一种随机右截尾型寿命数据分布检验方法

摘要

一种随机右截尾型寿命数据分布检验方法，步骤有：1.根据数据的特点并结合产品自身特征，选定寿命分布；2.整理数据，对寿命数据值进行排序；3.计算其中完全数据的平均秩次；4.利用该平均秩次对所有数据划分区间并把其端点处完全数据对应平均秩次的差值分别作为这组随机右截尾型寿命数据落在每个区间上的观察频数；5.求出寿命分布中参数的极大似然估计；6.估计出产品寿命落在每个区间上的期望频数；7.利用观察频数和期望频数计算皮尔逊χ²检验统计量值，给定显著性水平α，由χ²分布分位点求出临界值，比较检验统计量值和临界值的大小，判定这组随机右截尾型寿命数据是否服从初步选定的寿命分布。该方法为随机右截尾型寿命数据的分布检验提供了有效途径。

主权项

一种随机右截尾型寿命数据分布检验方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：步骤一：对于给定的一组随机右截尾型寿命数据(t_i,δ_i)，其中t_i是寿命数据值，δ_i是作截尾标志的布尔变量，首先根据这组数据的特征并结合产品自身特点，初步选定产品的寿命分布；其中，i＝1,2,…,n；该寿命分布包括指数分布、威布尔分布、正态分布和对数正态分布；建立原假设H₀：产品寿命分布函数F(t；θ)＝F₀(t；θ)；其中，F₀(t,θ)是初步选定的寿命分布函数，θ＝(θ₁,θ₂,…,θ_m)是分布函数中未知参数矢量，θ₁,θ₂,…,θ_m是分布函数的m个未知参数；步骤二：整理数据将所有的寿命数据值t_i从小到大进行排序，得到t₍₁₎≤t₍₂₎≤…≤t_(n)，当t_(i)是完全数据时，记δ_(i)＝0；当t_(i)是右截尾数据时，记δ_(i)＝1，整理后的数据表示为(t_(i),δ_(i))，其中完全数据共有y个；其中，i＝1,2,…,n；步骤三：对于整理后的随机右截尾型寿命数据(t_(i),δ_(i))，计算y个完全数据对应的平均秩次，其计算方法如下所示：其中，i＝1,2,…,n；$A_j=A_{j-1}+\frac{n+1-A_{j-1}}{n-i+2}---\left(13\right)$其中：j是将所有完全数据按大小排列的顺序号；i是第j个完全数据在所有数据中按大小排列的顺序号；A_j是第j个完全数据在所有数据中的平均秩次；步骤四：根据步骤三中计算的结果，将这组随机右截尾型寿命数据中y个顺序排列的完全数据按照其对应的平均秩次划分为k个互不相容的区间，其中k为不大于的最大整数，y为这组数据中所有完全数据的个数，并使得划分后的每个区间上两个端点处完全数据所对应平均秩次的差值(ΔA)_i相等，把(ΔA)_i作为这组随机右截尾型寿命数据落在第i个区间[t_(i1),t_(i2))上的观察频数n_i，其中t_(i1),t_(i2)分别表示第i个区间上两个端点处的完全数据；其中，i＝1,2,…,k；步骤五：根据这组随机右截尾型寿命数据，计算初步选定的寿命分布中参数θ的极大似然估计初步选定的寿命分布中参数θ的极大似然估计的求解方法如下所示：1)指数分布的似然函数是：$L\left(\lambda \right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}{\left(\lambda \exp \right\{-{\mathrm{\lambda t}}_i\left\}\right)}^{1-{\delta }_i}{\left(\exp \right\{-{\mathrm{\lambda t}}_i\left\}\right)}^{{\delta }_i}---\left(14\right)$其中，(t_i,δ_i)是上述介绍的随机右截尾型寿命数据，t_i是寿命数据值，δ_i是作截尾标志的布尔变量，λ是指数分布中未知参数θ；找出一个使得式(14)中L(λ)取最大值，则是指数分布参数θ＝λ的极大似然估计；其中，i＝1,2,…,n；2)威布尔分布的似然函数是：$L(\eta ,m)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}{\left[\frac{m}{\eta }{\left(\frac{t_i}{\eta }\right)}^{m-1}{e}^{-{(t_i/\eta )}^m}\right]}^{1-{\delta }_i}{\left[e^{-{(t_i/\eta )}^m}\right]}^{{\delta }_i}---\left(15\right)$其中，(t_i,δ_i)是上述介绍的随机右截尾型寿命数据，t_i是寿命数据值，δ_i是作截尾标志的布尔变量，(η,m)是威布尔分布中未知参数θ；找出一个使得式(15)中L(η,m)取最大值，则是威布尔分布参数θ＝(η,m)的极大似然估计；其中，i＝1,2,…,n；3)正态分布的似然函数是：$L({\mu }_1,{\sigma }_1)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}{\left[\frac{1}{{\sigma }_1\sqrt{2\pi }}{e}^{-{(t_i-{\mu }_1)}^2/2{{\sigma }_1}^2}\right]}^{1-{\delta }_i}{[1-\Phi \left(\frac{t_i-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)]}^{{\delta }_i}---\left(16\right)$其中，(t_i,δ_i)是上述介绍的随机右截尾型寿命数据，t_i是寿命数据值，δ_i是作截尾标志的布尔变量，(μ₁,σ₁)是正态分布中未知参数θ；找出一个使得式(16)中L(μ₁,σ₁)取最大值，则是正态分布参数θ＝(μ₁,σ₁)的极大似然估计；其中，i＝1,2,…,n；4)对数正态分布的似然函数是：$L({\mu }_2,{\sigma }_2)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}{\left[\frac{1}{t_i{\sigma }_2\sqrt{2\pi }}{e}^{-{(t_i-{\mu }_2)}^2/2{{\sigma }_2}^2}\right]}^{1-{\delta }_i}{[1-\Phi \left(\frac{\ln t_i-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)]}^{{\delta }_i}---\left(17\right)$其中，(t_i,δ_i)是上述随机右截尾型寿命数据，t_i是寿命数据值，δ_i是作截尾标志的布尔变量，(μ₂,σ₂)是对数正态分布中未知参数θ；找出一个使得式(17)中L(μ₂,σ₂)取最大值，则是对数正态分布参数θ＝(μ₂,σ₂)的极大似然估计；其中，i＝1,2,…,n；步骤六：把步骤五中计算得到的初选寿命分布中未知参数θ的极大似然估计代入其相应的累计分布函数F₀(t；θ)中，进而估计出产品寿命T落在每个区间[t_(i1),t_(i2))上的期望频率其求解公式如下所示：其中，i＝1,2,…,k；${\hat{p}}_i=P\{t_{\left(i2\right)}\le T<t_{\left(i1\right)}\}=F_0(t_{\left(i2\right)};\hat{\theta })-F_0(t_{\left(i1\right)};\hat{\theta })---\left(18\right)$具体地，针对不同的初选寿命分布，分别利用公式(18)估计产品寿命T落在每个区间[t_(i1),t_(i2))上的期望频率其求解方法如下所示：1)指数分布：${\hat{p}}_i=e^{-\hat{\lambda }{t}_{\left(i1\right)}}-e^{-\hat{\lambda }{t}_{\left(i2\right)}},i=1,2,...,k---\left(19\right)$其中，是指数分布参数λ的极大似然估计；t_(i1),t_(i2)分别表示第i个区间上两个端点处的完全数据；2)威布尔分布：${\hat{p}}_i=e^{-{(t_{\left(i1\right)}/\hat{\eta })}^{\hat{m}}}-e^{-{(t_{\left(i2\right)}/\hat{\eta })}^{\hat{m}}},i=1,2,...,k---\left(20\right)$其中，是威布尔分布参数(η,m)的极大似然估计；t_(i1),t_(i2)分别表示第i个区间上两个端点处的完全数据；3)正态分布：${\hat{p}}_i=\Phi \left(\frac{t_{\left(i2\right)}-{\hat{\mu }}_1}{{\hat{\sigma }}_1}\right)-\Phi \left(\frac{t_{\left(i1\right)}-{\hat{\mu }}_1}{{\hat{\sigma }}_1}\right),i=1,2,...,k---\left(21\right)$其中，是正态分布参数(μ₁,σ₁)的极大似然估计；t_(i1),t_(i2)分别表示第i个区间上两个端点处的完全数据；4)对数正态分布：${\hat{p}}_i=\Phi \left(\frac{\ln t_{\left(i2\right)}-{\hat{\mu }}_2}{{\hat{\sigma }}_2}\right)-\Phi \left(\frac{\ln t_{\left(i1\right)}-{\hat{\mu }}_2}{{\hat{\sigma }}_2}\right),i=1,2,...,k---\left(22\right)$其中，是对数正态分布参数(μ₂,σ₂)的极大似然估计；t_(i1),t_(i2)分别表示第i个区间上两个端点处的完全数据；步骤七：计算皮尔逊卡方检验统计量其求解方法如下所示：${\hat{\chi }}^2=\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}\frac{{(n_i-n{\hat{p}}_i)}^2}{{\mathrm{np}}_i}---\left(23\right)$其中，k是划分的区间个数，n是这组随机右截尾型寿命数据的个数，n_i是这组随机右截尾型寿命数据落在第i个区间的观察频数，是产品寿命落在第i个区间上的期望频率，是产品寿命落在第i个区间上的期望频数；给定显著性水平α，由χ²分布分位点求出临界值其中m是初步选定的寿命分布F₀(t；θ)中未知参数的个数；当检验统计量值大于临界值，即时，拒绝原假设，认为产品寿命不服从初步选定的寿命分布，否则接受原假设，认为产品寿命服从初步选定的寿命分布。