MEMS系统级设计中的一种变截面梁建模方法

摘要

本发明公开了一种微机电系统(MEMS)系统级设计中的变截面梁建模方法，属于微机电系统设计领域。该方法的主要过程为：首先建立变截面梁的局部坐标系，然后根据结构力学和结构矩阵分析理论分别推导出局部坐标系下变截面梁刚度矩阵、阻尼矩阵和质量矩阵，并利用这些矩阵建立变截面梁的二阶动力学方程，最后利用硬件描述语言对二阶动力学方程进行编码，实现变截面梁的参数化系统级组件建模。本发明提出的针对宽度随长度方向线性变化的变截面梁的系统级建模方法，解决了当前对具有此种结构的MEMS器件无法进行系统级仿真设计的问题。

主权项

1.一种MEMS系统级设计中的一种变截面梁建模方法，其特征在于，包括如下步骤：步骤一：建立变截面梁的三维局部坐标系坐标系xyz：已知变截面梁弹性模量E，泊松比为υ，密度为ρ，阻尼系数为B′，l为梁长度，t为厚度，w1为端面1的宽度，w2为端面2的宽度且w1≤w2，以变截面梁的长度方向为x轴，宽度方向为y轴，厚度方向为z轴建立局部坐标系xyz，x_Cy_Cz_C为全局坐标系；步骤二：根据结构力学得到变截面梁在xoy平面内的弯曲刚度矩阵[k_yij](i＝1，2、j＝1，2)和在xoz平面内的弯曲刚度矩阵[k_zij](i＝1，2、j＝1，2)：令：$A_1=\frac{6l}{\mathrm{Et}}\frac{(w1+w2)}{{w2}^2{w1}^2}$$B_1=-\frac{6l^2}{\mathrm{Et}}\frac{1}{{w2}^{2}w1}$$C_1=-\frac{6l^2}{\mathrm{Et}}\frac{1}{{w2}^{2}w1}$$D_1=\frac{{6l}^3}{\mathrm{Et}}\frac{({3w2}^2+2\ln \left(w1\right){w2}^2-4w1w2-2\ln \left(w2\right){w2}^2+{w1}^2)}{{(w1-w2)}^3{w2}^2}$$A_2=\frac{6l}{\mathrm{Et}}\frac{(w1+w2)}{{w2}^2{w1}^2}$$B_2=-\frac{6l^2}{\mathrm{Et}}\frac{1}{{w1}^{2}w2}$C₂＝B₂$D_2=\frac{{6l}^3}{\mathrm{Et}}\frac{({-3w1}^2-2\ln \left(w2\right){w1}^2+4w1w2-{w2}^2+2\ln \left(w1\right){w1}^2)}{{(w1-w2)}^3{w1}^2}$$A_3=\frac{12l}{{\mathrm{Et}}^3}\frac{\ln (w1/w2)}{w1-w2}$$B_3=\frac{{12l}^3}{{\mathrm{Et}}^3}\frac{w1\ln \left(w1\right)-w1+w2-w1\ln \left(w2\right)}{{(w1-w2)}^2}$C₃＝B₃$D_3=\frac{{6l}^3}{{\mathrm{Et}}^3}\frac{-3{w1}^2-2{w1}^2\ln \left(w2\right)+4w1w2-{w2}^2+2{w1}^2\ln \left(w1\right)}{{(w1-w2)}^3}$$A_4=\frac{12l}{{\mathrm{Et}}^3}\frac{\ln (w1/w2)}{w1-w2}$$B_4=\frac{-12l^2}{{\mathrm{Et}}^3}\frac{w1-w2+w2\ln \left(w2\right)-w2\ln \left(w1\right)}{{(w1-w2)}^2}$C₄＝B₄$D_4=\frac{{6l}^3}{{\mathrm{Et}}^3}\frac{3{w2}^2+2{w2}^2\ln \left(w1\right)-4w1w2-2{w2}^2\ln \left(w2\right)+{w1}^2}{{(w1-w2)}^3}$则：$k_{y11}=\left[\begin{array}{cc}\frac{A_1}{A_1{D}_1-B_1{C}_1}& \frac{B_1}{A_1{C}_1-A_1{D}_1}\\ \frac{B_1}{B_1{C}_1-A_1{D}_1}& \frac{D_1}{A_1{D}_1-B_1{C}_1}\end{array}\right]$$k_{y21}=\left[\begin{array}{cc}\frac{{-A}_1}{A_1{D}_1-B_1{C}_1}& \frac{-B_1}{A_1{C}_1-A_1{D}_1}\\ \frac{{A_{1}l-B}_1}{B_1{C}_1-A_1{D}_1}& \frac{B_{1}l-D_1}{A_1{D}_1-B_1{C}_1}\end{array}\right]$$k_{y22}=\left[\begin{array}{cc}\frac{A_2}{A_2{D}_2-B_2{C}_2}& \frac{B_2}{A_2{C}_2-A_2{D}_2}\\ \frac{B_2}{B_2{C}_2-A_2{D}_2}& \frac{D_2}{A_2{D}_2-B_2{C}_2}\end{array}\right]$$k_{y12}=\left[\begin{array}{cc}\frac{{-A}_2}{A_2{D}_2-B_2{C}_2}& \frac{-B_2}{A_2{C}_2-A_2{D}_2}\\ \frac{A_{2}l-B_2}{B_2{C}_2-A_2{D}_2}& \frac{B_{2}l-D_2}{A_2{D}_2-B_2{C}_2}\end{array}\right]$$k_{z11}=\left[\begin{array}{cc}\frac{A_3}{A_3{D}_3-B_3{C}_3}& \frac{B_3}{A_3{C}_3-A_3{D}_3}\\ \frac{B_3}{B_3{C}_3-A_3{D}_3}& \frac{D_3}{A_3{D}_3-B_3{C}_3}\end{array}\right]$$k_{z21}=\left[\begin{array}{cc}\frac{-A_3}{A_3{D}_3-B_3{C}_3}& \frac{{-B}_3}{A_3{C}_3-A_3{D}_3}\\ \frac{A_{3}l-B_3}{B_3{C}_3-A_3{D}_3}& \frac{B_{3}l-D_3}{A_3{D}_3-B_3{C}_3}\end{array}\right]$$k_{z22}=\left[\begin{array}{cc}\frac{A_4}{A_4{D}_4-B_4{C}_4}& \frac{B_4}{A_4{C}_4-A_4{D}_4}\\ \frac{B_4}{B_4{C}_4-A_4{D}_4}& \frac{D_4}{A_4{D}_4-B_4{C}_4}\end{array}\right]$$k_{z12}=\left[\begin{array}{cc}\frac{-A_4}{A_4{D}_4-B_4{C}_4}& \frac{-B_4}{A_4{C}_4-A_4{D}_4}\\ \frac{A_{4}l-B_4}{B_4{C}_4-A_4{D}_4}& \frac{B_{4}l-D_4}{A_4{D}_4-B_4{C}_4}\end{array}\right]$步骤三：计算变截面梁的轴向拉压刚度系数k_x1、k_x2和扭转刚度系数k_t1、k_t2：$k_{x1}=\frac{1}{{\int }_0^1\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{Ew}\left(x\right)t}}$$k_{t1}=\frac{1}{{\int }_0^1\frac{7}{2G}[\frac{1}{{\mathrm{tw}}^3\left(x\right)}+\frac{1}{t^{3}w\left(x\right)}]\mathrm{dx}}$k_x2＝-k_x1k_t2＝-k_t1其中，G＝E/(2+υ)为剪切模量；步骤四：将上述推导出的弯曲刚度矩阵[k_yij]、[k_zij](i＝1，2、j＝1，2)、轴向拉压刚度系数k_x1、k_x2和扭转刚度系数k_t1、k_t2按照矩阵方式表出，最终得出在局部坐标系下维数为12×12的变截面梁刚度矩阵K：步骤五：根据矩阵结构分析理论得到变截面梁在局部坐标系下的阻尼矩阵B、质量矩阵M，B＝B′∫_vN^TNdVM＝ρ∫_vN^TNdV式中，V为变截面梁体积，其中，ξ＝x/l、η＝y/l、ζ＝z/l，y的变化范围为z的变化范围为(-t/2，t/2)步骤六：根据结构矩阵分析理论将局部坐标系下变截面梁的刚度矩阵K、阻尼矩阵B和质量矩阵M，转换成全局坐标系下变截面梁的刚度矩阵K_C、阻尼矩阵B_C和质量矩阵M_C$\left\{\begin{array}{c}{K}_C={\lambda }^T\mathrm{K\lambda }\\ B_C={\lambda }^T\mathrm{B\lambda }\\ M_C={\lambda }^T\mathrm{M\lambda }\end{array}\right.$式中，$\lambda =\left[\begin{array}{ccc}\cos \gamma \cos \beta & \sin \gamma \cos \beta & -\sin \beta \\ -\sin \gamma \cos \alpha +\cos \gamma \sin \beta \sin \alpha & \cos \gamma \cos \alpha +\sin \gamma \sin \beta \sin \alpha & \cos \beta \sin \alpha \\ \sin \gamma \sin \alpha +\cos \gamma \sin \beta \cos \alpha & -\cos \gamma \sin \alpha +\sin \gamma \sin \beta \cos \alpha & \cos \beta \cos \alpha \end{array}\right]$其中α、β、γ分别为局部坐标系x、y、z轴与全局坐标系x_C、y_C、z_C轴之间的夹角；步骤七：利用全局坐标系下的刚度矩阵K_C、阻尼矩阵B_C和质量矩阵M_C建立结构的二阶动力方程$K_C{X}_C+B_C{\stackrel{·}{X}}_C+M_C{\stackrel{··}{X}}_C{=F}_C$其中X_C、F_C为全局坐标系下梁节点产生的位移和所受的合外力；步骤八：应用硬件描述语言对步骤七得到的结构二阶动力方程编码，得倒变截面梁的系统级组件模型。