\Phi }^T{M}_a^i{\Phi }_a^i---\left(17a\right)$$U^i={\Phi }^{T}K{\Phi }_a^i---\left(17b\right)$Λ^-1、(Λⁱ_a)^-1为对角矩阵，将式(17a)和式(17b)代入式(16)并展开后，可得$(\frac{1}{{\lambda }_j}-\frac{1}{{\lambda }_{\mathrm{ak}}^i})U_{\mathrm{jk}}^i=S_{\mathrm{lk}}^i---\left(18\right)$将式(9b)代入式(17b)，可以得到令$U^i-{\Phi }^T{K}_0{\Phi }_a^i=T^i---\left(19b\right)$将式(19a)行拉直后再转置，即由矩阵论知识知，等式(20a)左边为${\left[\mathrm{rvec}\left({\Phi }^T\mathrm{\Delta K}{\Phi }_a^i\right)\right]}^T=\mathrm{vec}\left[{\left({\Phi }^T\mathrm{\Delta K}{\Phi }_a^i\right)}^T\right]=\mathrm{vec}\left[{\left({\Phi }_a^i\right)}^T\Delta K^T\Phi \right]$(20b)$=[{\Phi }^T\otimes {\left({\Phi }_a^i\right)}^T]·\mathrm{vec}\left(\Delta K^T\right)=[{\Phi }^T\otimes {\left({\Phi }_a^i\right)}^T]·{\left[\mathrm{rvec}\left(\mathrm{\Delta K}\right)\right]}^T$则等式(20a)即为$[{\Phi }^T\otimes {\left({\Phi }_a^i\right)}^T]·{\left[\mathrm{rvec}\left(\mathrm{\Delta K}\right)\right]}^T={\left[\mathrm{rvec}\left(T^i\right)\right]}^T---\left(20c\right)$将等式(20c)记为Aⁱδk＝tⁱ                                    (20d)其中$A^i={\Phi }^T\otimes {\left({\Phi }_a^i\right)}^T---\left(20e\right)$δk＝[ΔK₁₁…ΔK_1N|ΔK₂₁…ΔK_2N|……|ΔK_N1…ΔK_NN]^T                  (20f)$t^i={[T_{11}^i...T_{1N}^i|T_{21}^i...T_{2N}^i|......|T_{N1}^i...T_{\mathrm{NN}}^i]}^T---\left(20g\right)$将分G次改变原结构的质量和刚度所产生的新结构进行模态测试，然后将得到的G个方程(20d)联立求解得$\left\{\begin{array}{c}{A}^1\\ A^2\\ ·\\ ·\\ ·\\ A^G\end{array}\right\}\mathrm{\delta k}=\left\{\begin{array}{c}{t}^1\\ t^2\\ ·\\ ·\\ ·\\ t^G\end{array}\right\}---\left(21a\right)$其中i＝1、2、3.....G；将求得的列向量δk矩阵化为N×N的矩阵ΔKΔK＝[unvec_N×N(δk)]^T                                               (21b)即$\mathrm{\Delta K}={\left[\begin{array}{cccc}\delta k_1& \delta k_{N+1}& ···& \delta k_{(N-1)\times N+1}\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ \delta k_N& \delta k_{2N}& ···& \delta k_{N^2}\end{array}\right]}^T---\left(21c\right)$将修正矩阵ΔM和ΔK代入式(9a)、(9b)即得原系统有限元模型修正后的质量矩阵M和刚度矩阵K。