一种改进的三角函数切换算法

摘要

本发明公开了一种改进的三角函数切换算法，与现有技术相比，本发明在多个输入同时作用下的复合运动分解为单个控制输入下的简单运动，同时以三角函数作为控制输入，结合时间尺度变换技术可使速度输入曲线变得平缓，克服了bang‑bang和分段常数法中输入切换处路径不光滑和过高波动的问题。

主权项

一种改进的三角函数切换算法，其特征在于：由链式系统数学模型的三角结构形式知，在控制输入[0,a_i sinωt][a_i+1sinωt,0]的二次切换作用下，链式变量的运动在时间τ∈[(k+(i+1)/s)δ,(k+(i‑1)/s)δ]上被分解为两部分，即[0,Δz₂,0,…,0]，[Δz₁,0,Δz₃,…,Δz_n]，其中要使包含链式变量{z₃,z₄,…,z_n}的n‑2个线性无关的方程有解，v₁必然最少经过n‑2次切换输入，v₂最少需要n‑1次切换输入，因此三角函数控制输入的切换次数最少为2n‑3次，故链式系统路径规划的运动时间被等分的次数不低于2n‑3，下面给出具体的证明：定理1在控制输入$v=[v_1,v_2]=\left\{\begin{array}{cc}[0,b_1(1-cos\omega t)]& t\in [k\delta ,(k+1/s)\delta ]\\ [b_2(1-cos\omega t),0]& t\in [(k+1/s)\delta ,(k+2/s)\delta ]\\ [0,b_3(1-cos\omega t)]& t\in [(k+2/s)\delta ,(k+3/s)\delta ]\\ [b_4(1-\cos \omega t),0]& t\in [(k+3/s)\delta ,(k+4/s)\delta ]\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}& \begin{array}{c}\\ \\ \end{array}\end{array}\right.---\left(4\right)$的作用下，两输入n维链式系统可以从初始位形z⁰运动到邻域内的目标位形z^f，其中系统的运动控制时间T最少等分2n‑3次；式(4)仍然是将链式系统运动的时间等分为s段，但在每一段上用一个周期的余弦曲线作为控制输入，这样做的好处是同时保证了位移曲线和速度曲线都是光滑的；下面给出算法定理1的数学证明；证明：时间T被等分为2n‑3次，每一个时间段长度为η＝T/(2n‑3)，在奇数时间段上t∈[t_2i,t_2i+1]上(i∈{0,1,2,…,n‑2})，等分的时间间隔表示为η＝t_2i+1‑t_2i,，因此在奇数时间段上的式(4)可以表示为$\left\{\begin{array}{c}{v}_1=0\\ v_2=b_{2i+1}(1-cos\omega t)\end{array}\right.,t\in [t_{2i},t_{2i+1}]---\left(5\right)$式(5)中b_2i+1是待定系数，角频率ω＝2π/η，代入到式(21)逐步积分，$\left\{\begin{array}{c}{z}_1\left(t_{2i+1}\right)=z_1\left(t_{2i}\right)\\ z_2\left(t_{2i+1}\right)=b_{2i+1}\eta +z_2\left(t_{2i}\right)\\ z_3\left(t_{2i+1}\right)=z_3\left(t_{2i}\right)\\ ...\\ z_n\left(t_{2i+1}\right)=z_n\left(t_{2i}\right)\end{array}\right.---\left(6\right)$类似的，在偶数时间段上t∈[t_2j+1,t_2j+2](j∈{0,1,2,…,n‑3})，等分的时间间隔表示为η＝t_2j+2‑t_2j+1，因此算法式(4)在偶数段上有，$\left\{\begin{array}{c}{v}_1=b_{2j+2}(1-cos\omega t)\\ v_2=0\end{array}\right.---\left(7\right)$将式(7)代入到链式系统在时间t∈[t_2i+1,t_2i+2]上积分，得：$\left\{\begin{array}{c}{z}_1\left(t_{2j+2}\right)=b_{2j+2}\eta +z_1\left(t_{2j+1}\right)\\ z_2\left(t_{2j+2}\right)=z_2\left(t_{2j+1}\right)\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ z_n\left(t_{2j+2}\right)=\underset{k=1}{\overset{n-2}{\Sigma }}\frac{{\left(b_{2j+2}\eta \right)}^k{z}_{n-k}\left(t_{2j+1}\right)}{k!}+z_n\left(t_{2j+1}\right)\end{array}\right.---\left(8\right)$通过迭代计算式(6)和式(8)，得到系统运动到时间T的目标位形zf，$\left\{\begin{array}{c}{z}_1^f=\underset{j=0}{\overset{n-3}{\Sigma }}{b}_{2j+2}\eta +z_1^0\\ z_2^f=\underset{i=0}{\overset{n-2}{\Sigma }}{b}_{2i+1}\eta +z_2^0\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ z_n^f=\underset{i=0}{\overset{n-3}{\Sigma }}\frac{{\left(\underset{j=i}{\overset{n-3}{\Sigma }}{b}_{2j+2}\eta \right)}^{n-2}}{\left(n-2\right)!}{b}_{2i+1}\eta +\underset{k=1}{\overset{n-2}{\Sigma }}\frac{{\left(\underset{j=0}{\overset{n-3}{\Sigma }}{b}_{2j+2}\eta \right)}^k}{k!}{z}_{n-k}^0+z_n^0\end{array}\right.---\left(9\right)$式(9)中含有n个方程和2n‑3个待定系数，将所有待定系数重新表示为两个系数矢量B_O＝[b₁,b₃,…,b_2n‑3]^T和B_E＝[b₂,b₄,…,b_2n‑4]^T，其中B_O和B_E分别称为奇数时间段系数矢量和偶数时间段系数矢量；由式(9)知B_E中n‑2个元素满足，$\underset{j=0}{\overset{n-3}{\Sigma }}{b}_{2j+2}=\frac{z_1^f-z_1^0}{\eta }---\left(10\right)$任意给定一组满足式(10)的B_E，当时，B_O中n‑1个系数可以由式(9)中剩余的n‑1个方程唯一确定；证毕；当时，有由式(9)知奇数时间段的系数矢量B_O无解；解决的办法是设置一个中间位形且满足系统的路径规划问题分为两个步骤，第一步先控制系统从初始位形z⁰运动到中间位形z^c，然后将中间位形z^c看成一个新的初始位形，控制系统运动到目标位形z^f；故当时，系统的路径就是以z^c为中间位形、首尾连接的两段路径组成。